四川省成都市青羊区树德实验中学西区2021-2022学年九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

四川省成都市青羊区树德实验中学西区2021-2022学年九年级（下）月考数学试卷（3月份）

一．选择题（本题共8小题，共32分）

1. 有理数的倒数

A.  B.  C.  D.

2. 下面几何体中，其主视图与俯视图相同的是

A.  B.
C.  D.

3. 为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了的光刻机难题，其中，则用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

4. 如图，下列选项中不能判定∽的是

A.  B.
C.  D.

5. 下列命题中，真命题是

A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是平行四边形
D. 两条对角线互相平分且相等的四边形是正方形

6. 如图，正六边形内接于，若的半径为，则阴影部分的面积为

A.
B.
C.
D.

7. 如图，在直角坐标系中，矩形的顶点 在坐标原点，边 在 轴上，在 轴上，如果矩形与矩形关于点 位似，且矩形与矩形的相似比为，那么点 的坐标是

A.
B.
C. 或
D. 或
 

8. 有一种公益叫“光盘”所谓“光盘”，就是吃光你盘子中的食物，杜绝“舌尖上的浪费”某校九年级开展“光盘行动”宣传活动，根据各班级参加该活动的总人次折线统计图，下列说法正确的是

1. 
   极差是 B. 中位数是 C. 平均数大于 D. 众数是

二．填空题（本题共10小题，共40分）

9. 分解因式：______．
10. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
11. 如图，和是直立在地面上的两根立柱，米，某一时刻在阳光下的投影米，在测量的投影时，同时测量出在阳光下的投影长为米，则的长为______．
12. 将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，可得到的抛物线是______．
13. 如图，在的两边上分别截取、，使；分别以点、为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；连接、、、若，四边形的面积为则的长为______．
14. 在平面直角坐标系中，已知点和关于轴对称，则的值为______．
15. 若，是方程的两个根，且，则的值为______．
16. 有五张正面分别标有数，，，，的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数记为，则使关于的方程有正整数解的概率为______．
17. 如图，点在反比例函数图象上，以为直径的圆交该双曲线于点，交轴于点，若，则点的坐标为______．
    
    
     

18. 如图，在矩形中，将矩形绕点按逆时针方向旋转一定角度后，、、的对应点分别为、、，交边于点，连接、，若，，，则______．
    
     

三．解答题（本题共8小题，共78分）

19. 计算：．
    解不等式组：．
    
    
    
    
    
    
     
20. 某中学在艺术节期间向全校学生征集书画作品，美术王老师从全校随机抽取了四个班级记作、、、，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图．
    
    王老师抽查的四个班级共征集到作品多少件？
    请把图的条形统计图补充完整；
    若全校参展作品中有四名同学获得一等奖，其中有二名男生、二名女生．现在要在其中抽两名同学去参加学校总结表彰座谈会，请用画树状图或列表的方法求恰好抽中一名男生一名女生的概率．
    
    
    
    
    
    
     
21. 成都“”电视塔作为成都市地标性建筑之一，现已成为外地游客到成都旅游打卡的网红地．如图，为测量电视塔观景台处的高度，某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼顶处测得塔处的仰角为，塔底部处的俯角为已知建筑物的高约为米，请计算观景台的高的值．
    结果精确到米；参考数据：，，

22. 如图，是的直径，的直角边切于点，交边于点，，连接、．
    求证：；
    若，，求和的值．
     

23. 如图，函数的图象过点和两点．
    求和的值；
    将直线沿轴向左平移得直线，交轴于点，交双曲线于点，交轴于点．
    若，求直线解析式；
    若点、点关于原点对称，点是平面内一点，是否存在点、，使得点、、、为顶点四边形为矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

24. 成都市某公司自主设计了一款可控温杯，每个生产成本为元，投放市场进行了试销．经过调查得到每月销售量万个与销售单价元个之间关系是一次函数的关系，部分数据如下：

求与之间的函数关系；
该公司既要获得一定利润，又要符合相关部门规定一件产品的利润率不得高于请你帮助分析，公司销售单价定为多少时可获利最大？并求出最大利润．






 

25. 如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，已知．
    求的值和直线对应的函数表达式；
    点是抛物线上位于直线上方的一点，过点作的垂线垂足为点，求线段的最大值；
    为抛物线上一点，若，请求出点的坐标．

26. 在中，，，是边上一点，将沿折叠得到，连接．
    特例发现：如图，当，落在直线上时．求证：；
    类比探究
    如图，当，与边相交时，在上取一点，使，交于点探究的值用含的式子表示，并写出探究过程；
    拓展运用
    在条件下，当，是的中点时，若，直接写出的长．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：有理数的倒数是．
故选：．
根据倒数的定义解答即可．
本题主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是，我们就称这两个数互为倒数．
 

2.【答案】
 

【解析】解：、圆柱的主视图是长方形，俯视图是圆，选项A不符合题意；
B、圆锥的主视图是三角形，俯视图是圆，选项B不符合题意；、三棱柱的主视图是矩形，俯视图是三角形，选项C不符合题意；
D、长方体的主视图、俯视图都是长方形，选项D符合题意；
故选：．
根据主视图、俯视图是分别从物体正面和上面看所得到的图形进行分析即可．
此题考查了几何体的三种视图，注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
 

3.【答案】
 

【解析】解：，

故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

4.【答案】
 

【解析】解：由题意可得：和中，，
若，由有两组角对应相等的两个三角形相似可得∽，故选项A不合题意；
若，由有两组角对应相等的两个三角形相似可得∽，故选项B不合题意；
若，由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可得∽，故选项C不合题意；
故选：．
利用相似三角形判定方法依次判断可求解．
本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：、对角线相等的平行四边形是矩形，所以选项错误；
B、对角线互相垂直的平行边形是菱形，所以选项错误；
C、顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是平行四边形，所以选项正确；
D、两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以选项错误．
故选：．
根据矩形的判定方法对进行判断；根据菱形的判定方法对进行判断；根据三角形中位线性质和平行四边形的判定方法对进行判断；根据正方形的判定方法对进行判断．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
 

6.【答案】
 

【解析】解：如图所示：连接，，，
正六边形内接于，
，都是等边三角形，
，
，

图中阴影部分面积为：．
故选：．
根据图形分析可得求图中阴影部分面积实为求扇形部分面积，将原图阴影部分面积转化为扇形面积求解即可．
此题主要考查了正多边形和圆以及扇形面积求法，得出阴影部分面积是解题关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：矩形与矩形关于点位似，位似比为：，
点的坐标为，
点的坐标是：或．
故选：．
由矩形与矩形关于点位似，矩形与矩形的位似比为：，又由点的坐标为，即可求得答案．
此题考查了位似图形的性质，注意位似图形是特殊的相似图形，注意数形结合思想的应用．
 

8.【答案】
 

【解析】解：、极差是，故本选项错误；
B、按照从小到大的顺序排列如下：、、、、、，
第、两个数分别是、，
所以，中位数是，故本选项错误；
C、平均数，故本选项正确；
D、个数据均是出现一次，所以众数是、、、、、，故本选项错误．
故选C．
根据极差的定义，平均数、中位数、众数的定义，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查折线统计图的运用，主要涉及极差、平均数、中位数、众数的定义，熟记概念并根据折线统计图准确获取数据是解题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．本题考查了提公因式法，公式法分解因式，难点在于提取公因式后要进行二次分解因式，分解因式要彻底．
【解答】
解：，
，
．
故答案为  

10.【答案】
 

【解析】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
根据被开方数大于等于列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
 

11.【答案】
 

【解析】解：如图，在测量的投影时，同时测量出在阳光下的投影长为，
∽，，，



故答案为．
根据平行的性质可知∽，利用相似三角形对应边成比例即可求出的长．
本题通过投影的知识结合图形相似的性质巧妙地求出灯泡离地面的距离，是平行投影性质在实际生活中的应用．
 

12.【答案】
 

【解析】解：，
原抛物线的顶点为，
向左平移个单位，再向上平移个单位，那么新抛物线的顶点为；
平移后的抛物线是，即，
故答案为：．
易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．
主要考查了二次函数图象与几何变换，抛物线平移不改变二次项的系数的值，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
 

13.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了菱形的判定与性质，菱形的面积等于对角线乘积的一半的性质，判定出四边形是菱形是解题的关键．根据作法判定出四边形是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
【解答】
解：根据作图，，
，
，
四边形是菱形，
，四边形的面积为，
，
解得．
故答案为． 

14.【答案】
 

【解析】解：点和关于轴对称，
，，
解得：，，
，
故答案为：．
根据关于轴对称的点的坐标特点可得、的值，然后可得答案．
此题主要考查了关于轴对称对称的点的坐标，关键是掌握关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．
 

15.【答案】
 

【解析】解：，是方程的两个根，
，，
，
，
解得或，
，
，
，
故答案为：．
根据根与系数的关系可得，，根据，列方程求出的值，再根据判别式可知，即可最终确定的值．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，特别注意一元二次方程这个隐含的条件是解题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：，解得，
分式方程的解为正整数，
，
，
的值为正整数，且，
或，
或，
当时，，符合题意，
当时，，符合题意，
，
使关于的方程有正整数解的概率为，
故答案为：．
求出分式方程的解，根据给出的个数，找出能使分式方程有整数解的情况，再根据概率公式求解即可．
本题主要考查概率的基本计算，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比，熟练掌握概率公式是解题的关键．
 

17.【答案】
 

【解析】解：如图：连接并延长，交点为，作，连接，

设则，
是直径，
，
，，
，
是圆的内接四边形，
，
，
，
，且，，
≌，
，，
，，
，且，
，，
，
，
，
，
且，
，，
，
故答案为：
连接并延长，与的延长线交于点，作，连接，设则，，由为直径可证得，由弧弧可得则，可证≌，所以，，由垂径定理得，由中位线定理可得，最后由，用，表示面积，可得，的关系式，代入，可得，得值．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，圆的内接四边形性质，全等三角形的判断，本题关键是找到的横坐标和纵坐标的除了积为以外的两者关系．
 

18.【答案】
 

【解析】解：如图，连接，，，

由旋转可得，，，，
，
∽，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
设，则，，
中，，
，
解得，舍去，
，
中，，
，
故答案为：．
先连接，，，构造直角三角形以及相似三角形，根据∽，可得到，设，则，，中，根据勾股定理可得方程，求得的长以及的长，即可得到所求的比值．
本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形以及相似三角形，依据直角三角形的勾股定理列方程求解，从而得出矩形的宽，这也是本题的难点所在．
 

19.【答案】解：原式

；
解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为．
 

【解析】先计算负整数指数幂、零指数幂，代入三角函数值，再计算乘法，最后计算加减即可；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

20.【答案】解：件，
即抽查的四个班级共征集到作品件，
班级的作品数为件，
条形统计图补充为：

画树状图如下：

共有种等可能的结果，恰好抽中一名男生一名女生的结果有种，
恰好抽中一名男生一名女生的概率为．
 

【解析】用班的人数除以该班的作品数得到调查的总作品数；
计算出班的作品数，再补全条形统计图；
画树状图展示所有种等可能的结果数，找出恰好抽中一名男生一名女生的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查的是树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：过点作于点，

根据题意可得四边形是矩形，
，米，
在中，
，
，
，
在中，，
，
米．
答：观景台的高的值约为米．
 

【解析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
过点作于点，根据题意可得四边形是矩形，，，再根据锐角三角函数可得的长，进而可得的值．
 

22.【答案】证明：作直径，连接，
则，
，
是的切线，
，
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
；
解：连接，
在中，，，
则，
，，
，
∽，
，即，
解得：，
为的直径，
，
，
，即，
解得：．
 

【解析】作直径，连接，根据切线的性质得到，根据同角的余角相等得到，根据圆内接四边形的性质得到，等量代换证明结论；
连接，根据勾股定理求出，证明∽，根据相似三角形的性质求出，利用平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，掌握切线的性质和相似三角形的线段比例关系是解决问题的关键．
 

23.【答案】解：函数的图象过点和两点．
，
解得，
由知，，
设直线的解析式为，则，
，
直线的解析式为，
由知反比例函数的解析式为，
设，过点作轴与交于点，

则，
，
，
，
解得舍去，，
，
将直线沿轴向左平移得直线，
设直线的解析式为，
将代入得，
，
直线解析式为；
设，
当时，过点作轴，于，于，

，，
，，
，
，
∽，
，
，
解得或，
，
，
此时，
当时，则，

，
解得或负值舍去，
，
，
此时，
根据题意知，
综上：或．
 

【解析】函数的图象过点和两点．可得方程组，解方程即可得出答案；
设，过点作轴与交于点，则，，根据，求出点的坐标，可得答案；
设，当时，过点作轴，于，于，利用∽，求出点的坐标，再根据矩形的性质可得的坐标；当时，则，根据题意知，从而解决问题．
本题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，平移的性质，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，矩形的性质等知识，运用分类思想是解决问题的关键．
 

24.【答案】解：设每月销售量万个与销售单价元个之间的函数关系式为：．
把，代入，
得，解得，
与之间的函数关系为：；

每个生产成本为元，一件产品的利润率不得高于，
，
设该公司获得的利润为万元，
则


，
图象开口向下，对称轴左侧随的增大而增大，
当时，最大，最大值为万元．
答：公司销售单价定为元时可获利最大，最大利润为每月万元．
 

【解析】由题意用待定系数法可求；
根据利润销售量销售单价成本列式得出二次函数解析式，再根据产品利润率不高于且成本为元，得出销售单价的范围，结合二次函数得出最大值．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，待定系数法求一次函数的解析式，解答本题的关键是得出月销售利润的表达式，要求同学们熟练掌握配方法求二次函数最值的应用．
 

25.【答案】解：抛物线经过点，
，
解得：舍去或，
该抛物线的解析式为，
令，得，
，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
故的值为，直线对应的函数表达式为；
如图，过点作轴交于点，
设，则，
，
，
，
轴，
，
，
，
，
，
当时，的最大值为；
如图，在下方作，过点作，交射线于点，
过点作轴于点，连接交抛物线于点，
则，
，
，
，
，，
，
，
在抛物线中，令，得，
解得：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
联立方程组得，
解得：，，
点的坐标为
 

【解析】运用待定系数法即可求出抛物线解析式，得出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式即可；
如图，过点作轴交于点，设，则，，由轴，得出，利用三角函数得出，运用二次函数的性质即可求得答案；
如图，在下方作，过点作，交射线于点，过点作轴于点，连接交抛物线于点，由，可得，求得，进而可得，利用待定系数法可得出：直线的解析式为，联立方程组即可求得点的坐标．
本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角函数定义，相似三角形的判定和性质，直线与抛物线的交点坐标等，在求解过程中，结合背景图形，作出正确的辅助线是解题的关键．
 

26.【答案】解如图，延长交于，
由折叠知，，
，
，
；


如图，延长交于，
由知，，
，
∽，
；

由折叠知，，，
点是的中点，
，
是的中位线，
，
，，，
由知，∽，
，，
，
设，则，，
，
≌，
，，
，
在中，根据勾股定理得，，
，
，
或舍，
即．
 

【解析】由折叠知，，再由等角的余角相等，即可得出结论；
同的方法，即可得出结论；
先判断出是的中位线，得出，进而得出，，，再判断出，设，则，，得出进而用判断出≌，得出，再用勾股定理求出，即可得出结论．
此题是几何变换综合题，主要考查了同角的余角相等，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，判断出是解本题的关键．