湖南师大附中博才实验中学2021-2022学年七年级（下）期中数学试卷（含解析）

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湖南师大附中博才实验中学2021-2022学年七年级（下）期中数学试卷 一．选择题（本题共10小题，共30分）下列各数中是无理数的是A.  B.  C.  D. 已知点的坐标为，则点在第象限．A. 一 B. 二 C. 三 D. 四估算的值在A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间如图所示，点在的延长线上，下列条件中不能判断的是
A.  B.
C.  D. 下列语句中，是假命题的是A. 实数与数轴上的点一一对应 B. 对顶角相等
C. 无限小数都是无理数 D. 垂线段最短如图所示的围棋盘，放置在某个直角坐标系中，白棋的坐标为，白棋的坐标为，则黑棋位于点A.
B.
C.
D. 若方程组的解为，则被“”、“”遮住的两个数分别是A. ， B. ， C. ， D. ，下列说法正确的是A. 的平方根是
B. 有公共顶点且相等的角是对顶角
C. 没有立方根
D. 同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直九章算术是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为斤，一只燕的重量为斤，则可列方程组为A.  B.
C.  D. 对于实数，，定义一种新的运算“”：，其中，，为常数，若，，求的值为．  B.
C.  D. 与或或的值有关二．填空题（本题共6小题，共18分）已知，则点到轴的距离是______．若，则______．若，则______．如图，直线、相交于点，若，则等于______．
  已知轴，且点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为______．如图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为和，那么阴影部分的面积是______ ．

  三．解答题（本题共8小题，共72分）计算：．






 解方程组：
；
．






 如图，在单位正方形网格中，建立了平面直角坐标系，试解答下列问题：
写出三个顶点的坐标；
画出向右平移个单位，再向下平移个单位后的图形；
求的面积．







 如图，于，于，．
判断与的位置关系，并说明理由．
求的度数．
  






 解关于，的方程组 时，甲正确地解出，乙因为把抄错了，误解为，求，，的值．






 为方便市民出行，减轻城市中心交通压力，长沙市正在修建贯穿星城南北、东西的地铁、号线．已知修建地铁号线千米和号线千米共需投资亿元；若号线每千米的平均造价比号线每千米的平均造价多亿元．
求号线，号线每千米的平均造价分别是多少亿元？
据悉，长沙市到今年年底在建及通车地铁里程不含、号线将达到千米，这些在建及通车地铁线网每千米的平均造价是号线每千米的平均造价的倍，那么到今年年底长沙市修建地铁线网不含、号线共投资了多少亿元？






 如图，在平面直角坐标系中，，坐标分别为、，且，满足：，现同时将点，分别向下平移个单位，再向左平移个单位，分别得到点，的对应点，，连接，，．

求，两点的坐标及四边形的面积；
点是线段上的一个动点，连接，，当点在上移动时不与，重合，的值是否发生变化，并说明理由；
已知点在轴上，连接、，若的面积与四边形的面积相等，求点的坐标．






 已知，均为正整数．我们把满足的点称为幸福点．下列四个点中为幸福点的是______；
；；；
若点是一个幸福点，求的值；
已知点是一个幸福点，则存在正整数，满足，试问是否存在实数的值使得点和点到轴的距离相等，且到轴的距离也相等？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．







答案和解析 1.【答案】
 【解析】解：，是有理数，
是无理数，
故选：．
根据无理数的概念，结合选项解答即可．
本题考查了无理数的概念，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式．
 2.【答案】
 【解析】解：点的坐标为，
点的横坐标为负数，纵坐标为正数，
点在第二象限，
故选：．
根据各象限内点的坐标符号可得其所在象限．
本题主要考查点的坐标，解题的关键是掌握四个象限内点的坐标符号特点．
 3.【答案】
 【解析】解：，，
，
，
的值在和之间．
故选：．

本题需先判断在哪两个平方数之间，再求出的范围．
本题主要考查了估算无理数的大小，运用夹逼法即可解决问题．
 4.【答案】
 【解析】解：、，
；
B、，
；
C、，
；
D、，
，
不能判断的是选项，
故选B．
根据平行线的判定定理解答即可．
本题考查了平行线的判定，是基础题，准确识图是解题的关键．
 5.【答案】
 【解析】解：、实数与数轴上的点一一对应，正确，为真命题；
B、对顶角相等，正确，为真命题；
C、无限不循环小数都是无理数，故原命题为假命题；
D、垂线段最短，正确，为真命题；
故选：．
根据数的定义、无理数的定义、对顶角的性质、垂线的性质等知识逐项判定即可．
本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握实数的定义、无理数的定义、对顶角的性质、垂线的性质等知识是解答此题的关键．
 6.【答案】
 【解析】解：由白棋的坐标为，白棋的坐标为，可知，图中的上数第二条水平线为轴，向右为正方向，从左向右数的第条竖直线为轴，向下为负方向，这两条线的交点为坐标原点．所以黑棋位于点故选：．
根据已知两点的坐标确定坐标系，再确定其它各点的坐标．
考查类比点的坐标及学生解决实际问题和阅读理解的能力．解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置，或者直接利用坐标系中的移动法则“右加左减，上加下减”来确定坐标．
 7.【答案】
 【解析】解：把代入得：，
把，代入得：，
则被“”、“”遮住的两个数分别是，，
故选D
把代入方程组中第二个方程求出的值，确定出所求两个数即可．
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
 8.【答案】
 【解析】解：的平方根是，故A错误，不符合题意；
有公共顶点且两边互为反向延长线的角是对顶角，故B错误，不符合题意；
有一个负的立方根，故C错误，不符合题意；
同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故D正确，符合题意．
故选：．
根据平方根、对顶角、立方根和垂线的性质判断即可．
本题考查平方根、对顶角、立方根，熟练掌握平方根、对顶角、立方根和垂线的性质是解题关键．
 9.【答案】
 【解析】解：由题意可得，
，
故选：．
根据题意，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
 10.【答案】
 【解析】解：由题意得，
得，，
由得，，
即，
将代入得，，
整理得，，
得，，
即，
故选：．
由题意得，通过解方程组的思路变式可求得此题结果．
此题考查了运用解二元一次方程组的方法解决相关新定义的能力，关键是能对根据定义得到的算式合理变形、计算．
 11.【答案】
 【解析】解：点，
点到轴的距离为：．
故答案为：．
利用点的横坐标的绝对值即可得出点到轴的距离．
此题主要考查了点的坐标，正确理解点的横纵坐标的几何意义是解题关键．
 12.【答案】
 【解析】解：，
，，
解得：，
故，
故答案为：．
直接利用二次根式有意义的条件得出的值，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
 13.【答案】
 【解析】解：，
，
解得：，
故答案为：
方程整理后，利用立方根定义开立方即可求出的值．
此题考查了立方根，熟练掌握立方根定义是解本题的关键．
 14.【答案】
 【解析】【分析】
本题考查了对顶角相等，邻补角的定义，是基础题，熟记概念与性质并准确识图是解题的关键．
根据对顶角相等可得，再求出，然后根据邻补角的定义列式计算即可得解．
【解答】
解：由对顶角相等可得，，
，
，
．
故答案为：．  15.【答案】
 【解析】解：轴，点的坐标为，点的坐标为，
，
，
，
故答案为：．
在平面直角坐标系中与轴平行，则它上面的点纵坐标相同，可求点的坐标．
本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标得到相应的线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系．
 16.【答案】．
 【解析】解：矩形内有两个相邻的正方形面积分别为和，
两个正方形的边长分别是，，
阴影部分的面积．
故答案为．
根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长分别是，，再根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去两个正方形的面积进行计算．
此题要能够由正方形的面积表示出正方形的边长，再进一步表示矩形的长．
 17.【答案】解：

．
 【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．
 18.【答案】解：移项，得，
系数化为，得，
开平方，得，
解得或；
，
由得，，
把方程代入，得，
解得，
把代入得，，
解得，
该方程组的解是．
 【解析】通过移项、系数化为、开平方进行求解；
运用加减消元法进行求解．
此题考查了方程组的求解能力，关键是能根据题目选择正确的运算顺序与方法，并进行计算求解．
 19.【答案】解：，，；
如图：
；
的面积．
 【解析】观察图象，根据各点所在象限的符号和距坐标轴的距离可得各点的坐标；
将、、按平移条件找出它的对应点、、，顺次连接、、，即得到平移后的图形；
利用三角形的面积直角梯形的面积两个直角三角形的面积即可求出答案．
用到的知识点为：图形的平移要归结为图形顶点的平移；求点的坐标应根据所在象限确定符号，根据距离原点的水平距离和竖直距离确定具体坐标；格点中的三角形的面积通常整理为长方形或梯形的面积与几个三角形的面积的差．
 20.【答案】解：，理由如下：
于，于，
，
；
，
，，
，
．
 【解析】根据垂直于同一直线的两直线平行解答即可；
根据平行线的性质解答即可．
本题考查的是平行线的判定与性质，先根据题意得出是解答此题的关键．
 21.【答案】解：把代入方程组得：，
解得：，
把代入方程组中第一个方程得：，
联立得：，
解得：，
则，，．
 【解析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
把甲的结果代入方程组求出的值，以及关于与的方程，再将已知的结果代入第一个方程得到关于与的方程，联立求出与的值即可．
 22.【答案】解：设号线每千米的平均造价为亿元，号线每千米的平均造价为亿元，
由题意得：，
解得：，
答：号线每千米的平均造价是亿元，号线每千米的平均造价是亿元；
由得：亿元，
答：到今年年底长沙市修建地铁线网不含、号线共投资了亿元．
 【解析】设号线每千米的平均造价为亿元，号线每千米的平均造价为亿元，由题意：修建地铁号线千米和号线千米共需投资亿元；若号线每千米的平均造价比号线每千米的平均造价多亿元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
根据中所求得出建千米的地铁线网每千米的造价，列式计算即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 23.【答案】解：，，且，
，，
，，
，，
将点，分别向下平移个单位，再向左平移个单位，得到各自的对应点，，
，，
由平移得，，
四边形是平行四边形，
，
四边形的面积是．
不发生变化，
理由：如图，，
，
，
，
，
，
的值不发生变化．
设点的坐标为，
由得，，
，
如图，点在直线的上方，
，
，
解得；
如图，点在轴的下方，且点在的外部，
，
，
解得，不符合题意，舍去；
如图，点在轴的下方，且点在的内部，
，
，
解得，
综上所述，点的坐标为或．
 【解析】由，根据非负数的性质得，，所以，，则，，由平移得，，且四边形是平行四边形，即可求得四边形的面积为；
由及三角形内角和定理可推导出，所以，可知的值不发生变化；
设点的坐标为，分三种情况，一是点在直线的上方，则；二是点在轴的下方，且点在的外部，则；三是点在轴的下方，且点在的内部，则，分别列方程求出符合题意的的值即可．
此题考查非负数的性质、图形与坐标、根据转化思想表示多边形的面积、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题难度较大，属于考试压轴题．
 24.【答案】
 【解析】解：，均为正整数，满足的点称为幸福点，
当，时，，，故是幸福点，
当，时，，，故是幸福点，
当，时，，，故是幸福点，

，，，中只有是幸福点，
故答案为：；
点是一个幸福点，
，，
，均为正整数，
，或或，，
当，时，，
当时，，
当，时，，
的值为或或；
由题意可知，，，
点和点到轴的距离相等，
，
点和点到轴的距离相等，
，
将、联立得，，
，均为正整数，
无意义，
故不存在实数．
根据，均为正整数，对，分类讨论，分别求出幸福点即可；
将点坐标分别代入求出的值即可；
先表示出点，再根据点和点到轴的距离相等，到轴的距离也相等列出关系式求解即可．
本题主要考查二次根式的应用，点的坐标，读懂题意列出方程，能熟练运用分类讨论思想解决问题是解答此题的关键．