数学必修 第一册4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较当堂达标检测题

指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

[A级　基础巩固]

1．当0<x<1时，f(x)＝x2，g(x)＝x，h(x)＝x－2的大小关系是(　　)

A．h(x)<g(x)<f(x)　　 B．h(x)<f(x)<g(x)

C．g(x)<h(x)<f(x)  D．f(x)<g(x)<h(x)

解析：选D　在同一坐标下作出函数f(x)＝x2，g(x)＝x，h(x)＝x－2的图象．由图象知，D正确．

2．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：

对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是(　　)

A．y＝2x－2　　　　　　　 B．y＝

C．y＝log2x  D．y＝(x2－1)

解析：选D　法一：相邻的自变量之差从左到右依次大约为1，相邻的函数值之差大约为2.5，3.5，4.5，6，基本上是逐渐增加的，抛物线拟合程度最好，故选D.

法二：可以采用特殊值代入法，取某个x的值代入，再比较函数值是否与表中数据相符．可取x＝4，经检验易知选D.

3．若x∈(0，1)，则下列结论正确的是(　　)

A．2x>x>lg x  B．2x>lg x>x

C．x>2x>lg x  D．lg x>x>2x

解析：选A　如图所示，结合y＝2x，y＝x及y＝lg x的图象易知，当x∈(0，1)时，2x>x>lg x，故选A.

4．若镭经过100年后剩留量为原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年剩留量为y，则y与x的函数关系为(　　)

A．y＝0.957 6  B．y＝0.957 6100x

C．y＝  D．y＝1－0.042 4

解析：选A　设镭每年放射掉其质量的百分比为t，则95.76%＝(1－t)100，所以t＝1－，所以y＝(1－t)x＝0.957 6.

5．某企业的一个车间有8名工人，以往每人年薪为1万元．从今年起，计划每人的年薪比上一年增加10%，另外每年新招3名工人，每名新工人的第一年年薪为8千元，第二年起与老工人的年薪相同．若以今年为第一年，那么第x年企业付给工人的工资总额y(万元)表示成x的函数，其表达式为(　　)

A．y＝(3x＋5)1.1x＋2.4

B．y＝8×1.1x＋2.4x

C．y＝(3x＋8)1.1x＋2.4

D．y＝(3x＋5)1.1x－1＋2.4

解析：选A　第一年企业付给工人的工资总额为8×1.1＋3×0.8(万元)，

第二年企业付给工人的工资总额为(8＋3)×1.12＋3×0.8(万元)，…，

以此类推，第x年企业付给工人的工资总额应为y＝[8＋3(x－1)]×1.1x＋2.4＝(3x＋5)1.1x＋2.4(万元)．

6.如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(月)的近似函数关系：y＝at(t≥0，a＞0且a≠1)的图象．有以下说法：

①第4个月时，剩留量就会低于；

②每月减少的有害物质质量都相等；

③当剩留量为，，时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3.

其中所有正确说法的序号是________．

解析：由于函数的图象经过点，故函数的关系式为y＝.当t＝4时，y＝＜，故①正确；

当t＝1时，y＝，减少，当t＝2时，y＝，减少，故每月减少有害物质质量不相等，故②不正确；分别令y＝，，，解得t1＝log，t2＝log，t3＝log，t1＋t2＝t3，故③正确．

答案：①③

7．一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2 KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过________分钟，该病毒占据64 MB内存(1 MB＝210 KB)．

解析：设开机后经过n个3分钟后，该病毒占据64 MB内存，则2×2n＝64×210＝216，∴n＝15，故时间为15×3＝45(分)．

答案：45

8．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，A对应______；B对应_____；C对应______；D对应______．

解析：A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器水高度变化快，与(3)对应，D容器水高度变化慢，与(2)对应．

答案：(4)　(1)　(3)　(2)

9．我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞往南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．

(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？

(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？

解：(1)由题知，当燕子静止时，它的速度v＝0，代入函数关系式可得0＝5log2，解得Q＝10.

即燕子静止时的耗氧量是10个单位．

(2)将耗氧量Q＝80代入函数关系式，得

y＝5log2＝5log28＝15.

即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.

10．我国的烟花名目繁多，花色品种繁杂．其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂，通过研究，发现该型烟花爆裂时距地面的高度h(单位：m)与时间t(单位：s)存在函数关系，并得到相关数据如下表：

(1)根据上表数据，从函数y1＝kt＋b，y2＝at2＋bt＋c，y3＝abt中，选取一个函数描述该型烟花爆裂时距地面的高度h与时间t的变化关系；

(2)利用你选取的函数，判断烟花爆裂的最佳时刻，并求出此时烟花距地面的高度．

解：(1)由表中数据分析可知，烟花距地面的高度随时间的变化呈先上升再下降的趋势，则在给定的三类函数中，只有y2可能满足，故选取该函数．

设h(t)＝at2＋bt＋c，

有⇒

∴h(t)＝－4t2＋20t＋1(t≥0)．

(2)h(t)＝－4t2＋20t＋1

＝－4(t2－5t)＋1＝－4＋26.

∴当烟花冲出后2.5 s时是爆裂的最佳时刻，此时烟花距地面的高度为26 m.

[B级　综合运用]

11．某地发生地震后，地震专家对该地区发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：

地震强度x(×1019)和震级y的模拟函数关系可以选用y＝alg x＋b(其中a，b为常数)．利用散点图可得a＝________，b＝________．(取lg 2＝0.3进行计算)

解析：由模拟函数及散点图得

两式相减得a(lg 3.2－lg 1.6)＝0.2，

所以alg 2＝0.2，解得a＝，

所以b＝5－lg 1.6＝5－(4lg 2－1)＝5－×＝.

答案：　

12．某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入21世纪以来，该产品的产量平稳增长．记2015年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如下表所示：

若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：f(x)＝ax＋b，f(x)＝2x＋a，f(x)＝logx＋a.

(1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取2015年和2017年的数据求出相应的解析式；

(2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2021年的年产量比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2021年的年产量．

解：(1)符合条件的是f(x)＝ax＋b，

若模型为f(x)＝2x＋a，

则由f(1)＝21＋a＝4，

得a＝2，

即f(x)＝2x＋2，

此时f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与已知相差太大，不符合．

若模型为f(x)＝logx＋a，

则f(x)是减函数，与已知不符合．

由已知得

解得所以f(x)＝x＋，x∈N.

故最适合的函数模型解析式为f(x)＝x＋，x∈N.

(2)2021年预计年产量为f(7)＝×7＋＝13，

2021年实际年产量为13×(1－30%)＝9.1.

故2021年的年产量为9.1万件．