2022届山东省实验中学高三下学期3月诊断训练数学试题含解析

这是一份2022届山东省实验中学高三下学期3月诊断训练数学试题含解析，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
山东省实验中学2021-2022学年高三下学期3月诊断训练数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，集合，则（       ）
A． B． C． D．
2．，若为实数，则的值为（       ）
A． B． C． D．
3．若非零向量，满足，则“”是“”的（       ）
A．充分不必要条件， B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．2020年4月30日，我国的5G信号首次覆盖了海拔超过8000米的珠穆朗玛峰峰顶和北坡登山路线。为了保证中国登山队测量珠峰高程的顺利直播，现从甲、乙、丙、丁这4名技术人员中随机安排3人分别去往北坡登山路线中标记为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的3个崎岖路段进行信号检测，若甲没有安排去往标记为Ⅰ的崎岖路段，则不同的安排方法共有（　　）
A．12种 B．18种 C．24种 D．6种
5．函数的图象大致为（     ）.
A． B． C． D．
6．2020年11月24日4时30分，长征五号途五运载火箭在我国文昌航天发射场成功发射，飞行约2200秒后，顺利将探月工程嫦娥五号探测器送人预定轨道，开启我国首次地外天体采样返回之旅.已知火箭的最大速度单位与燃料质量(单位)､火箭质量单位的函数关系为，若已知火箭的质共为火箭的最大速度为则火箭需要加注的燃料为(参考数值为结果精确到0.01（       ）
A．243.69 B．244.69 C． D．
7．如图，已知F为双曲线的右焦点，平行于x轴的直线分别交C的渐近线和右支于点，且，则的渐近线方程为（       ）

A． B． C． D．
8．已知函数，则函数的零点个数是（       ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、多选题
9．新冠肺炎疫情的发生，我国的三大产业均受到不同程度的影响，其中第三产业中的各个行业都面临着很大的营收压力．2020年7月国家统计局发布了我国上半年国内经济数据，如图所示：图1为国内三大产业比重，图2为第三产业中各行业比重．以下关于我国上半年经济数据的说法正确的是（       ）




A．在第三产业中，“批发和零售业”与“金融业”的生产总值之和同“其他服务业”的生产总值基本持平
B．若“租赁和商务服务业”生产总值为15000亿元，则“房地产业”生产总值为40000亿元
C．若“金融业”生产总值为42000亿元，则第三产业生产总值为262500亿元
D．若“金融业生”产总值为42000亿元，则第一产业生产总值为45000亿元
10．数列的前n项和为，若数列的各项按如下规律排列：，以下说法正确的是（       ）
A．
B．数列是等比数列；
C．数列的前n项和；
D．若存在正整数k．使，则．
11．已知点是函数图像的一个对称中心，其中为常数且，则以下结论正确的是（       ）
A．函数的最小正周期为
B．将函数的图像向右平移个单位所得的图像关于轴对称
C．函数在上的最小值为
D．若，则
12．已知函数，则下列结论正确的是（       ）
A．函数在上单调递减
B．函数在上有极小值
C．方程在上只有一个实根
D．方程在上有两个实根
三、填空题
13．曲线在点处的切线方程为__________．
14．若抛物线上的点到其焦点的距离是A到y轴距离的2倍，则等于___________.
15．若的展开式中第5项为常数项，则该常数项为______（用数字表示）．
16．矩形中，，现将沿对角线向上翻折，得到四面体，则该四面体外接球的表面积为______；若翻折过程中的长度在范围内变化，则点的运动轨迹的长度是______．
四、解答题
17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinB＝bsin（A）．
（1）求A；
（2）D是线段BC上的点，若AD＝BD＝2，CD＝3，求△ADC的面积．
18．已知数列{an}中，a1＝1，an＞0，前n项和为Sn，若（n∈N*，且n≥2）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记，求数列{cn}的前n项和Tn．
19．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点．

（1）求证：平面平面．
（2）试确定点的位置，使平面与平面所成的锐二面角为．
20．某学校的自主招生考试中有一种多项选择题，每题设置了四个选项ABCD，其中至少两项、至多三项是符合题目要求的．在每题中，如果考生全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．小明同学参加考试时遇到一道这样的多选题，他没有能力判断每个选项正确与否，只能瞎猜．假设对于每个选项，正确或者错误的概率均为．
(1)写出正确选项的所有可能情况；如果小明随便选2个或3个选项，求出小明这道题能得5分的概率；
(2)从这道题得分的数学期望来看，小明应该只选一个选项？还是两个选项？还是三个选项？
21．已知离心率为的椭圆（）过点．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)已知椭圆E的内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点，且，，求直线AB的斜率．
22．已知函数．
(1)证明：在区间存在唯一的极值点；
(2)试讨论的零点个数.

参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
解分式不等式得到，进而根据交集的概念即可求出结果.
【详解】
因为，所以，因此，
因此，
故选：D.
2．D
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的除法运算法则计算可得；
【详解】
解：，
为实数，，
，解得．
故选：．
3．C
【解析】
【分析】
将两边平方可得，，再根据数量积的定义可知，“”是“”的充要条件．
【详解】
解：因为，等价于，由数量积的定义可知，等价于，
故“”是“”的充要条件．
故选：．
4．B
【解析】
【分析】
分甲没参加和甲参加两类情况求解.
【详解】
分类，若甲没参加，则从剩下的三人选派去3个地方，任意安排有种；
若甲参加，甲只能从Ⅱ和Ⅲ种任选一处安排，再从剩下的三人中选派2人在余下两个地方，有种，
所以共有不同的安排方法有种.
故选：B.
5．A
【解析】
【分析】
先结合奇偶性排除D，再采用特殊值法直接选出答案.
【详解】
整体为奇函数，整体为偶函数，故为奇函数，排除D，当时，，，故函数值为负，只有A项符合.
故选：A
6．C
【解析】
【分析】
利用指对互化解出，可得火箭需要加注的燃料的估算值．
【详解】
，则，所以
解得
故选：C
7．C
【解析】
【分析】
设B(m,n),由题意求出，，利用解得a=b，即可求出渐近线方程.
【详解】
双曲线的渐近线方程为.
设B(m,n),则由,解得.
因为∠OAF=90°，所以,即,得.
又点B(m,n)在双曲线C上，所以,将代入,得.
又∠OBF=∠OFB，所以.所以m2+n2=c2,即,化简得，即a=b，所以双曲线的渐近线方程为.
故选：C
8．D
【解析】
【分析】
令，根据分别求出函数的零点或零点所在区间，再作出函数的图象，根据数形结合即可求出函数的零点个数；
【详解】
令．
①当时，，则函数在上单调递增，
由于，由零点存在定理可知，存在，使得；
②当时，，由，解得．
作出函数，直线的图象如下图所示：

由图象可知，直线与函数的图象有两个交点；
直线与函数的图象有两个交点；直线与函数的图象有且只有一个交点．综上所述，函数的零点个数为5．
故选：D．
9．AC
【解析】
【分析】
根据图2中第三产业中各行业比重，即可判断选项正确，错误，正确，再结合图1中国内三大产业比重，计算可知选项错误．
【详解】
解：对于选项：在第三产业中，“批发和零售业”与“金融业”的生产总值之和所占比为，“其他服务业”的生产总值占比，所以“批发和零售业”与“金融业”的生产总值之和同“其他服务业”的生产总值基本持平，故选项正确，
对于选项：若“租赁和商务服务业”生产总值为15000亿元，因为“租赁和商务服务业”生产总值占比，所以第三产业生产总值为亿元，
又因为“房地产业”生产总值占比，所以“房地产业”生产总值为亿元，故选项错误，
对于选项：若“金融业”生产总值为42000亿元，因为“金融业”生产总值占比，所以第三产业生产总值为亿元，故选项正确，
对于选项：若“金融业”生产总值为42000亿元，因为“金融业”生产总值占比，所以第三产业生产总值为亿元，又因为第三产业生产总值占比，第一产业生产总值占比，所以第一产业生产总值为亿元，所以选项错误，
故选：．
10．ACD
【解析】
【分析】
根据数列的规律即可判断各选项的真假．
【详解】
对A，根据数列的规律可知，分母为的有项，且分子为递增的正整数，
所以分母为的共有项，故，A正确；
对B，数列即为：，是等差数列，B错误；
对C，因为数列是以首项为，公差为的等差数列，所以其前n项和，C正确；
对D，因为数列的前项的和为，，而数列的前项的和为，前项的和为，所以，即,D正确．
故选：ACD．
11．BC
【解析】
【分析】
首先利用函数的对称中心求出函数的关系式，进一步利用函数的关系式的应用和函数的图象的平移变换和单调性的关系判定、、、的结论．
【详解】
解：因为点，是函数图象的一个对称中心，
所以，
即，解得，，
又因为，
所以．所以，
．最小正周期为．故错误．
．向右平移个单位得函数，
所以关于轴对称，故正确．
．当，时，，，
所以，
所以，，
所以函数在，上的最小值为．故正确．
．因为，
当，时，，单调递减，即时，则
当时，，单调递增，所以，则，故错误．
故选：．
【点睛】
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换的应用，函数的零点和方程的根的关系，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力．
12．ABD
【解析】
【分析】
求得函数的导数，求得函数的单调性，可判定A，由函数的单调性和极值的概念，可判定B，利用函数的单调性，极值、端点的函数值，可判定C；将非常的解转化为两个函数图象交点的个数，结合图象，可判定D，即可得到答案.
【详解】
由题意，函数，可得，
当，即，所以，
所以，解得，
当时，；当时，，
当，即，所以，
所以，解得，
当时，；当时，，
所以当时，单调递减，所以A正确；
又因为当时，，当时，，
所以在出取得极小值，所以B正确；
因为，所以在上不只有一个实数根，所以C不正确；
因为方程，即，
即，所以，
正切函数在为单调递增函数，
又由函数，可得，
当和时，，当时，，
且当时，，作出两函数的大致图象，如图所示，
由图象可得，当，函数与的图象有两个交点，
所以D正确.
故选：ABD.

【点睛】
利用导数研究函数的单调性（区间）的方法：
（1）当导函数不等式可解时，解不等式或，求出函数的单调区间；
（2）当方程可解时，解出方程的实根，依据实根把函数的定义域划分为几个区间，确定各区间的符号，从而确定函数的单调区间；
（3）若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据结构特征，利用图像与性质确定的符号，从而确定单调区间.
13．
【解析】
【分析】
先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．
【详解】
由题，当时，，故点在曲线上．
求导得：，所以．
故切线方程为．
故答案为：．
14．
【解析】
【分析】
利用抛物线的定义以及抛物线的方程解出即可．
【详解】
由题意，得，解得，
即，代入，得，结合，解得
故答案为：
15．35
【解析】
【分析】
由题意利用二项展开式的通项公式，求得、的值，可得结论．
【详解】
解：的展开式的通项公式为，
展开式中第5项为常数项，故当时，，，
该展开式的常数项为，
故答案为：35．
16．         
【解析】
【分析】
由题设可得的中点 为四面体外接球的球心，故求出半径后可得球的表面积. 在中过作，垂足为，连接，在中过作，与交于，连接，在中过作直线的垂线，垂足为，连接，设二面角的平面角为，可求，从而可求的运动轨迹的长度.
【详解】

如图，在四面体中，取的中点为，连接，
由均为直角三角形可以得到，
故为四面体外接球的球心，故外接球的半径为，
故外接球的表面积为.
在中过作，垂足为，连接，则，
在中过作，与交于，连接，则，
且，故.
又为二面角的平面角，设该角为，
在中过作直线的垂线，垂足为，连接，
因为，故平面，而平面，
故平面平面，
因为平面，平面平面，，
故平面，而平面平面，故，
因为，，
故
，
所以，
所以，故，故，
故所在的弧对应的圆心角为（以为圆心，为半径的圆），
故其轨迹的长度为，
故答案为：.
【点睛】
方法点睛：空间中动点的轨迹的长度的计算，关键在动点轨迹的刻画，注意根据动点的几何性质得到轨迹，计算过程中注意把已知的量归结到可解的三角形中.
17．（1）A；（2）.
【解析】
（1）首先利用正弦定理可得asinB＝bsinA，然后利用两角差的正弦公式展开化简即可求解.
（2）设∠B＝θ，，由题意可得∠BAD＝θ，∠ADC＝2θ，∠DACθ，在△ADC中，利用正弦定理可得sinθcosθ，根据同角三角函数的基本关系求出sin2θ，再利用三角形的面积公式即可求解.
【详解】
（1）由正弦定理可得asinB＝bsinA，
则有bsinA＝b（sinAcosA），化简可得sinAcosA，
可得tanA，
因为A∈（0,π），
所以A．
（2）设∠B＝θ，，由题意可得∠BAD＝θ，∠ADC＝2θ，
∠DACθ，∠ACDθ，
在△ADC中，，则，
所以，可得sinθcosθ，
又因为sin2θ+cos2θ＝1，可得sinθ，cosθ，
则sin2θ＝2sinθcosθ，
所以S△ADCsin∠ADC．
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
18．(1) an＝2n﹣1；(2) Tn．
【解析】
（1）根据题意，有an＝Sn﹣Sn﹣1，结合分析可得1，则数列{}是以1为首项，公差为1的等差数列，由等差数列的通项公式可得1+（n﹣1）＝n，则Sn＝n2，据此分析可得答案；
（2）由（1）的结论可得cn＝（2n﹣1）×22n﹣1；进而可得Tn＝1×2+3×23+5×25+……+（2n﹣1）×22n﹣1，由错位相减法分析可得答案．
【详解】
（1）数列{an}中，an＝Sn﹣Sn﹣1，（n∈N*，且n≥2）①
，（n∈N*，且n≥2）②
①÷②可得：1，
则数列{}是以1为首项，公差为1的等差数列，
则1+（n﹣1）＝n，
则Sn＝n2，
当n＝1时，a1＝S1＝1，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣1，
a1＝1也符合该式，
则an＝2n﹣1；
（2）有（1）的结论，an＝2n﹣1，
则cn＝（2n﹣1）×22n﹣1；
则Tn＝1×2+3×23+5×25+……+（2n﹣1）×22n﹣1，③；
则4Tn＝1×23+3×25+5×27+……+（2n﹣1）×22n+1，④；
③﹣④可得：﹣3Tn＝2+2（23+25+……+22n﹣1）﹣（2n﹣1）×22n+1（2n）×22n+1，
变形可得：Tn．
【点睛】
本题考查数列的递推公式的应用以及数列的错位相减法求和，关键是求出数列{an}的通项公式，考查学生的计算能力．
19．（1）见解析； （2）点F为BC中点.
【解析】
(1)利用直线与平面垂直的性质、判定定理以及平面与平面垂直的判定定理证明即可.(2)找建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用数量积求出法向量间夹角，进而得到二面角的余弦值。
【详解】
（1）因为底面，平面，
所以.
因为为正方形，所以，
又因为，所以平面.
因为平面，
所以.
因为，为线段的中点，
所以，
又因为，
所以平面
又因为平面，
所以平面平面.
（2）
因为底面，，以为坐标原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方形的边长为2，则，
所以
设点的坐标为所以
设为平面的法向量，
则所以
取，则.
设为平面的法向量，
则所以
取，则.
因为平面与平面所成的锐二面角为，
所以，
解得，
故当点为中点时，平面与平面所成的锐二面角为.
【点睛】
本题主要考查直线与平面、平面与平面垂直的判定以及建立空间直角坐标系利用两个平面的法向量的夹角求二面角的方法、二面角的定义，考查了推理能力与计算能力，考查了空间想象能力，属于中档题.
20．(1)；
(2)只选一个选项.
【解析】
【分析】
(1)根据给定条件写出由两项或三项组成的所有结果，再由古典概率公式计算作答.
(2)分别求出只选一个选项、选两个选项、选三个选项的条件下得分的期望，比较大小作答.
(1)
依题意，对于这道多选题，可能的正确答案AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD共有种，它们等可能，
记事件A为“小明这道题随便选2个或3个选项能得5分”，而正确答案只有1个，则有，
所以小明这道题能得5分的概率.
(2)
如果小明只选一个选项，那么他这道题的得分X的所有可能取值为0和2，
小明选了一项，若有两项符合要求，则与所选项组成两项的结果有，若有三项符合要求，则与所选项组成三项的结果有，
于是有，，
则有X的分布列为：

0
2




X的数学期望为，
如果小明只选两个选项，那么他这道题的得分Y的所有可能取值为0，2，5，
的事件是小明所选两项恰好符合要求，只有1个结果，若有三项符合要求，则与所选项组成三项的结果有，
，，，
则有Y的分布列为：

0
2
5





Y的数学期望为，
如果小明只选三个选项，那么他这道题的得分Z的所有可能取值为0和5，且
，，
故Z的分布列为

0
5




Z的数学期望为，
因为，所以从这道题得分的数学期望来看，小明应该只选一个选项．
21．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得以及，解方程组即可求出结果；
（2）设设点，根据题意可得以及，两式相减即可求出结果.
(1)
依题意，．
又在椭圆E上，有，所以．
因此，椭圆E的标准方程为；
(2)
设点，则由可得．
由A、C两点在椭圆E上，有
两式相减得，即①
同理可得②
①-②得，即，
因此直线AB的斜率为．
22．(1)证明见解析
(2)有且只有2个零点
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，判断其单调性，结合零点存在定理，判断其零点情况，即可证明在区间存在唯一的极值点；
（2）分区间讨论，讨论函数的导数在区间内的正负情况，从而判断函数的单调性，结合零点存在定理，即可判断函数的零点情况.
(1)
证明：函数的定义域为，导函数为,
当时，，所以在单调递减．
又因为
，，
根据函数零点存在定理，在区间有且只有一个零点．
当时，；当时，,
因此，在单调递增，在单调递减，
故在区间存在唯一的极值点；
(2)
令，则．当时，；
当时，．因此，在单调递增，在单调递减．
由于，且当时，，
故当时，，从而在区间没有零点．
当时，，从而，
在单调递减．又，
根据函数零点存在定理，在区间有且只有一个零点．
当时，由（1）知在单调递增，在单调递减．
又，
根据函数零点存在定理，在区间有且只有一个零点,
综上所述，有且只有2个零点．
【点睛】
本题考查用导数判断函数的极值点以及函数的零点个数问题，综合考查学生应用导数知识的能力和数学素养，解答时要明确导数与函数的极值以及零点之间的关系问题，能用导数灵活判断函数的单调性.