苏教版高中数学必修第一册第4章指数与对数本章达标检测含解析

本章达标检测

(满分:150分;时间:120分钟)

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.log318-log32= (　　)

A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4

2.设a>0,则下列运算正确的是 (　　)

A.=a　　　　　　B.()4=a

C.

3.方程42x-1=16的解是 (　　)

A.x=-　　　　C.x=1　　　　D.x=2

4.已知ab=-5,则a的值是 (　　)

A.2

5.若xlog43=,则9x+log23x等于 (　　)

A.3　　　　B.5　　　　C.7　　　　D.10

6.已知lg2=0.3010,由此可以推断22014是　　　　　位数. (　　) 

A.605　　　　B.606　　　　C.607　　　　D.608

7.围棋棋盘共19行19列,361个格点,每个格点上可能出现黑、白、空三种情况,因此有3361种不同的情况.我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中也讨论过这个问题,他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种,即1000052种,下列最接近的是(注:lg3≈0.477)              (　　)

A.10-25　　　　B.10-26　　　　C.10-35　　　　D.10-36

8.设a=log23,b=log34,c=log58,则 (　　)

A.a>b>c　　　　B.a>c>b　　　　C.c>a>b　　　　D.c>b>a

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)

9.若n∈N,a∈R,则下列四个式子中有意义的是 (　　)

A.

C.

10.下列各式的值为1的是 (　　)

A.log26·log62　　　　　　B.log62+log64

C.(2+·(2-　　　　　　D.(2+-(2-

11.设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,则 (　　)

A.ab+bc=2ac　　　　　　B.ab+bc=ac

C.

12.已知正数x,y,z满足3x=4y=6z,则下列说法正确的是 (　　)

A.　　　　　　B.3x>4y>6z

C.x+y>z　　　　　　D.xy>2z2

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)

13.十六、十七世纪之交,随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展,改进数字计算方法成了当务之急,数学家纳皮尔在研究天文学的过程中,为简化计算发明了对数,直到十八世纪才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系,即ab=N⇔b=logaN,其中a>0且a≠1,N>0.现已知a=log48,则4a=　　　　;4a+4-a=

　　　　. 

14.设35x=49,若用含x的式子表示log535,则log535=　　　　. 

15.(2020江苏安宜中学高一期末,)从1,2,3,4,9这五个数中任取两个数分别作为对数的底数和真数,则可以得到　　　　种不同的对数值. 

16.已知实数α,β满足αeα=e3,β(lnβ-1)=e4,其中e为自然对数的底数,则αβ=　　　　. 

四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)计算:

(1)1-+()0;

(2)log20.25+ln.

18.(本小题满分12分)已知x+x-1=4,求下列各式子的值:

(1);

(2);

(3).

19.(本小题满分12分)求函数y=log2(8x)·log2(4x)(1≤log2x≤3)的最大值与最小值.

20.(本小题满分12分)已知log32=a,log53=b,试用a,b分别表示下列各式:

(1)log25;

(2)lg2;

(3)log2045.

21.(本小题满分12分)光线通过一块玻璃,强度要损失10%.设光线原来的强度为k,通过x块这样的玻璃后强度为y,则至少通过几块这样的玻璃,光线强度能减弱到原来的以下?(参考数据:lg3≈0.477,lg2≈0.3)

22.(本小题满分12分)若a,b是方程2(lgx)2-lgx4+1=0的两个实数根,求lg(ab)·(logab+logba)的值.

答案全解全析

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一、单项选择题

1.B　log318-log32=log3=log39=2.故选B.

2.B　选项A中,,故A错误;

选项B中,()4==a,故B正确;

选项C中,=a0=1,故C错误;

选项D中,a÷,故D错误.

故选B.

3.B　因为42x-1=16,所以2x-1=log416=log442=2,所以2x-1=2,所以x=.

故选B.

4.B　a,

由题意知ab<0,故,则原式=0.故选B.

5.B　由xlog43=,得log43x=,

∴3x==2,∴9x+log23x=22+log22=5.故选B.

6. C　令22014=t,两边同时取常用对数得2014×lg2=lgt,则lgt=2014×

0.3010=606.214,∴22014是607位数.故选C.

7.D　将=lg3361-lg1000052=361×lg3-52×4≈-35.8,∴≈10-35.8.

分析选项,可得10-36与其最接近.故选D.

8.B　因为b=log34=log2764=,c=log58=log2564=,又lg64>0,0<lg25<lg27,

所以b<c.

因为a=log23=log49>log48=,c=log58=,又lg8>0,0<lg4<lg5,所以c<a.

所以a>c>b.故选B.

二、多项选择题

9.AC　A中,2n为偶数,则(-4)2n>0恒成立,A中式子有意义;B中,(-4)2n+1<0,无意义;C中,a4为恒大于或等于0的数,有意义;D中,当a<0时,式子无意义.故选AC.

10.AC　选项A中,log26·log62=1,故A符合题意;选项B中,原式=log6(2×4)=log68≠1,故B不符合题意;选项C中,原式=[(2+)·(2-)=1,故C符合题意;选项D中,[(2+-(2-]2=2+-2(2+·(2-=4-2=2≠1,故D不符合题意.故选AC.

11.AD　由于a,b,c都是正数,故可设4a=6b=9c=M,则a=log4M,b=log6M,c=log9M,∴=logM4,=logM6,=logM9.

∵logM4+logM9=2logM6,∴,即,去分母整理得,ab+bc=2ac.

故选AD.

12.ACD　设3x=4y=6z=t(t>1),则x=,y=,z=.

,故A正确;

=4logt3=logt81,=3logt4=logt64,logt81-logt64=logt>0,所以,即3x<4y,故B不正确;

,故C正确;

>2,故D正确.故选ACD.

三、填空题

13.答案　8;

解析　因为a=log48,所以4a=8.

所以4a+4-a=8+.

14.答案　

解析　对35x=49两边取以5为底的对数,可得xlog535=log549,即x(log55+log57)=2log57,所以log57=,

所以log535=1+log57=1+.

15.答案　9

解析　当构成的对数式含有1时,只能真数为1,底数可为2,3,4,9,得到的对数值均为0;当构成的对数式不含1时,有log23,log24,log29,log32,log34,log39,log42,log43,log49,log92,log93,log94,其中log23=log49,log24=log39,log32=log94,log42=log93,故有8种不同的对数值.综上,可以得到1+8=9种不同的对数值.

16.答案　e4

解析　对αeα=e3,β(lnβ-1)=e4两边取以e为底的对数,得α+lnα=3,lnβ+ln(lnβ-1)=4,即α+lnα-3=0,lnβ-1+ln(lnβ-1)-3=0,

所以α和lnβ-1是方程x+lnx-3=0的根.

易知方程x+lnx-3=0的根唯一,

所以α=lnβ-1,所以3-lnα=lnβ-1,整理得lnα+lnβ=4,所以αβ=e4.

四、解答题

17.解析　(1)1-+()0

=1-+1 (2分)

=1-+1 (4分)

=-. (5分)

(2)log20.25+ln

=log2 (7分)

=-2++81+lg100-2 (9分)

=79. (10分)

18.解析　(1)由条件可知x+x-1=()2-2=4,所以()2=6, (2分)

又>0,所以. (4分)

(2)=()(x+x-1-1) (6分)

=×(4-1)=3. (8分)

(3)等式x+x-1=4两边平方得x2+x-2+2=16,所以x2+x-2=14. (10分)

所以. (12分)

19.解析　y=log2(8x)·log2(4x)

=(log2x+3)·(log2x+2) (2分)

=(log2x)2+5log2x+6 (4分)

=. (6分)

∵1≤log2x≤3, (8分)

∴当log2x=1,即x=2时,ymin=12; (10分)

当log2x=3,即x=8时,ymax=30. (12分)

20.解析　(1)log25=. (4分)

(2)lg2=

=. (8分)

(3)log2045=. (12分)

21.解析　光线经过1块玻璃后,强度变为y=(1-10%)k=0.9k; (2分)

光线经过2块玻璃后,强度变为y=(1-10%)·0.9k=0.92k; (4分)

……

光线经过x块玻璃后,强度变为y=0.9xk. (6分)

由题意得0.9xk<,即0.9x<, (8分)

两边同时取常用对数,可得xlg0.9<lg. (10分)

因为lg0.9<lg1=0,

所以x>≈13.04,

又x∈N*,所以至少通过14块这样的玻璃,光线强度能减弱到原来的以下. (12分)

22.解析　原方程可化为2(lgx)2-4lgx+1=0.(2分)

设t=lgx,则方程化为2t2-4t+1=0,

∴t1+t2=2,t1t2=. (4分)

∵a,b是方程2(lgx)2-lgx4+1=0的两个实数根,∴不妨令t1=lga,t2=lgb,

∴lga+lgb=2,lga·lgb=, (6分)

∴lg(ab)·(logab+logba)

=(lga+lgb)·

=(lga+lgb)· (8分)

=(lga+lgb)· (10分)

=2×=12,

故lgab·(logab+logba)=12. (12分)