高中数学人教B版 (2019)必修 第二册6.2.1 向量基本定理教学设计及反思

平面向量基本定理

【教学目标】

 （1）了解平面向量基本定理；

 （2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；

 （3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达。

【教学重点】

 平面向量基本定理。

【教学难点】

 平面向量基本定理的理解与应用。

【教学过程】

一、复习引入

 1．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ

 （1）|λ|=|λ|||；（2）λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=

 2．运算定律

结合律：λ(μ)=(λμ) ；分配律：(λ+μ)=λ+μ，λ(+)=λ+λ 

 3．向量共线定理  向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ。

二、讲解新课

 平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2。

探究：

 （1） 我们把不共线向量ｅ1．ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

 （2） 基底不惟一，关键是不共线；

 （3） 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ1．ｅ２的条件下进行分解；

 （4） 基底给定时，分解形式惟一、 λ1，λ2是被，，唯一确定的数量

三、讲解范例

例1 已知向量，  求作向量2．5+3。

 例2  如图 ABCD的两条对角线交于点M，且=，=，用，表示，，和                                                  

 例3已知 ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证：+++=4

 例4（1）如图，，不共线，=t (tR)用，表示。

（2）设不共线，点P在O、A．B所在的平面内，且。求证：A．B．P三点共线。

 例5 已知 a=2e1-3e2，b= 2e1+3e2，其中e1，e2不共线，向量c=2e1-9e2，问是否存在这样的实数与c共线。

四、课堂练习

 1．设e1．e2是同一平面内的两个向量，则有(  )

 A．e1．e2一定平行                    

 B．e1．e2的模相等

 C．同一平面内的任一向量a都有a =λe1+μe2(λ、μ∈R)

 D．若e1．e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a =λe1+ue2(λ、u∈R)

 2．已知矢量a = e1-2e2，b =2e1+e2，其中e1．e2不共线，则a+b与c =6e1-2e2的关系

 A．不共线          B．共线      C．相等        D．无法确定

 3．已知向量e1．e2不共线，实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则x-y的值 等于(  )

 A．3             B．-3          C．0          D．2

 4．已知A．b不共线，且c =λ1a+λ2b(λ1，λ2∈R)，若c与b共线，则λ1=___。

 5．已知λ1＞0，λ2＞0，e1．e2是一组基底，且a =λ1e1+λ2e2，则a与e1_____，a 与e2_________(填共线或不共线)。