2020-2021学年1.2 空间向量基本定理教案

空间向量运算的坐标表示

【教学目标】

1．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算；

2．会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。

【教学重难点】

1. 空间向量的坐标运算。

2. 空间向量的坐标运算。

【教学过程】

一、创设情景

1．平面向量的坐标表示

分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得

把叫做向量的（直角）坐标，记作其中叫

做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标， 特别地，，，

二、新课讲授

1．空间直角坐标系：（让学生了解即可，重点知道坐标表示）

（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫做单位正交基底，用表示；

2．空间直角坐标系中的坐标：

如图给定空间直角坐标系和向量，设为坐标向量，则

存在唯一的有序实数组，使，有序实

数组叫做向量在空间直角坐标系中的坐标，记作。

在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫做竖坐标。

3．空间向量的直角坐标运算律

（1）若，，

则，

，

，

；

（2）在空间直角坐标系中，已知点，，

则。

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

（3）两点间的距离公式：若，，

则，

或。

将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来，不仅可以解决夹角和距离的计算问题，而且可以使一些问题的解决变得简单。

三、典例分析

例1如图，在正方体中，，分别是，的一个四等分点，求与所成角的余弦值。

分析：与所成的角就是，所成的角或它的补角。因此，我们可以通过，的坐标表示，计算出它们的数量积与模，进而求出它们所成角的余弦值。

解：如图，不妨设正方体的棱长为1，分别以、、为单位正交基底建立空间直角坐标系，则，，，

所以

，

所以

因此，与所成角的余弦值是。

例2如图，正方体中，，分别是，中点，求证：

证明：如图，不妨设正方体的棱长为1，分别以、、为单位正交基底建立空间直角坐标系，则，

所以，又，，

所以

所以，

因此，即

例3  已知，，求：

（1）线段的中点坐标和长度；

（2）到两点的距离相等的点的坐标满足的条件

解答：

（1）设是线段的中点，则。

∴的中点坐标是；；。

（2）∵ 点到两点的距离相等，

则，化简得：，所以，到两点的距离相等的点的坐标满足的条件是。

点评：到两点的距离相等的点构成的集合就是线段AB的中垂面，若将点的坐标满足的条件的系数构成一个向量，发现与共线。

四、回顾总结

空间向量的坐标表示及其运算。