高考数学二轮专题《数列》解答题专项复习（2份，教师版+原卷版）

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高考数学数列解答题专项复习1.设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn=an+12-4n-1,n∈N*，且a1=1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=(-1)nSn，求{bn}的前99的项和T99．【答案解析】解：（1）∵，∴，∴，即，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，，∴．（2），∴，∴．2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a5=25，S5=55.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设anbn=，求数列{bn}的前n项和Tn.【答案解析】解：(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得解得∴数列{an}的通项公式为an=3n＋2.(2)由anbn=，得bn===(－)，Tn=b1＋b2＋…＋bn=(－＋－＋…＋－)=(－)=－=.   3.设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1=3，an＋1=2Sn＋3(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn=(2n－1)an，求数列{bn}的前n项和Tn.【答案解析】解：(1)当n≥2时，由an＋1=2Sn＋3，得an=2Sn－1＋3，两式相减，得an＋1－an=2Sn－2Sn－1=2an，所以an＋1=3an，所以=3.当n=1时，a1=3，a2=2S1＋3=2a1＋3=9，则=3.所以数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列.所以an=3×3n－1=3n.(2)由(1)得bn=(2n－1)an=(2n－1)×3n.所以Tn=1×3＋3×32＋5×33＋…＋(2n－1)×3n，①3Tn=1×32＋3×33＋5×34＋…＋(2n－1)×3n＋1，②①－②得－2Tn=1×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－(2n－1)×3n＋1=3＋2×(32＋33＋…＋3n)－(2n－1)×3n＋1=3＋2×－(2n－1)×3n＋1=－6－(2n－2)×3n＋1.所以Tn=(n－1)×3n＋1＋3.4.设数列{an}的各项均为正数，且a2=4a1，an＋1=a＋2an(n∈N*).(1)证明：数列{log3(1＋an)}为等比数列；(2)设数列{log3(an＋1)}的前n项和为Tn，求使Tn>520成立时n的最小值.【答案解析】解：(1)证明：由已知，得a2=a＋2a1=4a1，则a1(a1－2)=0，因为数列{an}的各项均为正数，所以a1=2.因为an＋1＋1=(an＋1)2>0，所以log3(an＋1＋1)=2log3(an＋1).又log3(a1＋1)=log33=1，所以数列{log3(1＋an)}是首项为1，公比为2的等比数列.(2)由(1)可知，log3(1＋an)=2n－1，所以Tn=1＋2＋22＋…＋2n－1=2n－1.由Tn>520，得2n>521(n∈N*)，得n≥10.则使Tn>520成立时n的最小值为10. 5.在数列{an}中，a＋2an＋1=anan＋2＋an＋an＋2，且a1=2，a2=5.(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn.【答案解析】解：(1)证明：∵a＋2an＋1=anan＋2＋an＋an＋2，∴(an＋1＋1)2=(an＋1)(an＋2＋1)，即=.∵a1=2，a2=5，∴a1＋1=3，a2＋1=6，∴=2，∴数列{an＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列.(2)由(1)知，an＋1=3·2n－1，∴an=3·2n－1－1，∴Sn=－n=3·2n－n－3.6.已知数列{an}满足a1=，an＋1=10an＋1.(1)证明：数列是等比数列，并求数列{an}的通项公式；(2)数列{bn}满足bn=lg，Tn为数列的前n项和，求证：Tn＜.【答案解析】解：(1)由an＋1=10an＋1，得an＋1＋=10an＋=10，所以=10，所以数列是等比数列，首项为a1＋=100，公比为10.所以an＋=100×10n－1=10n＋1，所以an=10n＋1－.(2)【证明】由(1)可得bn=lg=lg 10n＋1=n＋1，所以==－，所以Tn=＋＋…＋=－＜，所以Tn＜.7.已知等差数列{an}满足a2=0，a6＋a8=－10.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和．【答案解析】解：(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得解得故数列{an}的通项公式为an=2－n.(2)设数列的前n项和为Sn，即Sn=a1＋＋…＋，故S1=1，=＋＋…＋.所以，当n＞1时，=a1＋＋…＋－=1－－=1－－=，所以Sn=，综上，数列的前n项和Sn=.8.已知数列{an}满足a1=1，an≠0，且an＋1－an＋3an＋1an=0.(1)证明数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式；(2)求数列{an·an＋1}的前n项和Sn.【答案解析】解：(1)由an≠0，an＋1－an＋3an＋1an=0可得－＋3=0，即=＋3.所以数列是公差d=3，首项==1的等差数列，故=1＋3(n－1)=3n－2，所以an=.(2)由(1)知，an·an＋1=×==.故数列{an·an＋1}的前n项和Sn=＋===.9.各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=3，S3=39.（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{cn}满足，求数列{cn}的前n项和Tn.【答案解析】解：10.已知等差数列{an}的前三项为a－1,4,2a，记前n项和为Sn.(1)设Sk=2 550，求a和k的值；(2)设bn=，求b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1的值.【答案解析】解：(1)由已知得a1=a－1，a2=4，a3=2a，又a1＋a3=2a2，∴(a－1)＋2a=8，即a=3，∴a1=2，公差d=a2－a1=2.由Sk=ka1＋d，得2k＋×2=2 550，即k2＋k－2 550=0，解得k=50或k=－51(舍去) ，∴a=3，k=50.(2)由Sn=na1＋d，得Sn=2n＋×2=n2＋n，∴bn==n＋1，∴{bn}是等差数列，则b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1=(3＋1)＋(7＋1)＋(11＋1)＋…＋(4n－1＋1)=，∴b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1=2n2＋2n.  11.设数列{an}的前n项和为Sn，点(n∈N*)均在函数y=3x-2的图象上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn.【答案解析】解：(1)依题意，得=3n-2，即Sn=3n2-2n.当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5；当n=1时，a1=1也适合．即an=6n-5.(2)由(1)得bn===，故Tn=b1＋b2＋…＋bn==.12.已知数列{an}，an∈N*，Sn是其前n项和，Sn=(an＋2)2.(1)求证{an}是等差数列；(2)设bn=an-30，求数列{bn}的前n项和的最小值．【答案解析】解：(1)证明：当n=1时，a1=S1=(a1＋2)2，解得a1=2.当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(an＋2)2-(an-1＋2)2，即8an=(an＋2)2-(an-1＋2)2，整理得，(an-2)2-(an-1＋2)2=0，即(an＋an-1)(an-an-1-4)=0.∵an∈N*，∴an＋an-1>0，∴an-an-1-4=0，即an-an-1=4(n≥2)．故{an}是以2为首项，4为公差的等差数列．(2)设{bn}的前n项和为Tn，∵bn=an-30，且由(1)知an=2＋(n-1)×4=4n-2，∴bn=(4n-2)-30=2n-31，故数列{bn}是单调递增的等差数列．令2n-31=0，得n=15，∵n∈N*，∴当n≤15时，bn<0；当n≥16时，bn>0，即b1<b2<…<b15<0<b16<b17<…，当n=15时，Tn取得最小值，最小值为T15=×15=-225. 13.已知{an}是公差为正数的等差数列，首项a1=3，前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，首项b1=1，且a2b2=12，S3+b2=20.                                          (1)求{an}，{bn}的通项公式.                                          (2)令cn=nbn(n∈N*)，求{cn}的n项和Tn.                                          【答案解析】解：(1)设公差为d，公比为q，则a2b2=(3+d)q=12①S3+b2=3a2+b2=3(3+d)+q=20②联立①②可得，(3d+7)(d﹣3)=0∵{an}的公差d＞0.则d=3，q=2，∴an=3+(n﹣1)×3=3n，bn=2n﹣1；(2)bn=2n﹣1，cn=n2n﹣1，∴Tn=c1+c2+…+cn=120+221+322+…+n2n﹣1，2Tn=121+222+…+(n﹣1)2n﹣1+n2n，两式相减可得，﹣Tn=120+121+122+…+12n﹣1﹣n2n，∴﹣Tn=﹣n2n=2n﹣1﹣n2n，∴Tn=(n﹣1)2n+1.14.已知数列{an}的前n项和为.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令,求数列{bn}的前n项和Tn.【答案解析】解：    15.已知数列{an}满足nan－(n＋1)·an－1=2n2＋2n(n=2,3,4，…)，a1=6.(1)求证：为等差数列，并求出{an}的通项公式；(2)设数列的前n项和为Sn，求证：Sn＜.【答案解析】解：(1)证明：由nan－(n＋1)an－1=2n2＋2n(n=2,3,4，…)，a1=6，可得－=2，=3，则是首项为3，公差为2的等差数列，可得=3＋2(n－1)=2n＋1，则an=(n＋1)(2n＋1)(n∈N*).(2)证明：由＜=，可得数列的前n项和Sn=＋＋…＋≤＋×=＋＜＋=，即Sn＜.