2023年高考数学(文数)一轮复习创新思维课时练2.12《导数的综合应用》(2份，教师版+原卷版)

2023年高考数学(文数)一轮复习创新思维课时练

2.12《导数的综合应用》

一 、选择题

1.若不等式2xln x≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A.(－∞，0)      B.(－∞，4]    C.(0，＋∞)     D.[4，＋∞)

【答案解析】答案为：B；

解析：[由题意知a≤2ln x＋x＋对x∈(0，＋∞)恒成立，

令g(x)=2ln x＋x＋，则g′(x)=＋1－=，

由g′(x)=0得x=1或x=－3(舍)，且x∈(0,1)时，g′(x)＜0，

x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0.因此g(x)min=g(1)=4.所以a≤4，故选B.]

2.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为(　　)

A.3         B.4        C.6         D.5

【答案解析】答案为：A；

解析：[设圆柱的底面半径为R，母线长为l，则V=πR2l=27π，

∴l=，要使用料最省，只需使圆柱的侧面积与下底面面积之和S最小.

由题意，S=πR2＋2πRl=πR2＋2π·.

∴S′=2πR－，令S′=0，得R=3，则当R=3时，S最小.故选A.]

3.若0＜x1＜x2＜1，则(　　)

A.ex2－＞ln x2－ln x1

B.－＜ln x2－ln x1

C.x2＞x1

D.x2＜x1

【答案解析】答案为：C；

解析：[令f(x)=，则f′(x)==.

当0＜x＜1时，f′(x)＜0，

即f(x)在(0,1)上递减，因为0＜x1＜x2＜1，

所以f(x2)＜f(x1)，即＜，所以x2＞x1，故选C.]

4.已知函数f(x)=x3－2x2＋3m，x∈[0，＋∞)，若f(x)＋5≥0恒成立，则实数m的取值范围是(　　)

A.[,+∞)　　     B.(,+∞)　   C.(－∞，2]         D.(－∞，2)

【答案解析】答案为：A

解析：f′(x)=x2－4x，由f′(x)>0，得x>4或x<0.

∴f(x)在(0,4)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，

∴当x∈[0，＋∞)时，f(x)min=f(4).

∴要使f(x)＋5≥0恒成立，只需f(4)＋5≥0恒成立即可，代入解之得m≥.

5.对∀x∈R，函数f(x)的导数存在，若f′(x)>f(x)，且a>0，则以下说法正确的是(　　)

A.f(a)>ea·f(0)      B.f(a)<ea·f(0)    C.f(a)>f(0)     D.f(a)<f(0)

【答案解析】答案为：A

解析：设g(x)=，则g′(x)=>0，故g(x)=为R上的单调递增函数，因此g(a)>g(0)，即>=f(0)，所以f(a)>ea·f(0)，选A.

6.若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是(　　)

A.(－∞，＋∞)     B.(－2，＋∞)    C.(0，＋∞)    D.(－1，＋∞)

【答案解析】答案为：D

解析：∵2x(x－a)<1，∴a>x－.令f(x)=x－，∴f′(x)=1＋2－xln 2>0.

∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)>f(0)=0－1=－1，

∴a的取值范围为(－1，＋∞)，故选D.

7.做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积的价格为b元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为(　　)

A.         B.       C.          D.

【答案解析】答案为：C

解析：如图，设圆柱的底面半径为R，高为h，

则V=πR2h.设造价为y=2πR2a＋2πRhb=2πaR2＋2πRb·=2πaR2＋，

所以y′=4πaR－.令y′=0，得=.

8.设1＜x＜2，则，()2，的大小关系是(　　)

A.()2＜＜            B.＜()2＜

C.()2＜＜          D.＜()2＜

【答案解析】答案为：A

解析：令f(x)=x－ln x(1＜x＜2)，则f′(x)=1－=＞0，

所以函数y=f(x)在(1,2)内为增函数.所以f(x)＞f(1)=1＞0，

所以x＞ln x＞0⇒0＜＜1.所以()2＜.

又－==＞0，所以()2＜＜.

9.已知y=f(x)为R上的连续可导函数，且xf′(x)＋f(x)＞0，则函数g(x)=xf(x)＋1(x＞0)的零点个数为(　　)

A.0         B.1      C.0或1         D.无数个

【答案解析】答案为：A；

解析：[因为g(x)=xf(x)＋1(x＞0)，g′(x)=xf′(x)＋f(x)＞0，所以g(x)在(0，＋∞)上递增，因为g(0)=1，y=f(x)为R上的连续可导函数，所以g(x)为(0，＋∞)上的连续可导函数，g(x)＞g(0)=1，所以g(x)在(0，＋∞)上无零点.]

10.函数f(x)的导函数为f ′(x)，若∀x∈R恒有f ′(x)<f(x)成立，且f(2)=1，

则不等式f(x)>ex－2的解集为(　　)

A.(－∞，1)      B.(1，＋∞)      C.(2，＋∞)       D.(－∞，2)

【答案解析】答案为：D

解析：设函数g(x)=，则g′(x)=<0，

∴g(x)在R上单调递减，不等式f(x)>ex－2可转化为>.

∵g(2)==，∴>，∴x＜2，∴x∈(－∞，2).故选D.

11.若不等式2xln x≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A.(－∞，0)      B.(－∞，4]      C.(0，＋∞)　    D.[4，＋∞)

【答案解析】答案为：B

解析：2xln x≥－x2＋ax－3，则a≤2ln x＋x＋，设h(x)=2ln x＋x＋(x>0)，

则h′(x)=.当x∈(0,1)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；

当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增，

所以h(x)min=h(1)=4，所以a≤h(x)min=4.

12.若函数f(x)=m－x2＋2ln x在上有两个不同的零点，则实数m的取值范围为(　　)

A.(1，e2－2]        B.[4+ ,e2－2]    C.(1,4+]        D.[1，＋∞)

【答案解析】答案为：C；

解析：令f(x)=m－x2＋2ln x=0，则m=x2－2ln x.

令g(x)=x2－2ln x，则g′(x)=2x－=，

∴g(x)在上单调递减，在(1，e]上单调递增，

∴g(x)min=g(1)=1，又g=4＋，g(e)=e2－2，4＋＜5，e2－2＞2.72－2＞5，

∴g＜g(e)，数形结合知，若函数f(x)在上有两个不同的零点，

则实数m的取值范围为，故答案为选C.

二 、填空题

13.直线y=a与函数f(x)=x3－3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是________.

【答案解析】答案为：(－2,2)

解析：令f′(x)=3x2－3=0，得x=±1，可得极大值为f(－1)=2，极小值为f(1)=－2，

如图，观察得－2＜a＜2时恰有三个不同的公共点.

14.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p元，销量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q=8 300－170p－p2，则该商品零售价定为________元时利润最大，利润的最大值为________元.

【答案解析】答案为：30，23 000；

解析：[设该商品的利润为y元，由题意知，

y=Q(p－20)=－p3－150p2＋11 700p－166 000，

则y′=－3p2－300p＋11 700，令y′=0得p=30或p=－130(舍)，

当p∈(0,30)时，y′＞0，当p∈(30，＋∞)时，y′＜0，

因此当p=30时，y有最大值，ymax=23 000.]

15.若关于x的不等式x3－3x2－9x＋2≥m对任意x∈[－2,2]恒成立，则m的取值范围是_______.

【答案解析】答案为：(－∞，－20]

解析：令f(x)=x3－3x2－9x＋2，则f′(x)=3x2－6x－9，令f′(x)=0，得x=－1或3(舍去).

因为f(－1)=7，f(－2)=0，f(2)=－20.所以f(x)的最小值为f(2)=－20，故m≤－20.

16.已知x∈(0,2)，若关于x的不等式<恒成立，则实数k的取值范围为______.

【答案解析】答案为：[0，e－1)

解析：依题意，知k＋2x－x2>0，即k>x2－2x对任意x∈(0,2)恒成立，从而k≥0，

因此由原不等式，得k<＋x2－2x恒成立.

令f(x)=＋x2－2x，则f ′(x)=(x－1).

令f ′(x)=0，得x=1，当x∈(1,2)时， f ′(x)>0，函数f(x)在(1,2)上单调递增；

当x∈(0,1)时， f ′(x)<0，函数f(x)在(0,1)上单调递减.

所以k<f(x)min=f(1)=e－1，故实数k的取值范围是[0，e－1).