2022年广西贵港市覃塘区中考数学二检试卷（含解析）

2022年广西贵港市覃塘区中考数学二检试卷

副标题

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 化简：

A.   B.   C.

2. 已知一组数据：，，，，的平均数是，则这组数据的中位数是

A.  B.  C.  D.

3. “天问一号”于年月日在火星成功着陆，总飞行里程超过千米，数据用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

4. 同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数乘积为的概率是

A.  B.  C.  D.

5. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

6. 若某函数具有如下三个特征：函数图象经过点；函数图象经过第四象限；当时，随的增大而增大．则这个函数的表达式可能是

A.  B.  C.  D.

7. 若，是一元二次方程的两个实根，则的值是

A.  B.  C.  D.

8. 对于下列四个命题：是最简二次根式；三角形的外角和为；对角线相等的四边形是矩形；圆内接四边形对角互余．其中真命题的个数为

A.  B.  C.  D.

9. 如图，与的边相切于点，将绕点顺时针旋转得到，使点落在上，与交于点，若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

10. 已知二次函数的图象如图所示，则点落在

A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限

11. 如图，在中，是边的中点，点在边上，且，与交于点，则的值为

A.
B.
C.
D.

12. 如图，在边长为的正方形中，的平分线交边于点，点在边上，，连接分别交和于点，，动点在上，于点，连接则下列结论错误的是

A.
B.
C.
D. 的最小值是
 

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 若，则的值为______．
14. 因式分解：______．
15. 如图，，，与相交，若，则______
    
     

16. 如图，在边长为的菱形中，，动点在对角线上，连接，则的最小值是______．
     

17. 如图，等腰直角三角形中，，分别以点、点为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交、、于点、、，则图中阴影部分的面积为______ ．
18. 我们定义一种新的运算：，则不等式的解集为______．

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分）

19. 计算：．
    先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
20. 尺规作图保留作图痕迹，不写作法：
    如图，已知，求作一点，使平分，且．

21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
    求反比例函数的表达式；
    若点在轴的正半轴上，连接与反比例函数的图象交于点，当点是的中点时，求点的坐标．
    
    
    
    
    
    
     
22. 某市开展“弘扬中华传统文化”系列活动，为了解本次活动中竞赛项目“传统文化”笔试情况，随机抽查了部分参赛学生的成绩，整理并制作下列图表尚未完整请根据图表提供的信息，解答下列问题：
    本次调查的样本容量为；在表中：______，______；
    补全频数分布直方图；
    若小聪同学的比赛成绩恰好是所有抽查学生成绩的中位数，则小聪同学的成绩落在分数段内；
    如果比赛成绩分以上含分为优秀，那么该竞赛项目的优秀率是多少？

23. 甲、乙两人在同一个商场购买相同价格的同一种商品，甲用元购买的商品数量比乙用元购买的商品数量少件．
    求这种商品的单价；
    甲、乙两人第二次又同时去购买该商品，发现该商品的单价有所变化，如果甲购买该商品的总价与上次相同，乙购买该商品的数量与上次相同，结果两人两次购买该商品的总件数相同，那么该商品的价格是如何变化？请说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，在四边形中，，，以为直径作，平分，动点在左侧的半圆上与点，均不重合．
    求证：是的切线；
    记中的切点为，若，，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
25. 如图，已知抛物线经过，，三点，点在该抛物线的对称轴上．
    求抛物线的表达式；
    若，求的度数及点的坐标；
    若在的条件下，点在该抛物线上，当时，请直接给出点的坐标．

已知：在平行四边形中，，将该平行四边形分别按下列情形进行折叠，点的对应点为，折痕分别是或点在边或上．

如图，点落在边上，则四边形的形状是______；
如图，点落在四边形内，且是的中点，连接并延长交于点，求证：；
如图，点落在四边形外，且于点，交边于点，若，，，求四边形的面积．







答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：原式．
故选：．
直接根据相反数的概念解答即可．
此题考查的是相反数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
 

2.【答案】
 

【解析】解：这组数据的平均数是，
，
解得：，
这组数据按照从小到大的顺序排列为：，，，，，
则中位数为，
故选：．
根据算术平均数、中位数的概念，结合题意进行求解．
本题考查了算术平均数、中位数的知识：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

3.【答案】
 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】
 

【解析】解：列表得：

由表可知一共有种情况，其中两枚骰子向上的点数乘积为的有种结果，
所以两枚骰子向上的点数乘积为的概率为，
故选：．
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法求随机事件的概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

5.【答案】
 

【解析】解：、原式，故不合题意；
B、原式，故不合题意；
C、原式，故不合题意；
D、原式，故符合题意；
故选：．
A、根据合并同类项法则判断即可；
B、利用完全平方公式计算判断即可；
C、根据同底数幂除法的运算法则计算判断即可；
D、根据幂的乘方与积的乘方运算法则计算判断即可．
此题考查的是完全平方公式、同底数幂除法的运算、合并同类项法则、幂的乘方与积的乘方运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：把点分别代入四个选项中的函数表达式，可得，选项B不符合题意；
又函数过第四象限，而只经过第一、二象限，故选项D不符合题意；
对于函数，当时，随的增大而减小，与给出的特征不符合，故选项A不符合题意．
故选：．
结合给出的函数的特征，在四个选项中依次判断即可．
本题主要考查一次函数，反比例函数及二次函数的性质，根据题中所给特征依次排除各个选项，排除法是中考常用解题方法．
 

7.【答案】
 

【解析】解：是一元二次方程的实根，
，
，
，
，是一元二次方程的两个实根，
，
．
故选：．
先根据一元二次方程解的定义得到，则变形为，接着根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

8.【答案】
 

【解析】解：，故是假命题；
三角形的外角和为，正确，故为真命题；
对角线相等的平行四边形是矩形，故为假命题；
圆内接四边形对角互补，故为假命题；
故选：．
根据矩形、三角形外角和、圆内接四边形的性质及最简二次根式的定义等知识逐项判定即可．
本题主要考查命题与定理的知识，熟练掌握矩形、三角形外角和、圆内接四边形的性质及最简二次根式的定义等知识是解答此题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：如图，连接，
与的边相切，
，
，
绕点按顺时针方向旋转得到，
，，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
故选：．
连接，根据切线的性质得到，根据旋转变换的性质得到，，根据等边三角形的性质、三角形的外角性质计算，得到答案．
本题考查的是切线的性质、旋转变换的性质、等边三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：抛物线的开口方向向上，
．
抛物线与轴的交点在轴的正半轴，
．
．
抛物线的对称轴在轴的左侧，
．
，同号．
．
．
点落在第一象限．
故选：．
利用数形结合法得到，，的符号，再利用象限内的点的坐标的符号特点解得即可．
本题主要考查了数形结合法，二次函数图象的性质，点的坐标的特征，熟练掌握二次函数的图象的性质是解题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：如图，过点作交于，

是边的中点，
点是的中点，
是的中位线，
，
设，则，，
，
，
，
故选：．
过点作交于，可得为的中位线，可得，设，则，根据平行线分线段成比例定理即可求解．
本题考查了平行线分线段成比例，三角形的中位线，过点作，构造三角形的中位线是解题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：正方形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，故A正确；
平分，
，
在和中，
，
≌，
，，
正方形
，
，
，
，
，故B正确；
设，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，故C错误；
≌，
，
，
垂直平分，
，
当时，有最小值，
过点作，
则的长度为的最小值，
，
，故D正确．
故选：．
A、利用正方形的性质证明≌，得到进而可证；
B、利用正方形的性质证明≌，得到，证明，进而可证；
C、利用∽，求得，的长度，然后求出，进而可证；
D、易证垂直平分，过点作，利用垂线段最短可知的长度为最小值，利用等面积法可求．
本题综合考查了正方形的性质，全等三角形的性质，相似三角形等知识，能够合理选择正方形的性质找到相似与全等的条件是解题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解根据题意，得，，
解得：，，
则．
故答案为：．
直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质得出，的值，进而得出答案．
此题主要考查了绝对值的性质以及二次根式的性质，正确把握相关定义是解题关键．
 

14.【答案】．
 

【解析】解：原式．
故答案为：．
首先提公因式，再利用平方差进行分解即可．
此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，一般先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
 

15.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
过点作，利用平行线的性质解答即可．
【解答】
解：过点作，

，
，，
，，
，
，
，
故答案为：．  

16.【答案】
 

【解析】解：如图作于，
四边形是菱形，
，
，
，
根据垂线段最短可知，的最小值为的长，
在中，，
的最小值为，
故答案为：．
如图作于，由，根据垂线段最短可知，的最小值为的长；
本题考查了胡不归问题，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

17.【答案】
 

【解析】解：等腰直角三角形中，，，
，

，
阴影部分的面积，
故答案为．
阴影部分的面积等于的面积减去空白处的面积即可得出答案．
本题考查了扇形的面积公式，正确熟记扇形的面积公式是解此题的关键，题目比较好，难度适中．
 

18.【答案】或
 

【解析】解：当，即时，不等式化简得：，
解得：；
当，即时，不等式化简得：，
解得：，
综上所示，不等式的解集为或．
故答案为：或．
分类讨论与的大小，求出解集即可．
此题考查了解一元一次不等式，弄清题中的新定义，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
 

19.【答案】解：



；




，
当时，原式．
 

【解析】根据特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂、绝对值可以解答本题；
先算括号内的减法，然后计算括号外的除法，最后将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

20.【答案】解：如图，点即为所求．

 

【解析】作的平分线；作边的垂直平分线；射线，直线的交点为所求之点．
本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：点在直线上，
，
则直线表达式为，
点在直线上，
，
又点在反比例函数的图象上，
，，
反比例函数的表达式．

点在轴的正半轴上，
设点的坐标为，其中，
点的坐标为，且点是的中点，
点的坐标为，
点在反比例函数的图象上，
，则，
点的坐标为．
 

【解析】利用待定系数法可得答案；
根据坐标与函数图象的关系可得问题的答案．
本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数交点的坐标特征，正确得到函数解析式是解决此题的关键．
 

22.【答案】 
 

【解析】解：本次调查的样本容量为，
则、，
故答案为：、；

补全图形如下：


共有个数据，其中位数是第、个数据的平均数，而第、个数据均落在分数段内，
中位数在分数段内，
即小聪同学的成绩落在分数段内．

该竞赛项目的优秀率是．
由第一组的频数及其频率求得总人数，再频率频数总人数分别求解可得；
根据表格中数据即可补全图形；
根据中位数的定义求解可得；
用、的人数和除以总人数即可得．
本题主要考查了条形统计图，用样本估计总体，频数率分布表，解题的关键是读懂图，找出对应数据，解决问题．
 

23.【答案】解：设这种商品的单价元，
根据题意，得：，
解得：，
经检验可知是所列分式方程的解，且满足题意，
答：这种商品的单价元；
该商品的单价为元，比第一次购买的单价少了元．
理由如下：设第二次购买时，该商品的单价为元，
乙两次购买该商品的总件数为件，
而甲第一次购买该商品的件数为件，
甲第二次购买该商品的件数为件，
，解得，，
故第二次购买时，该商品的单价为元，比第一次购买的单价少了元．
 

【解析】设这种商品的单价为元件．根据“甲用元购买的商品数量比乙用元购买的商品数量少件”找到相等关系，列出方程，解出方程即可得出答案；
设第二次购买时，该商品的单价为元，求出甲第二次购买该商品的件数为件，根据甲用元购买了件，单价为元，列出方程，解出方程即可得出答案．
本题考查了方式方程的应用，找到题目中的相等关系是解决问题的关键．
 

24.【答案】证明：如图，过作，垂足为，

，，
，
又平分，
，
是的直径，是的半径，
是的半径，
是的切线．
解：如图，过点作于点，连接，
，，
四边形是矩形，
，
，
，
，，均是的切线，，，是切点，
，，，
在中，由勾股定理得：，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，，且，
平分，即，
在中，，
．
 

【解析】过作，垂足为，由平行线的性质及角平分线的定义可得，再由切线的判定定理可得结论；
过点作于点，连接，根据矩形的判定与性质可得，由切线的性质及勾股定理得，最后根据三角函数可得答案．
此题考查的是切线的判定与性质、圆周角定理、解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．
 

25.【答案】解：法一般式：
抛物线经过，，三点，
，解得：，
抛物线的表达式为．
法交点式：设抛物线为，将代入求；
法顶点式；由，和对称性得为，
则设抛物线为，将，代入求，．
抛物线的对称轴为直线，点在对称轴上，
由抛物线的对称性可知：，
又，
点是外接圆的圆心，
，
是等腰直角三角形，
．
设点的坐标为，又，
，则，
点的坐标为．
点的坐标为或．
如图，由在抛物线上，，可知点的位置有两种情形，分别在直线的上方和下方，
当点在直线的上方时，记为如图所示，

方法思路一：利用几何性质及抛物线的对称性来求解
，又，
，
和关于对称轴对称，
直线和关于对称轴对称，
又和均在抛物线，
和关于对称轴对称，
，对称轴为直线，
的坐标为．
方法思路二：利用几何性质及点坐标的几何性来求解
，
又，
，
，
若设的坐标为，则有，
其他过程略．
当点在直线的下方时，记为如图所示，
方法思路一：
易得：是的平分线，还是的平分线，且为直角，
若设与轴交于点，则与关于对称，
的坐标为，
，又，
的坐标为，
，
直线的表达式为，
则由，解得的坐标为另一点舍去．
方法思路二：
在求得的坐标为后，设的坐标为，
则有，其他过程略．
还有如下解法思路：
求：如图，设交轴于点，过作于，

则有是等腰直角三角形，
，
，
又，
，
，
，
，则，其他过程与上面雷同，
求同法．
综上，点的坐标为或．
 

【解析】将，，三点代入抛物线解析式，解方程组即可得出结论；
由抛物线的对称轴为直线，点在对称轴上，可得，因为，所以点是外接圆的圆心，因为，所以是等腰直角三角形，设点的坐标为，又，所以，则，由此可得出点的坐标；
分两种情形：当点在第一象限或点在第二象限，利用相似三角形的性质构建方程求解即可．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
 

26.【答案】菱形
 

【解析】解：如图，由折叠得，，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
故答案为：菱形．
证明：如图，由折叠得，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
．
解：如图，作于点，则，，
于点，
，
由折叠得，
，
，
，
，
，，
，，，
，
，
，
，
，
四边形的面积是．
由折叠得，，，由，，所以，则，即可根据“四条边都相等的四边形是菱形”证明四边形是菱形；
由折叠得，，则，得，即可推导出，得，所以，即可证明四边形是平行四边形，则，所以；
作于点，则，，由于点，得，由折叠得，所以，而，则，可求出的长和的长，再根据，，求出的长，再求出的长，即可根据求得四边形的面积．
此题考查平行四边形判定与性质、轴对称的性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数、解直角三角形、运用转化思想求多边形的面积等知识与方法，此题难度较大，属于考试压轴题．