2022年河北省秦皇岛市青龙县中考数学一模试卷（含解析）

2022年河北省秦皇岛市青龙县中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共16小题，共42.0分）

1. 如图，的一边经过的点是

A. 点
B. 点
C. 点
D. 点

2. 在计算时通常转化成，这个变形的依据是

A. 移项 B. 加法交换律 C. 加法结合律 D. 乘法分配律

3. 如图，在正方形中，点是的内心，连接并延长交于点，则的度数是

A.
B.
C.
D.

4. “与差的倍”用代数式可以表示成

A.  B.  C.  D.

5. 如图，已知点与点关于点对称，点与点也关于点对称，若，则的长可能是

A.
B.
C.
D.

6. 与结果相同的是

A.  B.  C.  D.

7. 若图所示的正方体表面展开图是图，则正方体上面的几何图形是

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象可以是

A.
B.
C.
D.

9. 如图是某晾衣架的侧面示意图，根据图中数据，则、两点间的距离是

A.
B.
C.
D.

10. 已知是正整数，若，则的值是

A.  B.  C.  D.

11. 已知：如图，在平行四边形中，对角线平分．
    求证：四边形是菱形．
    证明：四边形是平行四边形，．
    ．
    对角线平分，．
    ．
    四边形是菱形．
    为了推理更加严谨，在“”和“四边形是菱形”之间的补充，下列说法正确的是

A. 已经严谨，不用补充 B. 应补充“平分”
C. 应补充“” D. 应补充“”

12. 已知、互为相反数，则关于的方程根的情况

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 有一根为

13. 某轮滑队所有队员的年龄只有、、、、岁五种情况，其中部分数据如图所示，若队员年龄的唯一的众数与中位数相等，则这个轮滑队队员人数最小是

A.  B.  C.  D.

14. 如图，在边长为的正六边形中，是的中点，连接交于点，若，则表示实数的点落在数轴上如图标有四段中的

A. 段 B. 段 C. 段 D. 段

15. 在化简时，两位同学分别给出如下方法：
    佳佳的方法是：
    
    
    
    
    
    音音的方法是：
    
    
    
    
    
    则对于两人的方法，正确的是

A. 两人方法均正确 B. 佳佳正确，音音错误
C. 佳佳错误，音音正确 D. 两人方法均错误

16. 如图，对于几何作图“过直线外一点作这条直线的平行线”，甲、乙两位同学均设计自己的尺规作图的方案：
    甲：在直线上取点，以点为圆心，为半径画圆，交直线于另一点，然后作直径，最后作的平分线，所在的直线即为所求；
    乙：在直线上取、两点点在点的右侧，分别以点为圆心，为半径，以点为圆心，为半径画弧，两弧相交于点点和点在直线的两旁，所在的直线即为所求．
    对于以上两个方案，判断正确的是

A. 甲、乙均正确 B. 甲错误、乙正确
C. 甲正确、乙错误 D. 甲、乙均错误

二、填空题（本大题共3小题，共12.0分）

17. 的倒数是______，的绝对值是______．
18. 如图，用铁丝折成一个四边形点在直线的上方，且，，若使、平分线的夹角的度数为，可保持不变，将 ______填“增大”或“减小” ______
     

19. 如图，在平面直角坐标系中，点，点与点关于直线对称，过点作反比例函数的图象．
    ______；
    若对于直线，总有随的增大而增大，设直线与双曲线交点的横坐标为，则的取值范围是______．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）

20. 嘉淇在解一道数学计算题时，发现有一个数被污染了．
    计算：．
    嘉淇猜污染的数为，请计算；
    老师说，嘉淇猜错了，正确的计算结果不小于，求被污染的数最大是几？
    
    
    
    
    
    
     
21. 某景区有一座步行桥如图，需要把阴影部分涂刷油漆．
    求涂刷油漆的面积；
    若，，请用科学记数法表示涂刷油漆的面积．

22. 如图，把一个质地均匀的转盘，分成两个扇形，其中有一个扇形的圆心角为，在每个扇形上标上数字．保持指针不动，转动转盘，转盘停止后，指针会指向某个扇形，并相应得到这个扇形所标的数字若指针指向分割线，当做指向该分割线右边的扇形．
    转动转盘一次，求得到负数的概率；
    数学王老师提出一个问题“转动转盘两次，将得到的数字相加，求和为的概率”嘉嘉发现这个问题有点难，便向淇淇请教，淇淇经过认真思考后，把写有“”的扇形，均分成两个小扇形，再求解这个问题就容易多了，请你按照淇淇的思路求解上述问题．
    
    
    
    
    
    
     
23. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于、两点，且点在点的左侧，点在其对称轴上，且点的纵坐标为．
    求的面积；
    若时，二次函数有最小值为，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，在扇形中，，、是上两点，过点作交于点，在上取点，使，连接并延长交于点．
    求证：≌；
    若、是的三等分点，：
    求；
    请比较和的大小．

25. 某小超市计划购进甲、乙两种商品共件，其中甲商品每件的进价为元，乙商品每件的进价由基础价与浮动价两部分组成，其中基础价固定不变，浮动价与购进乙商品件数成反比，现购进乙商品件，乙商品每件的进价为元．
    在购进过程中，可以获得如下信息：

求与之间函数关系式；
若乙商品每件的进价是甲商品的倍，求的值；
若购进甲商品的总钱数不超过购进乙商品的总钱数，求小超市购进这两种商品的最少花费．






 

如图，在矩形中，，，把绕点顺时针旋转得到，连接，过点作于点，交矩形边于点．

求的最小值；
若点所经过的路径长为，求点到直线的距离；
如图，若，求的值；
当的度数取最大值时，直接写出的长．







答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：画出射线可知，经过点．
故选：．
把射线补充完整，可知过哪个点．
本题考查的是点和直线的位置关系，解题的关键是把射线补充完整．
 

2.【答案】
 

【解析】解：在计算时通常转化成，这个变形的依据是：加法交换律．
故选：．
由变形可知与交换位置，所以在计算时通常转化成，这个变形的依据是：加法交换律．
此题主要考查了有理数的混合运算，注意加法运算定律的应用．
 

3.【答案】
 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
点是的内心，
是的平分线，
，
．
故选：．
由正方形的性质可求得，由点是的内心，可得，根据三角形的内角和定理即可求出的度数．
本题主要考查了三角形内切圆与内心，正方形的性质，三角形内角和定理，根据正方形的性质求得及熟记三角形内心的定义是解决问题的关键．
 

4.【答案】
 

【解析】解：“与差的倍”用代数式可以表示为：．
故选：．
要明确给出文字语言中的运算关系，先表示出与的差，再表示出差的倍即可．
此题主要考查了列代数式，列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，比如该题中的“倍”、“差”、“平方”等，从而明确其中的运算关系，正确地列出代数式．
 

5.【答案】
 

【解析】解析：点与点关于点对称，点与点也关于点对称，
，，
，
，
故选：．
根据对称求出，，再根据三角形的三边关系得出的取值范围即可．
本题主要考查中心对称的知识，熟练掌握中心对称的性质及三角形的三边关系是解题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：，
A、，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用二次根式的化简的法则对式子进行化简，再对各选项进行运算即可判断．
本题主要考查二次根式的化简，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

7.【答案】
 

【解析】解：由正方体的表面展开图及俯视图可得，三角形下面的边连着四个点的面，与四个点的面相对的是两个点的面，
故正方体上面的是两个点的图，
故选A．
由正方体的表面展开图及俯视图即可得出结论．
本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握正方体展开图的知识是解题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：一次函数中，，
一次函数图象经过一、二、四象限．
故选B．
根据一次函数的性质可以判断函数经过哪几个象限，不经过哪个象限，本题得以解决．
本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
 

9.【答案】
 

【解析】解：由相似三角形对应高的比等于相似比得，，
解得．
答：、两点间的距离为，
故选B．
根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：，，
，
解得：，
故选：．
解：利用同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方的法则得出关于的方程，解方程即可得出的值．
本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，掌握同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方的法则是解决问题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
．
对角线平分，
．
．
等边对等角，
四边形是菱形．
故选：．
由菱形的性质得，则再证得等边对等角，即可得出结论．
本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：关于的方程根的判别式为，
、互为相反数，
，
．
故选：．
根据根的判别式得到，根据、互为相反数，得到，解之即可．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
 

13.【答案】
 

【解析】解：由图中数据可知小于的人，大于的也是人，
这组数据的中位数为，
队员年龄的唯一的众数与中位数相等，
众数是，即年龄为的人最多，
岁的队员最少有人．
故选：．
根据众数和中位数的定义分别进行解答即可．
此题考查了众数和中位数，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．
 

14.【答案】
 

【解析】解：如图，连接、，

，，
，
正六边形边长为，
，
，在正六边形中，
，
，
，
，
．
故选C．
由正六边形的边长为可得可得，再根据可得答案．
本题考查实数与数轴，熟练掌握正六边形的性质，求出的长，并作出正确的估算是解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：：，
佳佳的方法错误．

音音的方法错误．
故选：．
根据分式的加减运算法则即可求出答案．
本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则，本题属于基础题型．
 

16.【答案】
 

【解析】解：甲所画如图所示，，
，
平分，
，
，
，
，
甲正确．
乙所画如图所示，，，
四边形是平行四边形，
，
乙正确．
故选：．
根据要求作出图形，再利用平行线的判定证明即可．
本题考查作图复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形，属于中考常考题型．
 

17.【答案】 
 

【解析】解：，
的倒数为，绝对值为．
故答案为：，．
根据负整数指数幂的意义以及倒数、绝对值的定义即可求出答案．
本题考查零负整数指数幂的意义以及倒数、绝对值的定义，本题属于基础题型．
 

18.【答案】增大 
 

【解析】解：如图，连接并延长，，
，
，
，分别是、平分线，
，
同上可得，，
，
增大了．
故答案为：增大，．
连接并延长，根据角平分线的定义求出，进一步得到，依此计算即可求解．
本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的外角性质、角平分线的定义是解题的关键．
 

19.【答案】 
 

【解析】解：点，点与点关于直线对称，
，
将代入得，，
．
故答案为：．
对于直线，总有随的增大而增大，
，
，
当时，
直线过定点，
把代入，得，
解得，
故．
利用关于直线对称的点的坐标特征得到点，然后把点坐标代入可得到的值；
根据一次函数的性质得出，变形为，即可得出直线过定点，把代入，求得，根据图象即可求得的取值范围是．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了轴对称的性质，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
 

20.【答案】解



．

设被污染的实数为，
则有，
，
解得：，
被污染的实数最大是．
 

【解析】首先计算乘方，然后计算乘法、除法，最后计算减法，求出算式的值即可．
设被污染的实数为，则，据此求出的取值范围，判断出被污染的数最大是几即可．
此题主要考查了有理数的混合运算，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
 

21.【答案】解：涂刷油漆的面积

；
当，时，
原式


．
 

【解析】阴影部分的面积可看作是长为，宽为的长方形的面积与长为，宽为的两个长方形的面积之和，据此可求解；
把相应的值代入的式子运算即可．
本题主要考查列代数式，科学记数法，解答的关键是理解清楚题意，列出正确的式子．
 

22.【答案】解：得到负数；
列表如下：

一共有九种等可能结果，其中和为有四种等可能结果，
因此和为．
 

【解析】用负数对应的圆心角度数除以周角度数即可；
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

23.【答案】解：令，
，，
，，
，
点在其对称轴上，且点的纵坐标为，
点到轴的距离为，
的面积．
抛物线，
对称轴为直线，顶点坐标为．
当时，抛物线的开口方向向上，
因此时，，
解得，；
当时，抛物线的开口方向向下，
由于，
因此时，，
解得，．
或．
 

【解析】令，得到，，求出；再求出高，即可求出面积．
由二次函数开口方向和对称轴讨论求解．
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，掌握函数与方程的关系，用分类讨论的方法求解．
 

24.【答案】解：，
，
在和中，

≌；
、是的三等分点，，
，
≌，
，
，
；
在中，，，
，
又，
，
，
，
≌，
，
，，
，
．
 

【解析】根据平行可得，再由于，，即可得证；
先根据、是弧的三等分点，得到，，再根据全等得到，从而得到的值；
利用勾股定理和全等三角形的性质即可得到、、的值，进而可求出，值，即可判断出大小．
本题考查圆周角的定理，涉及到全等三角形的性质与判定，平行线的性质，勾股定理等，解题关键是灵活运用所学几何基础进行推理计算．
 

25.【答案】解：设为常数，且，，
由题意得，
解得，
与之间函数关系式：；
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根且满足题意，
的值是；
由题意得，，
解得，
设商场购进这两种商品的的总花费为元，
，
，
随着增大而增大，
当时，最小，最小值为元．
小超市购进这两种商品的最少花费为元．
 

【解析】设为常数，且，，根据题意可得方程组，解方程组即可；
根据“乙商品每件的进价是甲商品的倍”列方程，求解即可；
根据“购进甲商品的总钱数不超过购进乙商品的总钱数”列不等式，求出的取值范围，再表示出与的函数关系式，根据增减性即可求出最小值．
本题考查了反比例函数的实际应用，涉及待定系数法求解析式，分式方程的应用，一次函数的性质等，本题综合性较强．
 

26.【答案】解：如图，连接，

四边形是矩形，
，
，，
，
由旋转得：，
当点落在上时，最小，最小值为；
由题意得，，
，
，
是等边三角形，
，，
，
如图，过点作于点，

，
点到直线的距离为；
，，
，

，，
，
，
∽，
，即，
，
如图，过作于点，
，
，
，，
，
；
当与以为圆心，为半径的圆相切时，最大，

此时；
当在的上方时，如图，
又，于，
，
，
≌，
，
、、在一条直线上，
，
；
当在的下方时，如图，连接、，则，
，，
，
过作，垂足落在的延长线上，

，，
，
，
∽，
，即，
，，
，
，
．
综上，的长为或．
 

【解析】如图，连接，根据三角形的两边的和大于第三边可知：当点落在上时，最小，最小值为；
如图，过点作于点，先根据弧长公式可得，证明是等边三角形，最后根据含角的直角三角形的性质可得结论；
根据勾股定理可得的长，证明∽，列比例式可得，如图，过作于点，根据平行线分线段成比例定理可得和的长，由三角函数定义可得结论；
分两种情况：点在的上方和下方，当在的上方时，根据面积法可得；当在的下方时，证明∽，可得，，利用勾股定理可得的长．
本题是四边形综合题目，主要考查了矩形的性质、轴对称的性质、旋转的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的性质和判定等知识点；第问难度很大，解题关键是画出两种旋转图形，依题意进行分类讨论．