2021雅安中学高一下学期期中考试数学试题含答案

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2020-2021学年度雅安中学高一下期期中试题

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一．单选题（每道题5分，共60分）

1．下列命题中，正确的是（　　）

A．若＜，则a＜b                   B．若a＞b，则lga＞lgb 

C．若a＞b，则a2＞b2                   D．若a＞b＞0，c＜d＜0，则ac＞bd

2．传说古代希腊的毕达哥拉斯在沙滩上研究数学问题：把叫做三角形数；把叫做正方形数，则下列各数中既是三角形数又是正方形数的是(               )

A．16      B．25    C．36  D．49

3．正项等比数列{an}中，a3＝2，a4•a6＝64，则的值是（　　）

A．4 B．8 C．16 D．64

4．若数列{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S10＝20，S30＝90，则S20的值为（　　）

A．40 B．50 C．60 D．70

5. 已知某正方体的外接球的表面积是，则这个正方体的棱长是(      )

A．           B．         C．         D．

6．在△ABC中，若a＝bcosC，则△ABC是（　　）

A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形

7．当x＞1时，不等式x+≥a恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，2] B．[2，+∞） C．[3，+∞） D．（﹣∞，3]

8．已知与均为单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（　　）

A． B． C． D．4

9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（     　　）

A．3π B．4π 

C．2π+4 D．3π+4

10．不等式＞0的解集为（　　）

A．{x|x＜﹣2，或x＞3} B．{x|x＜﹣2，或1＜x＜3} 

C．{x|﹣2＜x＜1，或x＞3} D．{x|﹣2＜x＜1，或1＜x＜3}

11.  若是等比数列，且前项和为，则＝(                 )

A． B． C．-1 D．1

12.由下面的条件能得出△ABC为锐角三角形的是（       ）

A．                    B．

C．            D．

第II卷（非选择题）

二．填空题（每道题5分，共20分）

13．如图正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积____________.

14．已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是　       　．

15．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2且（2+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为　           　．

16．设f(x)＝，利用倒序相加法，则　      .

三．解答题（17题10分，其余各题12分，共70分）

17.(1) 解这个关于x的不等式.

(2) 若不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围.

18.(本小题满分12分)已知的角所对的边分别为，

设向量.

  （1）若，求证为等腰三角形；

  （2）若，，,求的面积.

19．已知数列{an}与{bn}满足：，且{an}为正项等比数列，a1＝2，b3＝b2+4．

（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；

（2）若数列{cn}满足，Tn为数列{cn}的前n项和，证明：Tn＜1．

20. 某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p（万元）和宿舍与工厂的距离x（km）的关系为：，若距离为1km时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设f（x）为建造宿舍与修路费用之和．

（Ⅰ）求f（x）的表达式；

（Ⅱ）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f（x）最小，并求最小值．

21.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．

（1）求A；

（2）若，求sinC．

22.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝，an＋1＝an.

(1)证明：数列{}是等比数列；

(2)求数列{an}的通项公式与前n项和Sn.

2020-2021学年度雅安中学高一下期期中试题答案详解

一．   选择题

1-5          ACCBD              6-10  CDADC       11-12 BC          

1. 【解答】解：对于选项A：，由于，所以a＜b，故A正确．

对于选项B：假设0＞a＞b，没意义，故B错误．

对于选项C：当0＞a＞b，所以b2＞a2，故C错误．

对于选项D：若a＞b＞0，c＜d＜0，则﹣c＞﹣d＞0，故﹣ac＞﹣bd，则ac＜bd，故D错误．

故选：A．

2. 分析：由题已知三角形数和正方形数的通项公式可得；

3. 【解答】解：设正项等比数列{an}的公比为q，∵a3＝2，a4•a6＝64，

∴＝2，＝64，

解得q2＝4，

则＝＝42＝16．

4. 【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵S10＝20，S30＝90，∴，解得：，

∴S20＝20a1+＝50．

故选：B．

6. 【解答】解：由余弦定理得cosC＝，

把cosC代入a＝bcosC得：a＝b•＝，

∴2a2＝a2+b2﹣c2，

∴a2+c2＝b2，

即三角形为直角三角形．

故选：C．

7. 【解答】解：∵当x＞1时，不等式x+恒成立，

∴a≤x+对一切非零实数x＞1均成立．

由于x+＝x﹣1++1≥2+1＝3，

当且仅当x＝2时取等号，

故x+的最小值等于3，

∴a≤3，

则实数a的取值范围是（﹣∞，3]．

故选：D

8. 【解答】解：因为与均为单位向量，它们的夹角为60°，

所以＝．

又因为＝，

所以＝．

故选：A．

9. 【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，

底面半径为1，高为2，

故该几何体的表面积S＝2×π+（2+π）×2＝3π+4，

故选：D．

10. 【解答】解：⇔⇔（x﹣3）（x+2）（x﹣1）＞0

利用数轴穿根法解得﹣2＜x＜1或x＞3，

故选：C．

二．填空题

13.                14.  ﹣4＜m＜2          15.                    16.5

13. 【解答】解：由题意正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，

所以OB＝，对应原图形平行四边形的高为：2，

所以原图形的面积为：1×2＝2．

14. 【解答】解：∵，∴x+2y＝（x+2y）＝4++≥4+2＝8

∵x+2y＞m2+2m恒成立，

∴m2+2m＜8，求得﹣4＜m＜2

故答案为：﹣4＜m＜2

15. 【解答】解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC

⇒（2+b）（a﹣b）＝（c﹣b）c

⇒2a﹣2b+ab﹣b2＝c2﹣bc，

又因为：a＝2，

所以：，

△ABC面积，

而b2+c2﹣a2＝bc

⇒b2+c2﹣bc＝a2

⇒b2+c2﹣bc＝4

⇒bc≤4

所以：，即△ABC面积的最大值为

16.

二．   选择题

17.解：（1）原不等式可化为，

当时，不等式的解集为或；

当时，不等式的解集为R；

当时，不等式的解集为或，

综上可知：时解集为或；时解集为R；时解集为或.

（2）解：令，则，所以，

因为不等式对任意实数x恒成立，

所以，解得，

所以实数a的取值范围，

18. 解：（1），                    …………3分

    ，                               …………5分

为等腰三角形.                                 …………6分

（2）由题意可知，即，…………7分

由余弦定理可知                   …………9分

即             …………11分

                           …………12分

19. 【解答】解：（1）数列{an}与{bn}满足：，

且{an}为正项等比数列，a1＝2，b3＝b2+4，

可得a1＝2b1＝2，即b1＝1，b3﹣b2＝a3＝4，即a3＝8，

可得公比q＝2，即an＝2n；

则2bn＝，即bn＝2n﹣1；

（2）证明：cn＝＝＝﹣，

即有Tn＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣，

由＞0，可得Tn＜1．

20. 【解答】解：（Ⅰ）根据题意，距离为1km时，测算宿舍建造费用为100万元

∴，∴k＝800

∴

（Ⅱ）∵

当且仅当即x＝5时f（x）min＝75．

答：宿舍应建在离厂5km处可使总费用f（x）最小为75万元．

21.【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由已知得，

故由正弦定理得．

由余弦定理得．

因为，所以．

（2）由（1）知，

由题设及正弦定理得，

即，可得．

由于，所以，故

．

22.（本小题12分，第1小题6分，第2小题6分）

(1)证明　∵a1＝，an＋1＝an，

当n∈N*时，≠0.

又＝，∶＝(n∈N*)为常数，

∴{}是以为首项，为公比的等比数列．

(2)解　由{}是以为首项，为公比的等比数列，

得＝·()n－1，∴an＝n·()n.

∴Sn＝1·＋2·()2＋3·()3＋…＋n·()n，

Sn＝1·()2＋2·()3＋…＋(n－1)()n＋n·()n＋1，

∴Sn＝＋()2＋()3＋…＋()n－n·()n＋1

＝－n·()n＋1，

∴Sn＝2－ ()n－1－n·()n