2021中考数学真题知识点分类汇编-圆填空题1（含答案）

这是一份2021中考数学真题知识点分类汇编-圆填空题1（含答案），共34页。

2021中考数学真题知识点分类汇编-圆填空题1（含答案）

一．垂径定理（共4小题）
1．（2021•西宁）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝2，则⊙O的半径OC＝　 　．

2．（2021•牡丹江）半径为12cm的圆中，垂直平分半径的弦长为 　 　．
3．（2021•长沙）如图，在⊙O中，弦AB的长为4，则∠AOC的度数为 　 　．

4．（2021•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝与⊙O相交于A，B两点，则弦AB的长为 　 　．

二．垂径定理的应用（共2小题）
5．（2021•黔东南州）小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径，量得弧AB的中心C到AB的距离CD＝1.6cm，AB＝6.4cm　 　cm．

6．（2021•恩施州）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，埋在墙壁中，不知其大小，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺（1尺＝10寸）
答：圆材直径 　 　寸．

三．圆心角、弧、弦的关系（共1小题）
7．（2021•南京）如图，AB是⊙O的弦，C是，OC交AB于点D．若AB＝8cm，CD＝2cm　 　cm．

四．圆周角定理（共12小题）
8．（2021•阿坝州）如图，A，B，C是⊙O上的三个点，∠B＝40°　 　．

9．（2021•朝阳）已知⊙O的半径是7，AB是⊙O的弦，且AB的长为7　 　．
10．（2021•盘锦）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，AB＝4，则圆心点D的坐标是 　 　．

11．（2021•德阳）在锐角三角形ABC中，∠A＝30°，BC＝2，则h的取值范围是 　 　．
12．（2021•淮安）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，则∠D的度数是 　 　．

13．（2021•徐州）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，则∠BAC＝　 　°．

14．（2021•本溪）如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，以AB为直径的圆经过点C和点D，则tan∠ADC＝　 　．

15．（2021•黑龙江）如图，在⊙O中，AB是直径，点D在圆上且∠ADC＝30°，则⊙O的半径为 　 　cm．

16．（2021•黑龙江）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OB＝6，以点O为圆心，与OB交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D，则PC+PD的最小值为 　 　．

17．（2021•广元）如图，在4×4的正方形网格图中，已知点A、B、C、D、O均在格点上，点E是线段CD与⊙O的交点．则∠BAE的正切值为 　 　．

18．（2021•宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点B、C在⊙O上，边AB、AC分别交⊙O于D、E两点的中点，则∠ABE＝　 　．

19．（2021•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，点B在网格线上．
（Ⅰ）线段AC的长等于 　 　；
（Ⅱ）以AB为直径的半圆的圆心为O，在线段AB上有一点P，满足AP＝AC．请用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） 　 　．

五．圆内接四边形的性质（共3小题）
20．（2021•宁夏）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC＝150°，则⊙O的半径等于 　 　．

21．（2021•盐城）如图，在⊙O内接四边形ABCD中，若∠ABC＝100°　 　°．

22．（2021•常德）如图，已知四边形ABCD是圆O的内接四边形，∠BOD＝80°　 　．

六．点与圆的位置关系（共2小题）
23．（2021•广东）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，∠ADB＝45°，则线段CD长度的最小值为 　 　．
24．（2021•青海）点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9cm　 　．
七．三角形的外接圆与外心（共6小题）
25．（2021•烟台）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，O在网格线的交点上　 　．

26．（2021•襄阳）点O是△ABC的外心，若∠BOC＝110°，则∠BAC为 　 　°．
27．（2021•张家界）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°，连接OD，OB，则∠BOD＝　 　．

28．（2021•随州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO并延长交⊙O于点D，则∠BAD的度数为 　 　．

29．（2021•安徽）如图，圆O的半径为1，△ABC内接于圆O．若∠A＝60°，则AB＝　 　．

30．（2021•黑龙江）如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2　 　．

八．切线的性质（共12小题）
31．（2021•荆州）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，连接OC，过点D作DF∥OC交AB于F，DF＝，则BE＝　 　．

32．（2021•河池）如图，在平面直角坐标系中，以M（2，3），AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于A，则点B的坐标是 　 　．

33．（2021•泰州）如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（8，5），点P在y轴正半轴上，PB与⊙A相切于点B．若∠APB＝30°　 　．

34．（2021•包头）如图，在▱ABCD中，AD＝12，连接OC．若OC＝AB，则▱ABCD的周长为 　 　．

35．（2021•广西）如图，从一块边长为2，∠A＝120°的菱形铁片上剪出一个扇形（阴影部分），且圆弧与BC，CD分别相切于点E，F，则圆锥的底面圆半径是 　 　．

36．（2021•北京）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，则∠AOB＝　 　．

37．（2021•南京）如图，FA，GB，ID，JE是五边形ABCDE的外接圆的切线　 　°．

38．（2021•陕西）如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切）　 　．

39．（2021•杭州）如图，已知⊙O的半径为1，点P是⊙O外一点，T为切点，连结OT　 　．

40．（2021•宁波）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，D，延长AC，BD交于点P．若∠P＝120°，则图中的长为 　 　cm．（结果保留π）

41．（2021•温州）如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B，边A′B交线段AO于点C．若∠A′＝25°，则∠OCB＝　 　度．

42．（2021•凉山州）如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q　 　．

九．切线的判定与性质（共1小题）
43．（2021•潍坊）如图，在直角坐标系中，点A是函数y＝﹣x图象l上的动点，1为半径作⊙A．已知点B（﹣4，0），连接AB，当⊙A与两坐标轴同时相切时，tan∠ABO的值可能为 　 　．
A.3
B.
C.5
D.


参考答案与试题解析
一．垂径定理（共4小题）
1．（2021•西宁）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝2，则⊙O的半径OC＝　　．

【答案】．
【解析】解：∵弦CD⊥AB于点E，CD＝10，
∴CE＝CD＝3，
设OB＝OC＝x，则OE＝x﹣2，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE2+OE3＝OC2，
即57+（x﹣2）2＝x8，
解得：x＝，
即OC＝，
2．（2021•牡丹江）半径为12cm的圆中，垂直平分半径的弦长为 　12cm　．
【答案】12cm．
【解析】解：如图所示：设圆为⊙O，弦为AB，连接OA，

由题意可得：OA＝OC＝12cm，CO⊥AB，
∵CO⊥AB，
∴AD＝DB，
在Rt△ODA中，由勾股定理可得：AD＝＝（cm），
∴AB＝4AD＝12（cm），
3．（2021•长沙）如图，在⊙O中，弦AB的长为4，则∠AOC的度数为 　45°　．

【答案】45°．
【解析】解：∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝＝5，
∵OC＝2，
∴△AOC为等腰直角三角形，
∴∠AOC＝45°，
4．（2021•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝与⊙O相交于A，B两点，则弦AB的长为 　2　．

【答案】4．
【解析】解：设直线AB交y轴于C，过O作OD⊥AB于D

在y＝x+中,
∴C(8,),OC＝,
在y＝x+x+,
解得x＝﹣2,
∴A(﹣2,0),
Rt△AOC中，tan∠CAO＝＝＝,
∴∠CAO＝30°，
Rt△AOD中，AD＝OA•cos30°＝2×＝，
∵OD⊥AB，
∴AD＝BD＝，
∴AB＝2，
二．垂径定理的应用（共2小题）
5．（2021•黔东南州）小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径，量得弧AB的中心C到AB的距离CD＝1.6cm，AB＝6.4cm　4　cm．

【答案】4．

【解析】解：∵C点是的中点，
∴CD过圆心，AD＝BD＝×6.8＝3.2（cm），
设圆心为O，连接OA，
设⊙O的半径为Rcm，则OD＝（R﹣2.6）cm，
在Rt△OAD中，（R﹣1.7）2+3.52＝R2，解得R＝4（cm），
所以圆形瓦片所在圆的半径为4cm．
6．（2021•恩施州）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，埋在墙壁中，不知其大小，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺（1尺＝10寸）
答：圆材直径 　26　寸．

【答案】26．
【解析】解：过圆心O作OC⊥AB于点C，延长OC交圆于点D，如图：

∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝AB，．
则CD＝3寸，AC＝BC＝．
设圆的半径为x寸，则OC＝（x﹣3）寸．
在Rt△OAC中，由勾股定理得：
52+（x﹣7）2＝x2，
解得：x＝13．
∴圆材直径为8×13＝26（寸）．
三．圆心角、弧、弦的关系（共1小题）
7．（2021•南京）如图，AB是⊙O的弦，C是，OC交AB于点D．若AB＝8cm，CD＝2cm　5　cm．

【答案】5．
【解析】解：如图，连接OA，

∵C是的中点，
∴D是弦AB的中点，
∴OC⊥AB，AD＝BD＝4，
∵OA＝OC，CD＝2，
∴OD＝OC﹣CD＝OA﹣CD，
在Rt△OAD中，
OA5＝AD2+OD2，即OA5＝16+（OA﹣2）2，
解得OA＝3，
四．圆周角定理（共12小题）
8．（2021•阿坝州）如图，A，B，C是⊙O上的三个点，∠B＝40°　50°　．

【答案】50°．
【解析】解：∵∠B＝40°，
∴∠AOC＝2∠B＝80°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠OAC＝（180°﹣∠AOC）＝，
9．（2021•朝阳）已知⊙O的半径是7，AB是⊙O的弦，且AB的长为7　60°或120°　．
【答案】60°或120°．

【解析】解：∠ACB和∠ADB为弦AB所对的圆周角，连接OA，如图，
过O点作OH⊥AB于H，则AH＝BH＝，
在Rt△OAH中，∵cos∠OAH＝＝＝，
∴∠OAH＝30°，
∵OA＝OB，
∴∠OBH＝∠OAH＝30°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠ACB＝∠AOB＝60°，
∵∠ADB+∠ACB＝180°，
∴∠ADB＝180°﹣60°＝120°，
即弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°．
10．（2021•盘锦）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，AB＝4，则圆心点D的坐标是 　（﹣，1）　．

【答案】（﹣，1）．
【解析】解：∵四边形ABOC为圆的内接四边形，
∴∠ABO+∠ACO＝180°，
∴∠ABO＝180°﹣120°＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴AB为⊙D的直径，
∴D点为AB的中点，
在Rt△ABO中，∵∠ABO＝60°，
∴OB＝AB＝4，
∴OA＝OB＝2，
∴A（﹣2，8），2），
∴D点坐标为（﹣，4）．
11．（2021•德阳）在锐角三角形ABC中，∠A＝30°，BC＝2，则h的取值范围是 　2＜h≤2+　．
【答案】2＜h≤2+．

【解析】解：如图，BC为⊙O的弦，OB＝OC＝2，
∵BC＝2，
∴OB＝OC＝BC，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴∠BAC＝∠BOC＝30°，
作直径BD、CE、CD，
∴当点A在上（不含D，△ABC为锐角三角形，
在Rt△BCD中，∵∠D＝∠BAC＝30°，
∴CD＝BC＝5，
当A点为的中点时，即h最大，
延长AO交BC于H，如图，
∵A点为的中点，
∴＝，
∴AH⊥BC，
∴BH＝CH＝1，
∴OH＝BH＝，
∴AH＝OA+OH＝2+，
∴h的范围为2＜h≤6+．
12．（2021•淮安）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，则∠D的度数是 　35°　．

【答案】35°．
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝55°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝35°，
∴∠D＝∠B＝35°．
13．（2021•徐州）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，则∠BAC＝　32　°．

【解析】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠B＝∠ADC＝58°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝32°．
【答案】32．
14．（2021•本溪）如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，以AB为直径的圆经过点C和点D，则tan∠ADC＝　　．

【答案】．
【解析】解：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，tan∠ABC＝＝，
∵∠ADC＝∠ABC，
∴tan∠ADC＝．
15．（2021•黑龙江）如图，在⊙O中，AB是直径，点D在圆上且∠ADC＝30°，则⊙O的半径为 　5　cm．

【答案】5．
【解析】解：如图，连接OC．

∵∠AOC＝2∠ADC，∠ADC＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴OA＝AC＝5（cm），
∴⊙O的半径为8cm．
16．（2021•黑龙江）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OB＝6，以点O为圆心，与OB交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D，则PC+PD的最小值为 　2　．

【答案】5．
【解析】解：延长CO交⊙O于点E，连接ED，则PC+PD的值最小．

∵CD⊥OB，
∴∠DCB＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠DCB＝∠AOB，
∴CD∥AO，
∴＝，
∴＝，
∴CD＝2，
在Rt△CDE中，DE＝＝，
∴PC+PD的最小值为2．
17．（2021•广元）如图，在4×4的正方形网格图中，已知点A、B、C、D、O均在格点上，点E是线段CD与⊙O的交点．则∠BAE的正切值为 　　．

【答案】．
【解析】解：由题意可得，∠BDE＝∠BAE，
在Rt△BDC中，∠DBC＝90°，
∴tan∠BDC＝＝＝，
∴tan∠BAE＝．
18．（2021•宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点B、C在⊙O上，边AB、AC分别交⊙O于D、E两点的中点，则∠ABE＝　13°　．

【解析】解：如图，连接DC，
∵∠DBC＝90°，
∴DC是⊙O的直径，
∵点B是的中点，
∴∠BCD＝∠BDC＝45°，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣32°＝58°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝58°﹣45°＝13°＝∠ABE，
19．（2021•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，点B在网格线上．
（Ⅰ）线段AC的长等于 　　；
（Ⅱ）以AB为直径的半圆的圆心为O，在线段AB上有一点P，满足AP＝AC．请用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） 　取BC与网格线的交点D，连接OD延长OD交⊙O于点E，连接AE交BC于点G，连接BE，延长AC交BE的延长线于F，连接FG延长FG交AB于点P，点P即为所求　．

【答案】．（Ⅰ）
（Ⅱ）如图，取BC与网格线的交点D，则点D为BC中点，连接OD并延长OD交⊙O于点E，连接AE交BC于点G，连接BE，延长AC交BE的延长线于F，则OE为△BFA的中位线，则AB＝AF，连接FG延长FG交AB于点P，则BG＝FG，∠AFG＝∠ABG，即△FAP≌△BAC，则点P即为所求．

【解析】解：（Ⅰ）AC＝＝．
（Ⅱ）如图，点P即为所求．

五．圆内接四边形的性质（共3小题）
20．（2021•宁夏）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC＝150°，则⊙O的半径等于 　2　．

即⊙O的半径为3．
【答案】2．
【解析】解：连接OA，OC，

∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠ADC＝150°，
∴∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△OAC为等边三角形，
∴OA＝AC＝2，
21．（2021•盐城）如图，在⊙O内接四边形ABCD中，若∠ABC＝100°　80　°．

【答案】80．
【解析】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣100°＝80°．
22．（2021•常德）如图，已知四边形ABCD是圆O的内接四边形，∠BOD＝80°　140°　．

【答案】140°．
【解析】解：∵∠BAD为所对的圆周角且∠BOD＝80°，
∴∠BAD＝＝＝40°，
又∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝180°﹣40°＝140°，
六．点与圆的位置关系（共2小题）
23．（2021•广东）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，∠ADB＝45°，则线段CD长度的最小值为 　　．
【答案】．

【解析】解：如图所示．
∵∠ADB＝45°，AB＝2，故圆心O在AB的右侧），
当O、D、C三点共线时．
∵∠ADB＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴AO＝BO＝sin45°×AB＝．
∵∠OBA＝45°，∠ABC＝90°，
∴∠OBE＝45°，作OE⊥BC于点E，
∴△OBE为等腰直角三角形．
∴OE＝BE＝sin45°•OB＝8，
∴CE＝BC﹣BE＝3﹣1＝7，
在Rt△OEC中，
OC＝＝＝．
当O、D、C三点共线时，
CD最小为CD＝OC﹣OD＝．
24．（2021•青海）点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9cm　6.5cm或2.5cm　．
【答案】6.5cm或2.5cm．
【解析】解：分为两种情况：

①当点在圆内时，如图1，
∵点到圆上的最小距离PB＝4cm，最大距离PA＝7cm，
∴直径AB＝4+9＝13（cm），
∴半径r＝6.5cm；
②当点在圆外时，如图2，
∵点到圆上的最小距离PB＝7cm，最大距离PA＝9cm，
∴直径AB＝9﹣2＝5（cm），
∴半径r＝2.8cm．
综上所述，圆O的半径为6.5cm或8.5cm．
七．三角形的外接圆与外心（共6小题）
25．（2021•烟台）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，O在网格线的交点上　　．

【答案】．

【解析】解：如图，连接AO并延长交⊙O于D，
由圆周角定理得：∠ACB＝∠ADB，
由勾股定理得：AD＝＝2，
∴sin∠ACB＝sin∠ADB＝＝＝，
26．（2021•襄阳）点O是△ABC的外心，若∠BOC＝110°，则∠BAC为 　55°或125　°．
【答案】55°或125．
【解析】解：①△ABC是锐角三角形，如图，

∵∠BOC＝110°，
∴∠BAC＝55°；
②△A′BC是钝角三角形，如图，
∵∠BAC+∠BA′C＝180°，
∴∠BA′C＝125°．
27．（2021•张家界）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°，连接OD，OB，则∠BOD＝　50°　．

【答案】50°
【解析】解：∵∠A＝50°，
∴∠BOC＝100°．
∵OB＝OC，
∴△OBC为等腰三角形，
又∵D为BC中点，
∴OD为BC上中线，
根据等腰三角形三线合一性质可得OD为∠BOC的平分线，
∴∠BOD＝∠BOC＝50°．
28．（2021•随州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO并延长交⊙O于点D，则∠BAD的度数为 　40°　．

【答案】40°．

【解析】解：连接BD，如图．
∵AD为直径，
∴∠ABD＝90°，
∵∠C与∠ADB所对的弧为，
∴∠ADB＝∠C＝50°．
∴∠BAD＝90°﹣∠ADB＝90°﹣50°＝40°．
29．（2021•安徽）如图，圆O的半径为1，△ABC内接于圆O．若∠A＝60°，则AB＝　　．

【答案】．
【解析】解：如图，连接OA，

在△ABC中，∠BAC＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∵OA＝OB，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∴AB＝OA＝．
30．（2021•黑龙江）如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2　　．

【答案】．

【解析】解：连接CO，OB，
则∠O＝2∠A＝60°，
∵OC＝OB，
∴△BOC是等边三角形，
∵⊙O的半径为2，
∴BC＝8，
∵CD⊥AB，∠CBA＝45°，
∴CD＝BC＝，
八．切线的性质（共12小题）
31．（2021•荆州）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，连接OC，过点D作DF∥OC交AB于F，DF＝，则BE＝　　．

【答案】．
【解析】解：∵OD⊥AC，AD＝4，
∴AD＝DC＝4，
∵DF∥OC，DF＝，
∴OC＝2DF＝3，
在Rt△COD中，OD＝＝，
∵BE是⊙O的切线，
∴AB⊥BE，
∵OD⊥AD，
∴∠ADO＝∠ABE，
∵∠OAD＝∠EAB，
∴△AOD∽△AEB，
∴＝，即＝，
解得：BE＝，
32．（2021•河池）如图，在平面直角坐标系中，以M（2，3），AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于A，则点B的坐标是 　（4，3﹣）　．

【答案】（4，3﹣）．

【解析】解：设以AB为直径的圆与x轴相切于点D，连接MD，
则MD⊥x轴，
∵点M的坐标为（2，3），
∴CE＝BE＝6，BM＝DM＝3，
∵AB为圆的直径，
∴AC⊥BC，
∴BC∥x轴，
∴MD⊥BC，
∴BC＝2CE＝8，CE＝BE＝2，
在Rt△BME中，由勾股定理得：ME＝＝＝，
∴DE＝MD﹣ME＝8﹣，
∴点B的坐标为（4，3﹣），
33．（2021•泰州）如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（8，5），点P在y轴正半轴上，PB与⊙A相切于点B．若∠APB＝30°　（0，11）　．

【答案】（5，11）．
【解析】解：过点A分别作AC⊥x轴于点C、AD⊥y轴于点D，
当点P在点D是上方时，如图，

∵AD⊥y轴，AC⊥x轴，
∴四边形ADOC为矩形，
∴AC＝OD，OC＝AD，
∵⊙A与x轴相切，
∴AC为⊙A的半径，
∵点A坐标为（8，5），
∴AC＝OD＝8，OC＝AD＝8，
∵PB是切线，
∴AB⊥PB，
∵∠APB＝30°，
∴PA＝2AB＝10，
在Rt△PAD中，根据勾股定理得，
PD＝＝＝6，
∴OP＝PD+DO＝11，
∵点P在y轴的正半轴上，
∴点P坐标为（0，11），
34．（2021•包头）如图，在▱ABCD中，AD＝12，连接OC．若OC＝AB，则▱ABCD的周长为 　24+6　．

【答案】24+5．
【解析】解：连接OE，过点C作CF⊥AD交AD于点F，

∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∴∠EOD+∠OEC＝180°，
∵⊙O与BC相切于点E，
∴OE⊥BC，
∴∠OEC＝90°
∴∠EOD＝90°，
∵CF⊥AD，
∴∠CFO＝90°，
∴四边形OECF为矩形，
∴FC＝OE，
∵AD为直径，AD＝12，
∴FC＝OE＝OD＝AD＝5，
∵OC＝AB，CF⊥AD，
∴OF＝OD＝5，
在Rt△OFC中，由勾股定理得，
OC2＝OF2+FC7＝32+42＝45，
∴AB＝OC＝3，
∴▱ABCD的周长为12+12+3+5，
35．（2021•广西）如图，从一块边长为2，∠A＝120°的菱形铁片上剪出一个扇形（阴影部分），且圆弧与BC，CD分别相切于点E，F，则圆锥的底面圆半径是 　　．

【答案】．

【解析】解：连接AC、AE，
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠BAC＝∠BAD＝，AB＝BC，
∴△ABC为等边三角形，
∵圆弧与BC相切于E，
∴AE⊥BC，
∴BE＝CE＝1，
∴AE＝＝＝，
设圆锥的底面圆半径为r，
根据题意得2πr＝，解得r＝，
即圆锥的底面圆半径为．
36．（2021•北京）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，则∠AOB＝　130°　．

【答案】130°．
【解析】解：∵PA，PB是⊙O的切线，A，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠OAP+∠AOB+∠OBP+∠P＝360°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°．
37．（2021•南京）如图，FA，GB，ID，JE是五边形ABCDE的外接圆的切线　180　°．

【答案】180．

【解析】解：如图，设圆心为O，OB，OD和OE，
∵FA，GB，ID，
∴∠OAF＝∠OBG＝∠OCH＝∠ODI＝∠OEJ＝90°，
即（∠BAF+∠OAB）+（∠CBG+∠OBC）+（∠DCH+∠OCD）+（∠EDI+∠ODE）+（∠AEJ+∠OEA）＝90°×5＝450°，
∵OA＝OB＝OC＝OD＝OE，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OBC＝∠OCB，∠ODE＝∠OED，
∴∠OAB+∠OBC+∠OCD+∠ODE+∠OEA＝×五边形ABCDE内角和＝，
∴∠BAF+∠CBG+∠DCH+∠EDI+∠AEJ＝（∠BAF+∠OAB）+（∠CBG+∠OBC）+（∠DCH+∠OCD）+（∠EDI+∠ODE）+（∠AEJ+∠OEA）﹣（∠OAB+∠OBC+∠OCD+∠ODE+∠OEA）＝450°﹣270°＝180°，
38．（2021•陕西）如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切）　3+1　．

【答案】3+3．

【解析】解：当⊙O与CB、CD相切时，如图，
过O点作OE⊥BC于E，OF⊥CD于F，
∴OE＝OF＝1，
∴OC平分∠BCD，
∵四边形ABCD为正方形，
∴点O在AC上，
∵AC＝BC＝2OE＝，
∴AQ＝OA+OQ＝4﹣+1＝3，
即点A到⊙O上的点的距离的最大值为3+7，
39．（2021•杭州）如图，已知⊙O的半径为1，点P是⊙O外一点，T为切点，连结OT　　．

【解析】解：∵PT是⊙O的切线，T为切点，
∴OT⊥PT，
在Rt△OPT中，OT＝1，
∴PT＝＝＝，
故：PT＝．
40．（2021•宁波）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，D，延长AC，BD交于点P．若∠P＝120°，则图中的长为 　2π　cm．（结果保留π）

【答案】2π．

【解析】解：如图所示，连接OC，
∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，
∴∠OCP＝∠ODP＝90°，
由四边形内角和为360°可得，
∠COD＝360°﹣∠OCP﹣∠ODP﹣∠CPD
＝360°﹣90°﹣90°﹣120°
＝60°．
∴的长＝．
41．（2021•温州）如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B，边A′B交线段AO于点C．若∠A′＝25°，则∠OCB＝　85　度．

【答案】85．

【解析】解：∵⊙O与△OAB的边AB相切，
∴OB⊥AB，
∴∠OBA＝90°，
连接OO′，如图，
∵△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B，
∴∠A＝∠A′＝25°，∠ABA′＝∠OBO′，
∵OB＝OO′，
∴△OO′B为等边三角形，
∴∠OBO′＝60°，
∴∠ABA′＝60°，
∴∠OCB＝∠A+∠ABC＝25°+60°＝85°．
42．（2021•凉山州）如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q　3　．

【答案】3．

【解析】解：连接CP、CQ，如图，
∵等边三角形ABC的边长为4，
∴AB＝CB＝4，∠BCH＝60°＝30°，
∴BH＝AB＝3BC＝，
∵PQ为⊙C的切线，
∴CQ⊥PQ，
在Rt△CPQ中，PQ＝＝，
∵点P是AB边上一动点，
∴当点P运动到H点时，CP最小，
即CP的最小值为2，
∴PQ的最小值为＝3，
九．切线的判定与性质（共1小题）
43．（2021•潍坊）如图，在直角坐标系中，点A是函数y＝﹣x图象l上的动点，1为半径作⊙A．已知点B（﹣4，0），连接AB，当⊙A与两坐标轴同时相切时，tan∠ABO的值可能为 　B或D　．
A.3
B.
C.5
D.

【答案】B或D．

【解析】解：如图，当⊙A在第二象限，连接AM，
在Rt△ABM中，AM＝1＝OM，
∴tan∠ABO＝＝；
当⊙A在第四象限，与两坐标轴同时相切时，A′B
在Rt△A′BM′中，A′M′＝1＝OM′，
∴tan∠A′BO＝＝；