数学七年级下册8.4 三元一次方程组的解法教课内容课件ppt

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三元一次方程(组)的有关概念三元一次方程组的解法三元一次方程组的应用
《九章算术》的“方程”一章中，有这样一道题日(用现代汉语表述)：上等稻谷三束．中等稻谷一束．下等稻谷两束．共有稻谷39斗；上等稻谷两束．中等稻谷三束，下等稻谷两束，共有稻谷34斗；上等稻谷四束．中等稻谷一束，下等稻谷一束，共有稻谷26斗. 问上、中、下三等稻谷每束各有多少斗? 这道题目可以用三元一次方程组来解．现在就让我们一起来学习本节知识吧!
三元一次方程(组)的有关概念
前面我们学习了二元一次方程组及其解法——消元法. 有些有两个未知数的问题，可以列出二元一次方程组来解决. 实际上，有不少问题含有更多未知数. 我们看下面的问题：
小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍.求1元、2元、5元纸币各多少张. 自然的想法是，设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张，根据题意，可以得到下面三个方程： x+y+z=12, x+2y+5z=22, x=4y.
这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程合在 一起，写成
1．三元一次方程: 含有三个未知数, 并且所含未知 数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次 方程． 必备条件： (1)是整式方程； (2)含三个未知数； (3)所含未知数的项的次数都是1.
2．三元一次方程组：共含有三个未知数的三个一 次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程 组． 必备条件： (1)是整式方程； (2)共含三个未知数； (3)三个都是一次方程； (4)联立在一起．
例1 下列方程组中，是三元一次方程组的是(　　) A. B. C. D.
A选项中，方程x2－y＝1与xz＝2中有含未知数的项的次数为2的项， 不符合三元一次方程组的定义，故A选项不是；B选项中 不是整式，故B选项不是; C选项中方程组中共含有四个未知数,故C选项不是; D选项符合三元一次方程组的定义．故答案为D.
三元一次方程组需满足的条件：(1)方程组中一共含有三个未知数；(2)每个方程中所含未知数的项的次数都是1；(3)每个方程均是整式方程．
下列方程组中，是三元一次方程组的是________．(填序号) ②③ ④
2 下列方程是三元一次方程的是________．(填序号) ①x＋y－z＝1; ②4xy＋3z＝7； ③ ④6x＋4y－3＝0.
怎样解三元一次方程组呢？我们知道，二元一次方程组可以利用代入法或加减法消去一个未知数，化成一元一次方程求解. 那么，能不能用同样的思 路，用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未知数，把它化成二元一次方程组呢？让我们看前面列出的三元一次方程组
仿照前面学过的代入法，我们可以把③分别代入①②，得到两个只含y，z的方程： 4y+y+z=12， 4y+2y+5z=22.它们组成方程组得到二元一次方程组之后，就不难求出y和z，进而可求出x.
从上面的分析可以看出，解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入” 或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程. 这与解二元一次方程组的思路是一样的.
试一试 上面的三元一次方程组能否应用加减消元法求解? 比较一下，哪种方法更简便？
解三元一次方程组的一般步骤：(1)利用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未 知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系 数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；(5)将求得的三个未知数的值用符号“{”合写在一 起．
②×3+③，得11x+10z＝35. ④①与④组成方程组解这个方程组，得
方程①只含x，z，因此，可以由②③消去y, 得到一个只含x，z 的方程，与方程①组成一个二元一次方程组.
把x=5, z= -2代人②，得 2×5+3y -2 = 9，所以 因此，这个三元一次方程组的解为
解三元一次方程组时，消去哪个“元”都是可以的，得到的结果都一样，我们应该通过观察方程组选择最为简便的解法．此题中的方法一最为简便．要根据方程组中各方程的特点，灵活地确定消元步骤和消元方法，不要盲目消元．
解下列三元一次方程组：
2 解三元一次方程组 先消去________，化 为关于________、________的二元一次方程组较简便．3 解方程组 若要使运算简便，消元的方 法应选(　　) A．消去x B．消去y C．消去z D．以上说法都不对
列三元一次方程组解决实际问题的步骤：(1)弄清题意和题目中的数量关系，用三个未知数表 示题目中的数量关系．(2)找出能够表达应用题全部含义的三个等量关系；(3)根据等量关系列出方程，建立方程组；(4)解出方程组求出未知数的值；(5)写出答案，包括单位名称．
在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝－1时，y＝0；当x＝2时，y＝3；当x＝5时，y＝60. 求a，b，c的值．
把a，b，c看成三个未知数，分别把已知的x，y值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组.
根据题意，得三元一次方程组
②－①，得a＋b＝1； ④ 　 ③－①，得4a＋b＝10. ⑤④与⑤组成二元一次方程组解这个方程组，得把 代入①，得c＝－5.因此 即a，b，c的值分别为3，－2，－5.
某汽车在相距70 km的甲、乙两地往返行驶，行驶中有一坡度均匀的小山. 该汽车从甲地到乙地需要2.5 h, 从乙地到甲地需要2.3 h. 假设该汽车在平路、上坡路、下坡路的行驶过程中的时速分别是30 km, 20 km, 40 km，则从甲地到乙地的过程中, 上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？
题中有三个等量关系：①上坡路长度＋平路长度＋下坡路长度＝70 km；②从甲地到乙地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.5 h；③从乙地到甲地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.3 h.
设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路 的长度分别是x km，y km和z km. 由题意得 答：从甲地到乙地的过程中，上坡路的长度是12 km， 平路的长度是54 km，下坡路的长度是4 km.
解此题的关键是理解在汽车往返行驶的过程中，如果从甲地到乙地是上坡路段，那么从乙地到甲地时就变成了下坡路段．
已知单项式－8a3x＋y－zb12cx＋y＋z与2a2b2x－yc6是同类项，则x＝________，y＝________，z＝________．已知式子ax2＋bx＋c，当x＝1时，其值为－4；当x＝2时，其值为3；当x＝4时，其值为35. 当x＝3时，其值为________．
(2016·台湾)桌面上有甲、乙、丙三个杯子，三杯内原本均装有一些水，先将甲杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本甲杯内水量的2倍多40毫升；再将乙杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本乙杯内水量的3倍少180毫升．若过程中水没有溢出，则原本甲、乙两杯内的水量相差多少毫升？(　　)A．80 B．110 C．140 D．220