2022届福建省厦门市高三毕业班第四次质量检测数学试题含答案

福建省厦门市2022届高三毕业班第四次质量检测

数学试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数，则（       ）

A． B． C． D．

2．已知集合M，N满足，则（       ）

A． B． C． D．

3．已知抛物线的准线被圆所截得的弦长为，则（       ）

A．1 B． C．2 D．4

4．已知平面，直线满足，，，，则（       ）

A． B． C． D．

5．已知，且，则（       ）

A． B． C． D．

6．我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量．概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量，当n充分大时，二项随机变量Y可以由正态随机变量X来近似，且正态随机变量X的期望和方差与二项随机变量Y的期望和方差相同．棣莫弗在1733年证明了的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的p进行了证明．现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60次的概率为（       ）（附：若，则，，）

A．0.1587 B．0.0228 C．0.0027 D．0.0014

7．已知为单位向量，满足，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

8．已知，则（       ）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 

9．为推动学校体育运动发展，引导学生积极参与体育锻炼，增强健康管理意识，某校根据性别比例采用分层抽样方法随机抽取了120名男生和80名女生，调查并分别绘制出男、女生每天在校平均体育活动时间的频率分布直方图（如图所示），则（       ）

A．

B．该校男生每天在校平均体育活动时间中位数的估计值为75

C．估计该校至少有一半学生每天在校平均体育活动时间超过一小时

D．估计该校每天在校平均体育活动时间不低于80分钟的学生中男、女生人数比例为

10．已知正方形的边长为1，以为折痕把折起，得到四面体，则（       ）

A． B．四面体体积的最大值为

C．可以为等边三角形 D．可以为直角三角形

11．已知F为双曲线的右焦点，过F的直线l与圆相切于点M，l与C及其渐近线在第二象限的交点分别为P，Q，则（       ）

A． B．直线与C相交

C．若，则C的渐近线方程为 D．若，则C的离心率为

12．已知函数，则（       ）

A．是奇函数 B．的图象关于点对称

C．有唯一一个零点 D．不等式的解集为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在复平面内，复数对应的点位于直线上，则________．

14．已知函数，写出一个同时满足以下条件的的值___________．

①；

②是偶函数；

③在上恰有两个极值点．

15．为提升市民的艺术修养，丰富精神文化生活，市图书馆开设了工艺、绘画、雕塑等公益讲座，讲座海报如图所示．某人计划用三天时间参加三场不同类型讲座，则共有_______种选择方案．（用数字作答）

四、双空题

16．已知数列与数列的前n项和分别为，则_________；若对于恒成立，则实数的取值范围是___________．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．的内角A，B，C的对边分别是a，b，c．已．

(1)求A；

(2)D为的中点，，垂足为E，，垂足为F．若，求面积的最大值．

18．如图，点是正方形的中心，，，，．

(1)证明：平面；

(2)若直线与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值．

19．已知数列的前项和为，满足，，．

(1)证明：数列是等比数列；

(2)记，设，求数列的前项和．

20．中，，线段上的点M满足．

(1)记M的轨迹为，求的方程；

(2)过B的直线l与交于P，Q两点，且，判断点C和以为直径的圆的位置关系．

21．某工厂采购了一批新的生产设备．经统计，设备正常状态下，生产的产品正品率为0.98．为监控设备生产过程，检验员每天从该设备生产的产品中随机抽取10件产品，并检测质量．规定：抽检的10件产品中，若至少出现2件次品，则认为设备生产过程出现了异常情况，需对设备进行检测及修理．

(1)假设设备正常状态，记X表示一天内抽取的10件产品中的次品件数，求，并说明上述监控生产过程规定的合理性；

(2)该设备由甲、乙两个部件构成，若两个部件同时出现故障，则设备停止运转；若只有一个部件出现故障，则设备出现异常．已知设备出现异常是由甲部件故障造成的概率为p，由乙部件故障造成的概率为．若设备出现异常，需先检测其中一个部件，如果确认该部件出现故障，则进行修理，否则，继续对另一部件进行检测及修理．已知甲部件的检测费用1000元，修理费用5000元，乙部件的检测费用2000元，修理费用4000元．当设备出现异常时，仅考虑检测和修理总费用，应先检测甲部件还是乙部件，请说明理由．

参考数据：．

22．已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)当时，，求的取值范围．

参考答案：

1．D

2．C

3．C

4．D

5．C

6．B

7．A

8．B

9．ACD

10．AC

11．AD

12．BCD

13．

14．4（答案不唯一）

15．8

16．         

17．

(1)

因为，由正弦定理得，，

化简得，，由辅助角公式得，，

所以，A为的内角，所以，所以；

(2)

由（1）知，设，则，

因为D为的中点，，且，所以直角中，，

同理，四边形中，，，，

所以，所以，

所以，即时面积最大为.

18．

(1)

四边形为正方形，，又，，平面，平面；

平面，；

又，，平面，平面.

(2)

以为坐标原点，的正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

平面，直线与平面所成角为，

，解得：；

，，，，

，，，

设平面的法向量，

则，令，解得：，，；

设平面的法向量，

则，令，解得：，，；

，

二面角为锐二面角，二面角的余弦值为.

19．

(1)

当时，，解得：；

当时，由得：，

两式作差得：，即；

经检验：，满足；

数列是以为首项，为公比的等比数列.

(2)

由（1）得：，；

则当为奇数时，，，；

当为偶数时，；

令，则，

，即，；

.

20．

(1)

解：如图所示，在中，，

因为线段上的点M满足，可得，

所以，

根据椭圆的定义，可得点的轨迹为以为焦点的椭圆，

其中，可得，则，

所以点的轨迹方程为.

(2)

解：由（1）知椭圆的方程为，设过点的直线为，

联立方程组，整理得，

设，则，

因为，可得，可得，

将代入，可得，消去可得，

解得，即，

不妨取，可得，

则，

设的中点为，则，，即，

所以以为直径的圆的圆心坐标为，半径为，

又由，

根据圆的定义得点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，

又由，且，

即，所以点C在以为直径的圆外.

21．

(1)

由题可知，单件产品为次品的概率为0.02，所以，

所以，，

所以，

由可知，如果生产状态正常，一天内抽取的10个零件中，至少出现2个次品的概率约为0.014，该事件是小概率事件，因此一旦发生这种状况，就有理由认为设备在这一天的生产过程出现了异常情况，需对设备进行检测和修理，可见上述监控生产过程的规定是合理的.

(2)

若先检测甲部件，设检测费和修理费之和为元，则的所有可能值为6000，7000，

则，，

所以，

若先检测乙部件，设检测费和修理费之和为元，则的所有可能值为6000，8000，

则，，

所以，

所以，

则当时，，应先检测乙部件；当时，，先检测甲部件或乙部件均可；当时，，应先检测甲部件.

22．

（1）求导后，分别在和时，根据的正负得到单调性；

（2）将不等式转化为；①当时，采用放缩法可得，知，满足题意；②当时，令，利用导数可说明当时，单调递增，结合零点存在定理可确定，使得，进而说明当时，，不合题意；综合两种情况可得结论.

(1)

，

当时，，，，在上单调递增；

当时，令，解得：，

则当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增；

综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.

(2)

当时，由得：，

令，则，，；

①当时，，

在上单调递减，，满足题意；

②当时，令，

则；

当时，，则；

又，，；

，，即在上单调递增，

，，，使得，

则当时，，在上单调递增，

此时，不合题意；

综上所述：实数的取值范围为.