四川省泸州市泸县第五中学2022届高三三诊模拟考试理科数学试题及解析

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集，已知集合，，则=（ ）
A. B. C. D.
【1题答案】
【答案】D
【解析】
分析】化简集合，先求出，再求出其补集即可得解.
【详解】或，，
所以，
所以，即.
故选：D
2. 设，则z的共轭复数对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【2题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】求出的共轭复数，根据复数的几何意义可得答案.
【详解】因为，
所以，
所以z的共轭复数为，它对应的点在第四象限.
故选：D
3. 已知甲、乙两家快递公司一天内在4个居民小区接收的快递数量如下面茎叶图所示.其中有一个数字被损坏，无法识别，假设这个数字具有随机性，现用a表示，则甲公司快递数量的中位数不低于乙公司快递数量的概率为（ ）
A. B. C. D.
【3题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】根据茎叶图求出中位数，从而求出的可能取值，再根据古典概型求出结果.
【详解】甲快递数量为：，其中位数是；
乙快递数量为：，其中位数是，
由得，
因为，所以，
故所求概率为.
故选：D
4. 已知双曲线的焦点到渐近线的距离等于，则此双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2D. 4
【4题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】由题列出关于的关系式求解即可.
【详解】由题可知渐近线方程，即，
故焦点到渐近线的距离，
∴.，即，
解得.
故选：C.
5. 设，则 tan =（ ）
A. B. C. D.
【5题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】由利用正切函数的和差公式求解即可.
【详解】所以 .
故选：D.
6. 下列选项中，为“数列是等差数列”的一个充分不必要条件的是（ ）
A. B.
C. 通项公式D.
【6题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列的中项性质以及通项公式，结合充分必要条件的概念逐项分析即可.
【详解】对于A：数列是等差数列，
∴A选项为“数列是等差数列”的一个充要条件，故A错误；
对于B：易知B选项为“数列是等差数列”的一个既不充分也不必要条件，故B错误；
对于C：∵，∴，∴，
∴数列是等差数列，反之若为等差数列，则，
此时不一定为2，所以必要性不成立，
∴C选项为“数列是等差数列”的一个充分不必要条件，故C正确；
对于D：若数列是等差数列，则，
∴成立，
反之当，，，时，满足，
但不是等差数列，
∴D选项为“数列是等差数列”的一个必要不充分条件，故D错误．
故选：C．
7. 若向量满足，则在方向上的投影为（ ）
A. 1B. -1C. D.
【7题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】根据求出，根据即可求投影.
【详解】，
故在方向上的投影.
故选：D.
8. 设函数是定义在R上的奇函数，且，若，则（ ）
A. B. C. D.
【8题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】
根据是奇函数，可得，即可求出，进而可求.
【详解】是奇函数，，即，
即，，，
.
故选：C.
9. 将《傲慢与偏见》《巴黎圣母院》等六本不同的国外名著按如图所示的方式竖放在一起，则《傲慢与偏见》放在最前面或最后面的不同放法共有（ ）
A. 120种B. 240种C. 200种D. 180种
【9题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】《傲慢与偏见》在最前面或最后面有两种选择，其余五本书有种排列方式.
【详解】《傲慢与偏见》故在最前面或最后面的不同放法共有：种，
故选：B．
10. 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则下列说法错误的是（ ）
A. 的图象的一条对称轴为B. 在上单调递增
C. 在上的最大值为D. 的一个零点为
【10题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】将利用辅助角公式化简，再利用图像变换关系，求出的解析式，最后利用三角函数的性质判断各个选项即可.
【详解】解：，则，
对选项A，因为，故A错误；
对选项B，因为解得
所以在上单调递增，故B正确；
对选项C，因为，所以，
所以，，，故C正确；
对选项D，，故D正确.
故选：A.
11. 在直角坐标系中，设为双曲线的右焦点，为双曲线的右支上一点，且为正三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【11题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】根据为正三角形求出的坐标，代入双曲线方程，根据离心率公式化为关于的方程，可求出结果》
【详解】不妨设在第一象限，
因为为正三角形，，
所以，
又在双曲线上，所以，
所以，所以，
所以，所以，
化简得，解得，
所以.
故选：B
12. 已知函数，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【12题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】由，可以看作点与点连线的斜率，点在圆上，点在直线上，作出图像，利用数形结合即可得解.
【详解】，可以看作点与点连线的斜率，点在圆上，点在直线上，结合图形分析可得，当过点作圆的切线，此时两条切线的斜率分别是的最大值和最小值.圆心与点所在直线的夹角均为，两条切线的倾斜角分别为，，故所求直线的斜率的范围为．
故选D
【点睛】本题考查了数形结合思想解决求范围问题，经问题转化为直线与圆的位置关系问题是解题的关键，属于难题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 设满足约束条件，则的最小值为_________.
【13题答案】
【答案】
【解析】
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【详解】由约束条件作出可行域如图，
化目标函数为，
由，可得，
由图可知，当直线过时，有最小值为．
故答案为：．
14. 设随机变量，且，则______.
【14题答案】
【答案】.
【解析】
【分析】本题首先可根据得出，然后根据正态分布的对称性即可得出结果.
【详解】因为，且，
所以，，
故答案为：.
【点睛】本题考查正态分布在指定区间上的概率，解题时要充分利用正态密度曲线的对称性求解，考查分析问题和解决问题的能力，是简单题.
15. (广东深圳市2017届高三第二次（4月）调研考试数学理试题)我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法---“三斜求积术”，即的面积，其中分别为内角的对边.若，且，则的面积的最大值为__________．
【15题答案】
【答案】
【解析】
【详解】由题设可知，即，由正弦定理可得，所以，当时， ，故填.
16. 已知三棱锥满足平面平面，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为________________.
【16题答案】
【答案】
【解析】
【分析】先确定球心就是的外心，再利用正弦定理得到，计算表面积得到答案.
【详解】因为，所以的外心为斜边的中点，
因为平面平面，所以三棱锥外接球球心在平面上，
即球心就是的外心，根据正弦定理，解得，
所以外接球的表面积为.
【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，确定球心为的外心是解题的关键.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 的内角的对边分别为，已知.
（1）求的大小；
（2）若，求面积的最大值.
【17题答案】
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合诱导公式可化简边角关系式，求得，根据可求得结果；
（2）利用余弦定理可得，利用基本不等式可求得，代入三角形面积公式可求得结果.
【详解】（1）由正弦定理得：
，，
又，，，即
由得：.
（2）由余弦定理得：
又（当且仅当时取等号），
即
三角形面积的最大值为：
【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理解三角形、三角形面积公式应用、基本不等式求积的最大值、诱导公式的应用等知识，属于常考题型.
18. 为响应绿色出行，前段时间贵阳市在推出“共享单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”，其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成：①根据行驶里程按1元/公里计费；②行驶时间不超过40分钟时，按0.12元/分钟计费；超出部分按0.20元/分钟计费，已知张先生家离上班地点15公里，每天租用该款汽车上、下班各一次.由于堵车、红路灯等因素，每次路上开车花费的时间（分钟）是一个随机变量.现统计了100次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示：
将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车的时间，范围为分钟.
（1）写出张先生一次租车费用（元）与用车时间（分钟）的函数关系式；
（2）若公司每月给900元的车补，请估计张先生每月（按24天计算）的车补是否足够上下租用新能源分时租赁汽车？并说明理由；（同一时段，用该区间的中点值作代表）
（3）若张先生一次开车时间不超过40分钟为“路段畅通”，设表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求的分布列和期望.
【18题答案】
【答案】（1）；
（2）张先生每月的车补不够上下班租用新能源分时租赁汽车费用，理由见解析；
（3）分布列见解析，期望为.
【解析】
【分析】（1）分类讨论得到一次租车费用（元）与用车时间（分钟）的函数关系式；
（2）求出一个月上下班租车的费用即得解；
（3）由题得可取，再求出对应的概率即得解.
【小问1详解】
解：当时，
当时，
所以
【小问2详解】
解：张先生租用一次新能源分时汽车上下班，
平均用车时间为
每次上下班租车的费用约为
一个月上下班租车的费用约为，
估计张先生每月的车补不够上下班租用新能源分时租赁汽车费用.
【小问3详解】
解：张先生租赁分时汽车为“路段畅通”的概率，
可取.
，
的分布列为：
所以
20. 如图，在边长为菱形中，，与交于点，将沿直线折起到的位置（点不与，两点重合）.
（1）求证：不论折起到何位置，都有平面；
（2）当平面时，点是线段上的一个动点，若与平面所成的角为，求的值.
【20题答案】
【答案】（1）详见解析；（2）或.
【解析】
【分析】（1）由线面垂直的判定定理，即可证明平面；
（2）用空间向量的方法，以，，的方向分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系，设，用表示出直线与平面所成角的余弦值，再由与平面所成的角为，即可求出结果.
【详解】（1）证明：因为四边形是菱形，所以.
因为，点是的中点，
所以.
又因为平面，平面，，
所以平面.
（2）解：以，，的方向分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系如下图所示.
易知，，，
则点，，，
所以，.
设，则.
所以.
设平面的一个法向量为，则
由得解得
令，得平面的一个法向量为，
所以，
解得.
故所求的值为或.
【点睛】
本题主要考查线面垂直的判定以及由线面角求其它的量，熟记线面垂直的判定定理即可证明线面垂直；对于线面角的问题，通常用空间向量的方法，求出直线的方向向量和平面的法向量，结合条件求解，属于常考题型.
21. 已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线的斜率为，且原点到直线的距离为.
（1）求椭圆的标准方程;
（2）若不经过点的直线与椭圆交于两点，且与圆相切.试探究△的周长是否为定值，若是，求出定值;若不是，请说明理由.
【21题答案】
【答案】（1）；
（2）是，△的周长为定值.
【解析】
【分析】（1）由题意设、，由斜率公式、点到直线的距离公式列方程即可得解；
（2）由直线与圆相切可得，设，，由韦达定理及弦长公式可得，由焦半径公式可得、，进而可得的周长，化简即可得解.
【小问1详解】
由题可知， ，则，
直线的方程为，即，
所以，
解得，又，
所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
因为直线与圆相切，
所以，即，
设，，
联立，得，
所以 ，
，，
所以
，
又，所以，
由于，，所以，，
因为，
同理，
所以，
所以的周长是
，
则的周长为定值.
23. 已知函数f(x）=xlnx，g(x)=,
（1）求f(x)的最小值；
（2）对任意，都有恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：对一切，都有成立．
【23题答案】
【答案】(1) (2)（ (3)见证明
【解析】
【分析】（1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律确定函数单调性，最后根据函数单调性确定最小值取法；（2）先分离不等式，转化为对应函数最值问题，利用导数求对应函数最值即得结果；（3）构造两个函数，再利用两函数最值关系进行证明.
【详解】（1）
当时，单调递减，当时，单调递增，所以函数f(x）的最小值为f(）=；
（2）因为所以问题等价于在上恒成立，
记则，
因为，
令
函数f(x）在（0,1）上单调递减;
函数f(x）在（1，+）上单调递增；
即，
即实数a的取值范围为（.
（3）问题等价于证明
由（1）知道
，令
函数在（0,1）上单调递增；
函数在（1，+）上单调递减；
所以{，
因此，因为两个等号不能同时取得，所以
即对一切，都有成立.
【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.
（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
选修4-4：坐标系与参数方程
24. 在平面直角坐标系中，已知点，参数，直线的方向向量为，且过定点．
（1）在平面直角坐标系中求点的轨迹方程；
（2）若直线上有一点，求的最小值．
【24题答案】
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由题意知：点的坐标满足，消去参数，即得点的轨迹方程；
（2）写出直线的参数方程，化为普通方程，判断直线与点的轨迹相离，即得的最小值．
【详解】（1）由题意知：点的坐标满足，.
消去参数，可得点的轨迹方程为.
（2）直线的参数方程为（是参数），消去参数，
可得直线的直角坐标方程为.
又点的轨迹为半圆，圆心到直线的距离，
直线与点的轨迹相离，
.
【点睛】本题考查参数方程和普通方程的互化，考查直线与圆的位置关系，属于中档题.
选修4-5： 不等式选讲
25. 已知函数.
（1）若，恒成立，求实数的取值范围；
（2）求函数的图像与直线围成的封闭图形的面积.
【25题答案】
【答案】（1）；（2）28.
【解析】
【详解】（Ⅰ）由题意，可先求出含绝对值的函数的最小值，再解关于参数的不等式，问题即可解决；（Ⅱ）由数形结合法问题可解决，根据题意可画出含绝对值的函数的图象，与直线围成的封闭图形是等腰梯形，然后根据梯形的面积公式，问题即可解决.
试题解析：（Ⅰ）∵，
∴，解得．
（Ⅱ）当时，或．
画出图象可得，围成的封闭图形为等腰梯形，上底长为9，下底长为5，高为4，所以面积为．
时间（分钟）
频数
4
36
40
20
0
1
2
3
p