2022年高考冲刺函数与导数专题

这是一份2022年高考冲刺函数与导数专题，共29页。试卷主要包含了单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年高考冲刺函数与导数专题
一、单选题
1．已知函数满足：对任意，．当时，，则（       ）
A． B． C． D．
2．设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是奇函数
3．函数在单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
4．若为奇函数，则（       ）
A．-8 B．-4 C．-2 D．0
5．已知函数的定义域为.当时，；当时，；当时，.则
A． B． C． D．
6．已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上是减函数，，则不等式的解集为（       ）
A． B．
C． D．
7．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（       ）
A． B． C． D．
8．设函数，则f(x)（       ）
A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减

9．已知函数，则
A．在（0，2）单调递增 B．在（0，2）单调递减
C．的图像关于直线x=1对称 D．的图像关于点（1，0）对称
10．已知函数为偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（       ）
A． B．
C． D．
11．已知为定义在R上的奇函数，，且在上单调递增，在上单调递减，则不等式的解集为（       ）
A． B．
C． D．
12．已知函数，则使不等式成立的x的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
13．已知定义域为R的函数的图象关于点成中心对称，且当时，，若，则（       ）
A．0 B． C． D．
14．已知函数是偶函数，则___________．
15．若函数（且）在R上既是奇函数，又是减函数，则的大致图象是（       ）
A．B．C．D．
16．函数的图象可能是下面的图象（       ）
A．B．C． D．
17．函数的部分图象大致为（       ）
A． B．
C． D．
18．函数的图象如图，则的解析式可能为（       ）

A． B． C． D．
19．函数的部分图像大致为（       ）
A．B．C．D．
20．设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则
A．B．
C．D．
21．已知，，，则下列判断正确的是（       ）
A． B． C． D．
22．设，，．则（       ）
A． B． C． D．
23．若，下列不等式一定成立的是（       ）
A． B．
C． D．
24．若过点可以作曲线的两条切线，则（       ）
A． B．
C． D．
25．若实数a，b，c满足，则（       ）
A． B．
C． D．
26．若，则（       ）
A． B． C． D．
27．若，则，，的大小关系为（       ）
A． B．
C． D．
28．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（　　）
A． B．
C． D．
29．若曲线在点处的切线方程为，则的最大值为（       ）
A． B．1 C． D．
30．若对恒成立，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．0
31．已知、，且，若恒成立，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
32．关于x的不等式对任意x>1恒成立，则a的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
33．设函数，若为上的单调函数，则实数a的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
34．不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
35．设，若为函数的极小值点，则（　　）
A． B．
C． D．
36．已知函数，若 是函数 的唯一极值点，则实数 的取值范围是 （       ）
A． B．
C． D．
37．若是函数的极大值点，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
三、解答题
38．已知函数（其中e为自然对数的底数）．
(1)若，证明：当时，恒成立；
(2)已知函数在R上有三个零点，求实数a的取值范围．


39．已知函数，．
(1)若函数在区间内单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若，且，求证：．












40．已知m>0且m≠1，函数.
(1)当m=2时，求的极值点；
(2)当时，若曲线与直线y=1有且仅有1个交点，求m的取值范围.

参考答案：
1．C
【详解】
因为，
则，即，
所以，即，
所以，
因为，所以，
所以，
故选：C
2．C
【解析】
【详解】
试题分析：是奇函数，是偶函数，故为奇函数，为偶函数， ||为偶函数，故选C.
考点：函数的奇偶性的判定.
3．C
【解析】
【分析】
由为奇函数可化简不等式得到，利用单调性可得自变量的大小关系.
【详解】
为奇函数，，又，，
则可化为：，
在单调递增，，解得：，
的取值范围为.
故选：C.
4．A
【解析】
【分析】
利用分段函数的特点及奇函数的性质求解.
【详解】
因为为奇函数，所以，
又，可得.
故选：A.
5．D
【解析】
【详解】
试题分析：当时,,所以当时,函数是周期为的周期函数,所以,又函数是奇函数,所以,故选D．
考点：函数的周期性和奇偶性．
6．D
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性，单调性以及对数函数的单调性即可解出．
【详解】
因为函数是定义在R上的偶函数，且在区间上是减函数，所以，函数在上是增函数，所以，即有，所以或，解得或．
故选：D．
7．A
【解析】
【分析】
直接由为奇函数得，由为偶函数得，通过赋值法得，，进而求出，再由求解即可.
【详解】
由为奇函数可得，令，可得，令，可得，即①；
由为偶函数可得，令，可得，又可得②；
由①②解得，故时，.令，由可得；
令，由可得，故.
故选：A.
8．D
【解析】
【分析】
根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果.
【详解】
由得定义域为，关于坐标原点对称，
又，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，排除B；
当时，，
在上单调递减，在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.
9．C
【解析】
【详解】
由题意知，，所以的图象关于直线对称，故C正确，D错误；又（），由复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，所以A，B错误，故选C．
【名师点睛】如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称轴；如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心．
10．D
【解析】
【分析】
根据偶函数求出时，，然后求导，再计算，然后利用点斜式方程写出切线方程.
【详解】
因为为偶函数，设，则，所以，所以.因为当时，，所以，所以曲线在处的切线方程为，即.
故选：D.
11．D
【解析】
【分析】
首先判断出的对称性，求得的解集，从而求得的解集.
【详解】
因为为定义在R上的奇函数，所以的图象关于点对称，
且，又，所以．
依题意可得，当或时，．
所以等价于或，
解得或．
故选：D
12．D
【解析】
【分析】
判断的奇偶性与单调性，由题意列不等式后求解
【详解】
由得定义域为，
，故为偶函数，
而，在上单调递增，
故在上单调递增，
则可化为，得
解得
故选：D
13．C
【解析】
【分析】
由函数的对称性有，结合上函数解析式得、关于参数m、n的表达式，进而求m、n，即可得结果.
【详解】
依题意，，又，
所以①，而②，
联立①②，解得：，，则．
故选：C
14．##0.5
【解析】
【分析】
依据偶函数的定义建立方程即可求解.
【详解】
由题意知：是偶函数，
则，
即：
即：
即：，解得：.
故答案为：.
15．B
【解析】
【分析】
先求得的解析式中参数的值和的取值范围，再去判断其图像形状.
【详解】
因为函数在R上是奇函数，
所以，所以，经检验，满足题意，
又因为为减函数，所以，则（）
由
可知的图象关于直线轴对称，排除选项CD ；
又，可知选项A错误.所以的大致图象为B．
故选：B
16．A
【解析】
【分析】
由，利用其对称性排除部分选项，再由时，函数值的正负判断.
【详解】
解：，
因为，
所以关于点对称，排除BC，
当时，，故排除D，
故选：A
17．B
【解析】
【分析】
分析函数的奇偶性以及的值，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】
对任意的，，所以，函数的定义域为，
因为，则函数为奇函数，排除C选项；
因为，，则，所以，，排除AD选项.
故选：B.
18．C
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性排除选项B,D,再利用函数的零点和特殊值排除选项A,即得解.
【详解】
解：由图得函数的定义域为，且是偶函数.
由于选项B,D的函数为奇函数，所以排除B,D.
对于选项A, 函数的定义域为，且，所以函数是偶函数，当时，，令.所以函数轴右边图象只有一个零点1. ,与图象不符，所以选项A错误；
对于选项C, 函数的定义域为，且，所以函数是偶函数，当时，令，所以函数轴右边图象只有一个零点1. ，与图象相符，所以选项C有可能.
故选：C
19．C
【解析】
【分析】
先利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，排除不符合题意的选项，然后观察剩余选项的不同点，利用函数值的符号排除不符合题意的选项，从而得出答案.
【详解】
由题意可知，函数的定义域为，
，
所以为奇函数，排除选项A，B；
当时，，所以，
所以，排除D．
故选：C.
20．C
【解析】
由已知函数为偶函数，把，转化为同一个单调区间上，再比较大小．
【详解】
是R的偶函数，．
，
又在(0，+∞)单调递减，
∴，
，故选C．
【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．
21．C
【解析】
【分析】
对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论.
【详解】
，即.
故选：C.
22．B
【解析】
【分析】
利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
【详解】
,
所以;
下面比较与的大小关系.
记,则,，
由于
所以当01恒成立，由单调递增，转化为对任意x>1恒成立求解.
【详解】
因为对任意x>1恒成立，
即对任意x>1恒成立，
令，则，
所以单调递增，
则对任意x>1恒成立，
即对任意x>1恒成立，
令，则，
当时，，递减，
当时，，递增，
所以取得最大值，
所以，
解得，
故选：B
33．D
【解析】
【分析】
求出函数的导数，判断其正负，确定导函数由最小值，无最大值，由此确定单调递增，得到，求得答案.
【详解】
由得：，
令，
当 时，， 递减；
当 时，，递增，
故在 时取得最小值 ，无最大值，
由于为上的单调函数，只能是递增函数，故，
即得，
故选：D
34．B
【解析】
【分析】
将变为即，构造新函数，利用其单调性得到，继而求得答案.
【详解】
当时，不等式在上恒成立不会成立，
故 ，
当 时， ，此时不等式恒成立；
不等式在上恒成立,
即在上恒成立,
而即，
设 ，当 时，，
故是增函数，
则即，故，
设，
当 时，， 递增，
当 时，， 递减，
故 ，则 ，
综合以上，实数的取值范围是 ，
故选：B
【点睛】
本题考查了不等式的恒成立问题，解答时要注意导数的应用，利用导数判断函数的单调性以及求最值等，解答的关键是对原不等式进行变形，并构造新函数,这一点解题的突破点.
35．C
【解析】
【分析】
先对函数求导，令，则或，然后分和结合的正负讨论判断函数的极值点即可
【详解】
由，
得，
令，则或，
当，即时，
若时，则在，上单调递增，在上单调递减，
所以是函数的极大值点，不合题意，
若时，则在，上单调递减，在上单调递增，
所以是函数的极小值点，满足题意，此时由，，可得，
当时，，
若时，在，上单调递减，在上单调递增，
所以是函数的极大值点，不合题意，
若时，在，上单调递增，在上单调递减，
所以是函数的极小值点，满足题意，此时由，得，
综上，一定成立，所以C正确，ABD错误，
故选：C
36．D
【解析】
【分析】
求出导函数并因式分解得到，再令，进而讨论函数的单调性并求出最小值，然后讨论和两种情况分别求出原函数的极值点个数，最后得到答案.
【详解】
由题意，，，记，则，则时，，单调递减，时，，单调递增，所以.
若，则时，，单调递减，时，，单调递增，于是 是函数 的唯一极值点.
若，则，易知，于是时，；
设，，即在上单调递增，所以，则时，，此时，于是且时，.
再结合函数的单调性可知，函数在两个区间内分别存在唯一一个零点，且当时，，单调递减，时，，单调递增，时，，单调递减，时，，单调递增.于是函数 存在3个极值点.
综上所述：.
故选：D.
【点睛】
本题难度较大，首先，注意对函数求完导之后要因式分解，题目要求为极值点，则尽量分解出，其次，在讨论函数的零点时可以借助函数的单调性和图象进行分析，这样作为选择题会很快得出答案.
37．A
【解析】
【分析】
求出，分，，，分别讨论出函数的单调区间，从而可得其极值情况，从而得出答案.
【详解】
，
若时，当时，；当时，；
则在上单调递减；在上单调递增.
所以当时，取得极小值，与条件不符合,故满足题意.
当时，由可得或；由可得
所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增.
所以当时，取得极大值，满足条件.
当时，由可得或；由可得
所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增.
所以当时，取得极小值，不满足条件.
当时，在上恒成立，即在上单调递增.
此时无极值.
综上所述：满足条件
故选：A
38．(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）把代入函数，在给定条件下，等价变形不等式，构造函数，借助导数推理作答.
（2）把问题转化为函数有两个都不是0的零点，再利用导数探讨最大值，并结合零点存在性定理推理判断作答.
(1)
当时，，因，，
令，求导得，即函数在上单调递减，
，，因此，当时，恒成立，
所以当时，恒成立.
(2)
依题意，，由，得，显然是函数的一个零点，
因函数在R上有三个零点，则有两个都不是0的零点，
，当时，，函数在上单调递减，此时，在上最多一个零点，不符合题意，
当时，在上单调递减，，则当时，，当时，，
因此，函数在上单调递增，在上单调递减，，
要有两个零点，必有，即，得，
因，则存在，使得，即函数在上有一个零点，
令，，求导得：，令，，
则函数在上单调递增，，，因此，函数在上单调递增，
，，即在时，恒成立，当时，在时恒有成立，
因此，，，令，
则，
于是得，则存在，使得，
即函数在上有一个零点，因此在上有一个零点，
从而得，当时，在上有两个零点，即函数在R上有三个零点，
所以实数a的取值范围是.
【点睛】
思路点睛：涉及由函数零点个数求参数范围问题，可以通过转化，利用导数研究函数的单调性、最值，结合零点存在性定理推理求解.
39．(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据条件将问题转化为在上恒成立问题,然后根据函数的单调性求出的范围；
（2）根据条件将问题转化为成立问题,令，即成立，再利用函数的单调性证明即可.
(1)
解：因为的定义域为，
所以，
若函数在区间递增，
则在上恒成立，
即在上恒成立，
则只需，
令，则，
当时，，单调递减，
即在时取得最小值9，
所以，
所以a的取值范围为．
(2)
解：令，，
则，．
由，且，得，
所以，，
所以要证成立，
只需证，
即，即成立即可，
令，则需证，
由（1）可知时，函数在单调递增，
所以，所以成立，
所以．
【思路点睛】
1、一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则恒成立．
2、对于函数不等式的恒成立问题，可构建新函数，再以导数为工具讨论新函数的单调性从而得到新函数的最值，最后由最值的正负得到不等式成立.
40．(1)是极小值点，是极大值点
(2)
【解析】
【分析】
（1）直接求导，确定单调性，进而求出极值点；
（2）先将曲线与直线有且仅有1个交点转化为有1个解，构造函数，求导确定单调性及最大值，结合图像即可求解.
(1)
当m=2时，函数，，

令，则，此时函数单调递增，
令，则或，此时函数单调递减，
所以是的极小值点，是的极大值点.
(2)
当时，曲线与直线有且仅有1个交点，
可转化为方程有1个解，即方程有1个解.

设，则，
令，得，
当，，函数单调递增，
当x>e时，，函数单调递减，
故，且当x>e时，，
所以时，方程有1个解，所以m=e，
又，所以当时，根据函数的单调性可知，
方程也有一个解，
这时由与m>0，得，得到0