高中数学概率统计同步讲解

这是一份高中数学概率统计同步讲解，文件包含73离散型随机变量的数字特征解析版docx、74二项分布与超几何分布解析版docx、75正态分布解析版docx、71条件概率与全概率公式解析版docx、72离散型随机变量及其分布列解析版docx、73离散型随机变量的数字特征原卷版docx、74二项分布与超几何分布原卷版docx、75正态分布原卷版docx、71条件概率与全概率公式原卷版docx、72离散型随机变量及其分布列原卷版docx等10份试卷配套教学资源，其中试卷共221页， 欢迎下载使用。
7.2 离散型随机变量及其分布列
【知识点梳理】
1．随机变量
随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应随机试验的某一个随机事件．
定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．
2．离散型随机变量
可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值.
3.随机变量和函数的关系
随机变量的定义与函数的定义类似，这里的样本点ω相当于函数定义中的自变量，而样本空间Ω相当于函数的定义域，不同之处在于Ω不一定是数集．
4．离散型随机变量的分布列
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和
(1)离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为 x1，x2，…，xn ，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称为分布列．
(2)可以用表格来表示X的分布列，如下表
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
还可以用图形表示，如下图直观地表示了掷骰子试验中掷出的点数X的分布列，称为X的概率分布图．

5．离散型随机变量的分布列的性质
(1)pi≥0，i＝1，2，…，n；
(2) p1＋p2＋…＋pn＝1.
6．两点分布
对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X＝如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列如表所示
X
0
1
P
1－p
p
我们称X服从两点分布或0－1分布．
【典型例题】
题型一　随机变量的概念
例1．（2021·全国·高二专题练习）一个袋中有4个白球和3个红球，从中任取2个，则随机变量可能为（       ）
A．所取球的个数
B．其中含红球的个数
C．所取白球与红球的总数
D．袋中球的总数
【答案】B
【解析】
【分析】
根据离散型随机变量的定义逐一判断四个选项的正误，即可得正确选项.
【详解】
对于A：所取球的个数为2个，是定值，故不是随机变量，故选项A不正确；
对于B：从中任取2个其中含红球的个数为是随机变量，故选项B正确；
对于C：所取白球与红球的总数为2个，是定值，故不是随机变量，故选项C不正确；
对于D：袋中球的总数为7个，是定值，故不是随机变量，故选项D不正确；
故选：B.
规律方法　解答此类题目的关键在于分析变量是否满足随机试验的结果，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能取的值，而不知道在一次试验中哪一个结果发生，随机变量取哪一个值．
例2．（2021·河南南阳·高二期末（理））从装有2个白球、3个黑球的袋中任取2个小球，下列可以作为随机变量的是（       ）
A．至多取到1个黑球 B．至少取到1个白球
C．取到白球的个数 D．取到的球的个数
【答案】C
【解析】
【分析】
根据随机变量的定义，判断选项.
【详解】
根据随机变量的定义可知，随机变量的结果都可以数量化，不确定的，由实验结果决定，满足条件的只有C，取到白球的个数，可以是0，1，2.
故选：C
题型二　离散型随机变量的判断
例3．（2022·全国·高二课时练习）下列X是离散型随机变量的是（       ）
①某座大桥一天经过的车辆数X；
②在一段时间间隔内某种放射性物质放出的α粒子数η；
③一天之内的温度X；
④一射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中得0分，用X表示该射手在一次射击中的得分.
A．①②③④ B．①②④
C．①③④ D．②③④
【答案】B
【解析】
【分析】
根据离散型随机变量的定义逐一判断即可.
【详解】
①、②、④中的X取值均可一一列出，而③中的X是一个范围.不能一一列举出来，
故选：B.
规律方法　判断离散型随机变量的方法
(1)明确随机试验的所有可能结果．
(2)将随机试验的结果数量化．
(3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．
例4．（2022·全国·高二课时练习）下面给出四个随机变量：①一高速公路上某收费站在1小时内经过的车辆数ξ是一个随机变量；②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η是一个随机变量；③某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数ξ是一个随机变量；④1天内的温度η是一个随机变量.其中是离散型随机变量的为（       ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【答案】C
【解析】
【分析】
根据离散型随机变量的概念逐一判断即可.
【详解】
①中经过的车辆数和③中寻呼次数都能列举出来，而②④中都不能列举出来，所以①③中的ξ是一个离散型随机变量.
故选：C.
例5．（2021·全国·高二课时练习）给出下列各量：
①某机场候机室中一天的游客数量；
②某寻呼台一天内收到的寻呼次数；
③某同学离开自己学校的距离；
④将要举行的绘画比赛中某同学获得的名次；
⑤体积为8的正方体的棱长.
其中是离散型随机变量的是（       ）
A．①②④ B．①②③ C．③④⑤ D．②③④
【答案】A
【解析】
【分析】
由离散型随机变量的概念逐个判断即可得解.
【详解】
由题意，①②④是离散型随机变量，③是连续型随机变量，
⑤中体积为8的正方体的棱长是一个常量，不是随机变量.
故选：A.
题型三　用随机变量表示事件的结果
例6．（2022·全国·高三专题练习）袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为（       ）
A．25 B．10
C．7 D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意列举出X的所有可能取值.
【详解】
X的可能取值为1＋2＝3，1＋3＝4，1＋4＝5＝2＋3，1＋5＝6＝4＋2，2＋5＝7＝3＋4，3＋5＝8，4＋5＝9.
故选：C
规律方法　解答用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点
(1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果．
(2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果．

例7．（2021·全国·高二课时练习）若实数x∈R，记随机变量ξ＝，则不等式≥1的解集所对应的ξ的值为（       ）
A．1 B．0
C．－1 D．1或0
【答案】A
【解析】
【分析】
先解不等式≥1，再根据随机变量ξ求解.
【详解】
不等式≥1，可化为不等式，
即，
解得0