【精校版】2018年高考天津卷文数试题（word版含答案）

2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学（文史类）

一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）设集合，，，则

（A）       （B）

（C）      （D）

（2）设变量满足约束条件则目标函数的最大值为

（A）6        （B）19

（C）21        （D）45

（3）设，则“”是“” 的

（A）充分而不必要条件    （B）必要而不充分条件

（C）充要条件      （D）既不充分也不必要条件

（4）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为20，则输出的值为

（A）1   （B）2    （C）3    （D）4

（5）已知，则的大小关系为

（A）  （B）  （C）  （D）

（6）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数

（A）在区间 上单调递增  （B）在区间 上单调递减

（C）在区间 上单调递增  （D）在区间 上单调递减

（7）已知双曲线 的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且 则双曲线的方程为

（A）      （B）

（C）     （D）

（8）在如图的平面图形中，已知,则的值为

（A）        （B）

（C）        （D）0

第Ⅱ卷

注意事项：

1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2．本卷共12小题，共110分。

二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

（9）i是虚数单位，复数=__________．

（10）已知函数f(x)=exlnx，f ′(x)为f(x)的导函数，则f ′（1）的值为__________．

（11）如图，已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，则四棱柱A1–BB1D1D的体积为__________．

（12）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．

（13）已知a，b∈R，且a–3b+6=0，则2a+的最小值为__________．

（14）已知a∈R，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________．

三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（15）（本小题满分13分）

已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．

（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？

（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．

（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．

（16）（本小题满分13分）

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c．已知bsinA=acos(B–)．

（Ⅰ）求教B的大小；

（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin(2A–B)的值．

（17）（本小题满分13分）

如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=，∠BAD=90°．

（Ⅰ）求证：AD⊥BC；

（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；

（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．

（18）（本小题满分13分）

设{an}是等差数列，其前n项和为Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．

（Ⅰ）求Sn和Tn；

（Ⅱ）若Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整数n的值．

（19）（本小题满分14分）

设椭圆 的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，.

（I）求椭圆的方程；

（II）设直线与椭圆交于两点，与直线交于点M，且点P，M均在第四象限.若的面积是面积的2倍，求k的值.

（20）（本小题满分14分）

设函数，其中,且是公差为的等差数列.

（I）若 求曲线在点处的切线方程；

（II）若，求的极值；

（III）若曲线 与直线 有三个互异的公共点，求d的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分．

（1）C    （2）C    （3）A     （4）B

（5）D    （6）A    （7）A     （8）C

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分30分．

（9）4–i    （10）e    （11）

（12）  （13）    （14）［，2］

三、解答题

（15）本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．

（Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．

（Ⅱ）（i）解：从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为

{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．

（ii）解：由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．

所以，事件M发生的概率为P（M）=．

（16）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．满分13分．

（Ⅰ）解：在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得B=．

（Ⅱ）解：在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．

由，可得．因为a<c，故．因此，

所以，

（17）本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．满分13分．

（Ⅰ）由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC．

（Ⅱ）解：取棱AC的中点N，连接MN，ND．又因为M为棱AB的中点，故MN∥BC．所以∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角．

在Rt△DAM中，AM=1，故DM=．因为AD⊥平面ABC，故AD⊥AC．

在Rt△DAN中，AN=1，故DN=．

在等腰三角形DMN中，MN=1，可得．

所以，异面直线BC与MD所成角的余弦值为．

（Ⅲ）解：连接CM．因为△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM⊥AB，CM=．又因为平面ABC⊥平面ABD，而CM平面ABC，故CM⊥平面ABD．所以，∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．

在Rt△CAD中，CD==4．

在Rt△CMD中，．

所以，直线CD与平面ABD所成角的正弦值为．

（18）本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识.考查数列求和的基本方法和运算求解能力.满分13分.

（I）解：设等比数列的公比为q，由b1=1，b3=b2+2，可得.

因为，可得，故.所以.

设等差数列的公差为.由，可得.由，可得 从而，故，所以.

（II）解：由（I），知

由可得，

整理得 解得（舍），或.所以n的值为4.

（19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.满分14分.

（I）解：设椭圆的焦距为2c，由已知得，又由，可得 由,从而.

所以，椭圆的方程为.

（II）解：设点P的坐标为，点M的坐标为 ，由题意，，

点的坐标为 由的面积是面积的2倍，可得，

从而，即.

易知直线的方程为，由方程组 消去y，可得.由方程组消去，可得.由，可得，两边平方，整理得，解得，或.

当时，，不合题意，舍去；当时，，，符合题意.

所以，的值为.

（20）（Ⅰ）解：由已知，可得f(x)=x(x−1)(x+1)=x3−x，故f‵(x)=3x−1，因此f(0)=0，=−1，又因为曲线y=f(x)在点(0， f(0))处的切线方程为y−f(0)= (x−0)，故所求切线方程为x+y=0.

（Ⅱ）解：由已知可得

f(x)=(x−t2+3)( x−t2) (x−t2−3)=( x−t2)3−9 ( x−t2)=x3−3t2x2+(3t22−9)x− t22+9t2.

故= 3x3−6t2x+3t22−9.令=0，解得x= t2−，或x= t2+.

当x变化时，f‵(x)，f(x)的变化如下表：

所以函数f(x)的极大值为f(t2−)=(−)3−9×(−)=6；函数小值为f(t2+)=()3−9×()=−6.

（III）解：曲线y=f(x)与直线y=−(x−t2)−6有三个互异的公共点等价于关于x的方程(x−t2+d) (x−t2) (x−t2−d)+ (x−t2)+ 6=0有三个互异的实数解，令u= x−t2，可得u3+(1−d2)u+6=0.

设函数g(x)= x3+(1−d2)x+6，则曲线y=f(x)与直线y=−(x−t2)−6有三个互异的公共点等价于函数y=g(x)有三个零点.

=3 x3+(1−d2).

当d2≤1时，≥0，这时在R上单调递增，不合题意.

当d2>1时，=0，解得x1=，x2=.

易得，g(x)在(−∞，x1)上单调递增，在[x1， x2]上单调递减，在(x2， +∞)上单调递增，

g(x)的极大值g(x1)= g()=>0.

g(x)的极小值g(x2)= g()=−.

若g(x2) ≥0，由g(x)的单调性可知函数y=f(x)至多有两个零点，不合题意.

若即，也就是，此时， 且，从而由的单调性，可知函数 在区间内各有一个零点，符合题意.

所以的取值范围是