人教B版 (2019)选择性必修 第一册第一章　空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系导学案

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我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出：“数学研究数量关系与空间形式，简单讲就是形与数，欧几里得几何体系的特点排除了数量关系……，对于研究空间形式，你要真正的‘腾飞’，不通过数量关系，我想不出有什么好的办法…….”吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量化”，也就是坐标系的引入，使得几何问题“代数化”，为了使得空间几何“代数化”，我们引入了坐标及其运算．
[问题] (1)设m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，那么m＋n，m－n，λm，m·n如何运算？
(2)空间直角坐标系中，点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|eq \(AB,\s\up7(―→))|如何表示？



知识点一 空间中向量的坐标及运算
1．空间中向量的坐标
(1)单位正交基底：如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，且这三个向量两两垂直；
(2)单位正交分解：在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解；
(3)向量p的坐标：在单位正交基底下向量p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p＝(x，y，z)．其中x，y，z都成为p的坐标分量．
2．空间向量的运算与坐标的关系
设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则
(1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)；
(2)μa＋vb＝(μx1＋vx2，μy1＋vy2，μz1＋vz2)；
(3)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2；
(4)|a|＝ eq \r(a·a) ＝ eq \r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋z eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ) ；
(5)cs 〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a||b|) ＝ eq \f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋z eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) )·\r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋z eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) )) .
3．空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直
设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则
(1)a∥b⇔a＝λb⇔x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)；
(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0．
1．已知a＝(1，－2，1)，a＋b＝(－1，2，－1)，则b＝( )
A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2)
C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3)
答案：B
2．已知向量a＝(－2，x，2)，b＝(2，1，2)，c＝(4，－2，1)，若a⊥(b－c)，则x的值为( )
A．－2 B．2
C．3 D．－3
解析：选A ∵b－c＝(－2，3，1)，∴a·(b－c)＝4＋3x＋2＝0，∴x＝－2.
3．已知{e1，e2，e3}是单位正交基底，则向量p＝2e1＋3e2＋e3的坐标为________，q＝－e1＋e2－2e3的坐标为________．
答案：(2，3，1) (－1，1，－2)
知识点二 空间直角坐标系
1．空间直角坐标系
(1)空间直角坐标系：在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy，然后过O作一条与xOy平面垂直的数轴z轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz；
(2)相关概念：点O叫作坐标原点，x轴，y轴，z轴叫作坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面．
2．空间向量坐标的应用
若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2).
(1)AB＝|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝ eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2＋（z2－z1）2) ；
(2)若M为线段AB的中点，M的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)，\f(z1＋z2,2))) ．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在空间中，过x轴，y轴的平面叫作xOy平面．( )
(2)空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)的形式．( )
(3)空间直角坐标系中，在xOz平面内的点的坐标一定是(a，0，c)的形式．( )
(4)空间直角坐标系中，点(1， eq \r(3) ，2)关于yOz平面的对称点为(－1， eq \r(3) ，2).( )
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．在空间坐标系中，点A(2，－1，2)在坐标平面xOy内的投影坐标为________．
答案：(2，－1，0)
3．空间两点P1(1，2，3)，P2(3，2，1)之间的距离为________．
解析：|P1P2|＝ eq \r(（－2）2＋02＋22) ＝2 eq \r(2) .
答案：2 eq \r(2)
[例1] (1)如图，在棱长为1的正方体ABCD­A′B′C′D′中，E，F，G分别为棱DD′，D′C′，BC的中点，以{eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(AD,\s\up7(―→))，eq \(AA′,\s\up7(―→))}为基底，求下列向量的坐标．
①eq \(AE,\s\up7(―→))，eq \(AG,\s\up7(―→))，eq \(AF,\s\up7(―→))；
②eq \(EF,\s\up7(―→))，eq \(EG,\s\up7(―→))，eq \(DG,\s\up7(―→))．
(2)已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是(－1，2，1)，(1，3，4)，(0，－1，4)，(2，－1，－2).若p＝eq \(AB,\s\up7(―→))，q＝eq \(CD,\s\up7(―→))．
求①p＋2q；②3p－q；③(p－q)·(p＋q).
[解] (1)①eq \(AE,\s\up7(―→))＝eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \(DE,\s\up7(―→))＝eq \(AD,\s\up7(―→))＋ eq \f(1,2) eq \(DD′,\s\up7(―→))＝eq \(AD,\s\up7(―→))＋ eq \f(1,2) eq \(AA′,\s\up7(―→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(1,2))) ；
eq \(AG,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BG,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up7(―→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，0)) ；
eq \(AF,\s\up7(―→))＝eq \(AA′,\s\up7(―→))＋eq \(A′D′,\s\up7(――→))＋eq \(D′F,\s\up7(―→))＝eq \(AA′,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→))＋ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up7(―→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1，1)) .
②eq \(EF,\s\up7(―→))＝eq \(AF,\s\up7(―→))－eq \(AE,\s\up7(―→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，\f(1,2))) ；
eq \(EG,\s\up7(―→))＝eq \(AG,\s\up7(―→))－eq \(AE,\s\up7(―→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(1,2)，－\f(1,2))) ；
eq \(DG,\s\up7(―→))＝eq \(AG,\s\up7(―→))－eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up7(―→))－eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))－ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up7(―→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(1,2)，0)) .
(2)由于A(－1，2，1)，B(1，3，4)，C(0，－1，4)，D(2，－1，－2)，所以p＝eq \(AB,\s\up7(―→))＝(2，1，3)，q＝eq \(CD,\s\up7(―→))＝(2，0，－6).
①p＋2q＝(2，1，3)＋2(2，0，－6)＝(2，1，3)＋(4，0，－12)＝(6，1，－9)；
②3p－q＝3(2，1，3)－(2，0，－6)＝(6，3，9)－(2，0，－6)＝(4，3，15)；
③(p－q)·(p＋q)＝p2－q2＝|p|2－|q|2＝(22＋12＋32)－(22＋02＋62)＝－26.
eq \a\vs4\al()
用坐标表示空间向量的步骤
(1)
(2)空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算，再进行加法或减法运算，最后进行数量积运算，先算括号里，后算括号外．

[跟踪训练]
已知O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为(2，－1，2)，(4，5，－1)，(－2，2，3)，求点P的坐标，使：
(1)eq \(OP,\s\up7(―→))＝ eq \f(1,2) (eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AC,\s\up7(―→)))；
(2)eq \(AP,\s\up7(―→))＝ eq \f(1,2) (eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AC,\s\up7(―→))).
解：eq \(AB,\s\up7(―→))＝(2，6，－3)，eq \(AC,\s\up7(―→))＝(－4，3，1)，
∴eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AC,\s\up7(―→))＝(6，3，－4).
(1)eq \(OP,\s\up7(―→))＝ eq \f(1,2) (eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AC,\s\up7(―→)))＝ eq \f(1,2) (6，3，－4)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(3,2)，－2)) ，
则点P的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(3,2)，－2)) .
(2)设点P的坐标为(x，y，z)，
则eq \(AP,\s\up7(―→))＝(x－2，y＋1，z－2).
∵eq \(AP,\s\up7(―→))＝ eq \f(1,2) (eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AC,\s\up7(―→)))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(3,2)，－2)) ，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2＝3，,y＋1＝\f(3,2)，,z－2＝－2.))
即x＝5，y＝ eq \f(1,2) ，z＝0，
则点P的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，\f(1,2)，0)) .
[例2] 在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝ eq \f(1,4) CD，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E，F，G，H的坐标．并求GH的长度．
[解] 建立如图所示的空间直角坐标系．点E在z轴上，它的x坐标，y坐标均为0，而E为DD1的中点，
故其坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(1,2))) .
过F作FM⊥AD于点M，FN⊥DC于点N，由平面几何知FM＝ eq \f(1,2) ，FN＝ eq \f(1,2) ，
则F点坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，0)) .
点G在y轴上，其x，z坐标均为0，又GD＝ eq \f(3,4) ，故G点坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4)，0)) .
过H作HK⊥CG于点K，由于H为C1G的中点，故HK＝ eq \f(1,2) ，CK＝ eq \f(1,8) .
∴DK＝ eq \f(7,8) ，故H点坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(7,8)，\f(1,2))) .
|GH|＝ eq \r(（0－0）2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)－\f(7,8)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(1,2)))\s\up12(2)) ＝ eq \f(\r(17),8) .
eq \a\vs4\al()
1．建立空间直角坐标系时应遵循以下原则
(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；
(2)充分利用几何图形的对称性．
2．求某点的坐标时，一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)，确定第三个坐标．
3．利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤

[跟踪训练]
如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C的中点，求线段MN的长度．
解：如图所示，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
由题意可知C(3，3，0)，D(0，3，0)，
∵|DD1|＝|CC1|＝|AA1|＝2，
∴C1(3，3，2)，D1(0，3，2)，
∵N为CD1的中点，
∴N eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，3，1)) .
∵M是A1C1的三等分点且靠近A1点，
∴M(1，1，2).由两点间距离公式，得
|MN|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－1))\s\up12(2)＋（3－1）2＋（1－2）2) ＝ eq \f(\r(21),2) .
[例3] 已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝eq \(AB,\s\up7(―→))，b＝eq \(AC,\s\up7(―→))．
(1)若|c|＝3，c∥eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))．求c；
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
[解] (1)因为eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))＝(－2，－1，2)，且c∥eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))，
所以设c＝λeq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))＝(－2λ，－λ，2λ)，
得|c|＝ eq \r(（－2λ）2＋（－λ）2＋（2λ）2) ＝3|λ|＝3，
解得λ＝±1.即c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2).
(2)因为a＝eq \(AB,\s\up7(―→))＝(1，1，0)，b＝eq \(AC,\s\up7(―→))＝(－1，0，2)，
所以ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4).
又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，
所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0.
即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0.
解得k＝2或k＝－ eq \f(5,2) .
故所求k的值为2或－ eq \f(5,2) .
[母题探究]
(变条件)若将本例(1)中“c∥eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))”改为“c⊥a且c⊥b”，求c.
解：a＝eq \(AB,\s\up7(―→))＝(1，1，0)，b＝eq \(AC,\s\up7(―→))＝(－1，0，2).
设c＝(x，y，z).
由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋y2＋z2＝9，,x＋y＝0，,－x＋2z＝0.))
解得x＝2，y＝－2，z＝1或x＝－2，y＝2，z＝－1，
即c＝(2，－2，1)或c＝(－2，2，－1).
eq \a\vs4\al()
判断空间向量垂直或平行的步骤
(1)向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行；
(2)向量关系代数化：写出向量的坐标；
(3)对于a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根据两向量坐标间的关系判断两向量是否垂直；根据x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)或 eq \f(x1,x2) ＝ eq \f(y1,y2) ＝ eq \f(z1,z2) (x2，y2，z2都不为0)判断两向量是否平行．
由空间向量垂直或平行求值只需根据垂直或平行的条件建立方程(组)求解即可．

[跟踪训练]
已知向量a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，2，\f(1,2))) ，b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(1,2)，1)) ，c＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，3，－\f(1,2))) ，d＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(3,2)，\f(1,4))) .求证：a⊥b，c∥d.
证明：∵a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，2，\f(1,2))) ，b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(1,2)，1)) ，
∴a·b＝1× eq \f(1,2) ＋2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))) ＋ eq \f(1,2) ×1＝0，∴a⊥b.
∵c＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，3，－\f(1,2))) ，d＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(3,2)，\f(1,4))) ，
∴c＝－2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(3,2)，\f(1,4))) ＝－2d，∴c∥d.
[例4] (链接教科书第19页例3、第24页例7)如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC­A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点．求：
(1)BN的长；
(2)cs 〈eq \(BA1,\s\up7(―→))，eq \(CB1,\s\up7(―→))〉的值．
[解] 如图，以eq \(CA,\s\up7(―→))，eq \(CB,\s\up7(―→))，eq \(CC1,\s\up7(―→))所在的直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.
(1)依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，
∴|eq \(BN,\s\up7(―→))|＝ eq \r(（1－0）2＋（0－1）2＋（1－0）2) ＝ eq \r(3) ，
∴线段BN的长为 eq \r(3) .
(2)依题意得A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，
∴eq \(BA1,\s\up7(―→))＝(1，－1，2)，eq \(CB1,\s\up7(―→))＝(0，1，2)，
∴eq \(BA1,\s\up7(―→))·eq \(CB1,\s\up7(―→))＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.
又|eq \(BA1,\s\up7(―→))|＝ eq \r(6) ，|eq \(CB1,\s\up7(―→))|＝ eq \r(5) ，
∴cs 〈eq \(BA1,\s\up7(―→))，eq \(CB1,\s\up7(―→))〉＝ eq \f(eq \(BA1,\s\up7(―→))·eq \(CB1,\s\up7(―→)),|eq \(BA1,\s\up7(―→))||eq \(CB1,\s\up7(―→))|) ＝ eq \f(\r(30),10) .
eq \a\vs4\al()
1．利用向量数量积的坐标求两向量夹角的步骤
(1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；
(2)利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标；
(3)利用向量数量积的坐标公式求得向量的夹角．
2．利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤
(1)建立适当的空间直角坐标系；
(2)求出线段端点的坐标；
(3)利用两点间的距离公式求出线段的长．

[跟踪训练]
1．已知A(2，－5，1)，B(2，－2，4)，C(1，－4，1)，则eq \(AC,\s\up7(―→))与eq \(AB,\s\up7(―→))的夹角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选C 设eq \(AC,\s\up7(―→))与eq \(AB,\s\up7(―→))的夹角为θ.由题意得eq \(AC,\s\up7(―→))＝(－1，1，0)，eq \(AB,\s\up7(―→))＝(0，3，3)，∴cs θ＝ eq \f(AC―→·AB―→,|AC―→||AB―→|) ＝ eq \f(3,\r(2)×3\r(2)) ＝ eq \f(1,2) ，∴θ＝60°，故选C.
2.如图，已知边长为6的正方形ABCD和正方形ADEF所在的平面互相垂直，O是BE的中点，eq \(FM,\s\up7(―→))＝ eq \f(1,2) eq \(MA,\s\up7(―→))，则线段OM的长为( )
A．3 eq \r(2) B． eq \r(19)
C．2 eq \r(5) D． eq \r(21)
解析：选B 由题意可建立以D为坐标原点，DA，DC，DE所在直线分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系(图略)，则E(0，0，6)，B(6，6，0)，M(6，0，4)，O(3，3，3)，所以|eq \(OM,\s\up7(―→))|＝ eq \r(（6－3）2＋（0－3）2＋（4－3）2) ＝ eq \r(19) ，即线段OM的长为 eq \r(19) ，故选B.
向量概念的推广
我们已经知道，(1)直线l以及这条直线上一个单位向量e，对于直线l上的任意一个向量a，一定存在唯一的实数x，使得a＝xe，此时称x为向量a在直线l上的坐标，直线上的向量又称为一维向量，用该坐标x即可表示a的方向，又可以求得|a|；
(2)平面向量a可以用两个有序实数对(x，y)表示，即a＝(x，y)，(x，y)称为平面向量a的坐标，此时的向量又称为二维向量，用该坐标可以表示a的方向，也可求|a|；
(3)空间向量a可用三个有序实数组(x，y，z)表示，即a＝(x，y，z)，(x，y，z)称为空间向量a的坐标，此时的向量a称为三维向量，用该向量的坐标可以表示a的方向，也可求|a|.
[问题探究]
向量的概念可由一维推广到二维、三维向量，那么对于现实生活中的实际问题，涉及到需要四个或四个以上的量来表示，此时向量的概念是否可以再进一步推广？
结论：用n元有序实数组(a1，a2，…，an)表示n维向量，它构成了n维空间，a＝(a1，a2，…，an ).
对于n维空间的向量也可以定义加、减、数乘、数量积及模运算．
设a＝(a1，a2，…，an)，b＝(b1，b2，…，bn)，
那么a±b＝(a1±b1，a2±b2，…，an±bn)，
λa＝λ(a1，a2，…，an)＝(λa1，λa2，…，λan)，λ∈R，
a·b＝(a1，a2，…，an)·(b1，b2，…，bn)＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，
|a|＝ eq \r(a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋…＋a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ) ，
n维空间中A(a1，a2，…，an)，B(b1，b2，…，bn)两点间的距离|AB|＝ eq \r(（a1－b1）2＋（a2－b2）2＋…＋（an－bn）2) .
[迁移应用]
某班共有30位同学，则高一期末考试的五门课程成绩可以用30个5维向量表示，即ai＝(ai1，ai2，ai3，ai4，ai5)(i＝1，2，…，30)，其中aij表示成绩，i不同表示不同的同学，j不同表示不同的课程，如何用简单明了的数学表达式表示该班五门课程各自平均成绩．
解：为了得到该班五门课程各自平均成绩，只需将30个向量对应坐标分别加起来，然后再乘以 eq \f(1,30) ，即
即可，
其中 eq \f(1,30) eq \(∑,\s\up6( 30, i＝1))aij为第j门课程的平均成绩．
1．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，则3a＋b＝( )
A．(－2，－3，－2) B．(2，3，2)
C．(－2，3，2) D．(4，3，2)
解析：选B 3a＋b＝3(1，1，0)＋(－1，0，2)＝(3，3，0)＋(－1，0，2)＝(2，3，2).
2．在空间直角坐标系中，点P(1，3，－5)关于平面xOy对称的点的坐标是( )
A．(－1，3，－5) B．(1，3，5)
C．(1，－3，5) D．(－1，－3，5)
解析：选B P(1，3，－5)关于平面xOy对称的点的坐标为(1，3，5).
3．点P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),6)，\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2))) 到原点O的距离是( )
A． eq \f(\r(30),6) B．1
C． eq \f(\r(33),6) D． eq \f(\r(35),6)
解析：选B PO＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),6)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2)) ＝1.
4．已知a＝(1，2，－y)，b＝(x，1，2)且(a＋2b)∥(2a－b)，则x＝________，y＝________．
解析：由题意知，a＋2b＝(2x＋1，4，4－y)，2a－b＝(2－x，3，－2y－2).
∵(a＋2b)∥(2a－b)，∴存在实数λ，使a＋2b＝λ(2a－b)，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋1＝λ（2－x），,4＝3λ，,4－y＝λ（－2y－2），)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝\f(4,3)，,x＝\f(1,2)，,y＝－4.))
答案： eq \f(1,2) －4
5．已知空间三点A(1，1，1)，B(－1，0，4)，C(2，－2，3)，则eq \(AB,\s\up7(―→))与eq \(CA,\s\up7(―→))的夹角θ的大小是________．
解析：由于eq \(AB,\s\up7(―→))＝(－2，－1，3)，eq \(CA,\s\up7(―→))＝(－1，3，－2)，
所以eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(CA,\s\up7(―→))＝(－2)×(－1)＋(－1)×3＋3×(－2)＝－7，|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝ eq \r(14) ，|eq \(CA,\s\up7(―→))|＝ eq \r(14) ，
所以cs θ＝cs 〈eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(CA,\s\up7(―→))〉＝ eq \f(－7,\r(14)×\r(14)) ＝－ eq \f(1,2) ，则θ＝120°.
答案：120°
新课程标准解读
核心素养
1.掌握空间向量的正交分解及坐标表示
直观想象
2.掌握空间向量线性运算的坐标表示
数学运算
3.掌握空间向量数量积的坐标表示，并利用数量积判断两向量的共线与垂直
数学运算、直观想象
空间向量的坐标运算
空间中点的坐标确定及应用
空间向量的平行与垂直
利用坐标运算解决空间向量的夹角、距离