高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.4 二面角学案

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二面角新课程标准解读核心素养1.理解二面角的定义直观想象2.能用向量方法解决二面角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用数学运算  同学们可能经常谈论某某同学是白羊座的，某某同学是双子座的，可是你知道十二星座的由来吗？我们知道，地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”，黄道面与地球赤道面交角(二面角的平面角)约为23°26′，它与天球相交的大圆为“黄道”，黄道及其附近的南北宽8°以内的区域为黄道带，黄道带内有十二个星座，称为“黄道十二宫”，从春分(节气)点起，每30°便是一宫，并冠以星座名，如白羊座、金牛座、双子座等等，这便是星座的由来……[问题]　你知道二面角是如何定义的吗？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　二面角1．定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，如图．2．范围：我们约定，二面角及其平面角的大小不小于0°，不大于180°，而且，两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的四个二面角中，不小于0°且不大于90°的角的大小，平面角是直角的二面角称为直二面角．如何找二面角的平面角？提示：定义法在棱上取一点，分别在两平面内过此点引两条射线与棱垂直，这两条射线所成的角就是二面角的平面角垂面法已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角垂线法过二面角的一个面内异于棱上的A点向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则∠AOB为二面角的平面角或其补角，如图，∠AOB为二面角α­l­β的平面角正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则二面角P­CD­A的大小为________，平面PAD与平面PBC所成的角为________．答案：45°　45°知识点二　空间向量与二面角　如果n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ，则θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉，如图．特别地sin θ＝sin_〈n1，n2〉．若二面角α­l­β的两个半平面的法向量分别为n1，n2，那么二面角的平面角与两法向量夹角〈n1，n2〉一定相等吗？提示：不一定．可能相等，也可能互补．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)二面角α­l­β的大小为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则θ＝〈n1，n2〉．(　　)(2)平面α与平面β的所成角为θ，则θ＝α­l­β.(　　)答案：(1)×　(2)×2．在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1，3)，(2，2，4)，则这个二面角的余弦值为(　　)A．　　　　　　　　  B．－C．     D．或－解析：选D　∵＝，∴这个二面角的余弦值为或－.3．如图，OA，OB，OC两两垂直，且OA＝OB＝OC，则二面角A­BC­O的余弦值为________．答案：  定义法求二面角[例1]　(链接教科书第48页例1，第49页例2)(1)已知二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为(　　)A．150°　　　　　　　　　  B．45°C．120°     D．60°(2)如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在平面，C是圆周上不同于A，B两点的任意一点，且AB＝2，PA＝BC＝，则二面角A­BC­P的大小为________．[解析]　(1)如图，AC⊥AB，BD⊥AB，过A在平面ABD内作AE∥BD，过D作DE∥AB，连接CE，所以DE＝AB且DE⊥平面AEC，∠CAE即二面角的平面角．在Rt△DEC中，CD＝2，DE＝4，则CE＝2，在△ACE中，由余弦定理可得cos ∠CAE＝＝，所以∠CAE＝60°，即所求二面角的大小为60°.(2)因为AB为⊙O的直径，所以AC⊥BC，又因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，因为AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，所以∠PCA为二面角A­BC­P的平面角．因为∠ACB＝90°，AB＝2，PA＝BC＝，所以AC＝1，所以在Rt△PAC中，tan ∠PCA＝＝.所以∠PCA＝60°.即所求二面角的大小为60°.[答案]　(1)D　(2)60° 求二面角大小的步骤(一作二证三求)　　　　 [跟踪训练]如图，空间四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝a，对角线AC＝a，BD＝a，求二面角A­BD­C的大小．解：如图，取BD的中点O，分别连接AO，CO，∵AB＝AD，BC＝CD，∴AO⊥BD，CO⊥BD.∴∠AOC为二面角A­BD­C的平面角．∵AB＝AD＝a，BD＝a，∴AO＝a.∵BC＝CD＝a，BD＝a，∴OC＝a.在△AOC中，OC＝a，OA＝a，AC＝a，OA2＋OC2＝AC2.∴∠AOC＝90°.即二面角A­BD­C的大小为90°.向量法求二面角[例2]　(2020·全国卷Ⅰ)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE＝AD.△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO＝DO.(1)证明：PA⊥平面PBC；(2)求二面角B­PC­E的余弦值．[解]　(1)证明：设DO＝a，由题意可得PO＝a，AO＝a，AB＝a，PA＝PB＝PC＝a.因此PA2＋PB2＝AB2，从而PA⊥PB.又PA2＋PC2＝AC2，故PA⊥PC.又PB∩PC＝P，PB，PC⊂平面PBC，所以PA⊥平面PBC.(2)以O为坐标原点，的方向为y轴正方向，||为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由题设可得E(0，1，0)，A(0，－1，0)，C，P.所以＝，＝.设m＝(x，y，z)是平面PCE的法向量，则即可取m＝.由(1)知＝是平面PCB的一个法向量，记n＝，则cos 〈n，m〉＝＝.所以二面角B­PC­E的余弦值为.向量法求二面角的三个步骤(1)建立适当的坐标系，写出相应点的坐标；(2)求出两个半平面的法向量n1，n2；(3)设两平面的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|.[注意]　(1)若要求的是二面角，则根据图形判断该二面角是钝角还是锐角，从而用法向量求解；(2)要注意两平面所成的角与二面角的区别．　　　　  [跟踪训练]在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设E，F分别是棱BC，CD的中点，求平面AB1E与平面AD1F所成的角的大小．解：以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体的棱长为1，则A(0，0，0)，B1(1，0，1)，E，D1(0，1，1)，F，＝，＝(1，0，1)，＝，＝(0，1，1).设平面AB1E的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则即令y1＝2，则x1＝－1，z1＝1，所以n1＝(－1，2，1).设平面AD1F的法向量为n2＝(x2，y2，z2).则即令x2＝2，则y2＝－1，z2＝1.所以n2＝(2，－1，1).所以平面AB1E与平面AD1F所成的角的余弦值为＝＝.所以平面AB1E与平面AD1F所成的角为60°.空间中的翻折与探索性问题[例3]　如图①，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，CD＝2AB＝2BC＝4，过A点作AE⊥CD，垂足为E，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC.取AD的中点F，连接BF，CF，EF，如图②.(1)求证：BC⊥平面DEC；(2)求二面角C­BF­E的余弦值．[解]　(1)证明：∵DE⊥EC，DE⊥AE，AE∩EC＝E，∴DE⊥平面ABCE，又∵BC⊂平面ABCE，∴DE⊥BC，又∵BC⊥EC，DE∩EC＝E，∴BC⊥平面DEC.(2)如图，以点E为坐标原点，分别以EA，EC，ED所在直线为x，y，z轴建立空间坐标系Exyz，∴E(0，0，0)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，D(0，0，2)，A(2，0，0)，F(1，0，1)，设平面EFB的法向量n1＝(x1，y1，z1)，由＝(1，0，1)，＝(2，2，0)，∴∴取x1＝1，得平面EFB的一个法向量n1＝(1，－1，－1)，设平面BCF的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，由＝(1，－2，1)，＝(2，0，0)，∴取y2＝1，得平面BCF的一个法向量n2＝(0，1，2)，设二面角C­BF­E的大小为α，由图可知，α为锐角，则cos α＝＝＝.1．与空间角有关的翻折问题的解法要找准翻折前后的图形中不变的量及变化的量，再结合向量知识求解相关问题．2．关于空间角的探索问题的处理思路利用空间向量解决空间角中的探索问题，通常不需要复杂的几何作图、论证、推理，只需先假设结论成立，设出空间的坐标，通过向量的坐标运算进行推断，把是否存在问题转化为点的坐标是否有解的问题来处理．　　　　 [跟踪训练]如图，已知三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M，N分别是CC1，BC的中点，点P在直线A1B1上，且A1P＝λA1B1.(1)证明：无论λ取何值，总有AM⊥PN；(2)是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30°？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由．解：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，M，N.∵＝λ＝λ(1，0，0)＝(λ，0，0)，∴P(λ，0，1)，∴＝，＝.(1)证明：∵＝，∴·＝0＋－＝0，∴⊥，∴无论λ取何值，总有AM⊥PN.(2)假设存在点P满足题意，设n＝(x，y，z)是平面PMN的法向量，由得令x＝3，得y＝1＋2λ，z＝2－2λ，∴n＝(3，1＋2λ，2－2λ)为平面PMN的一个法向量．易知平面ABC的一个法向量为m＝(0，0，1)，∴|cos 〈m，n〉|＝＝，化简得4λ2＋10λ＋13＝0.(*)∵Δ＝100－4×4×13＝－108＜0，∴方程(*)无解，∴不存在点P使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30°. 1．三棱锥A­BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若〈n1，n2〉＝，则二面角A­BD­C的大小为(　　)A．　　　　　　　　  B．C．或     D．或解析：选C　当二面角A­BD­C为锐角时，它等于〈n1，n2〉＝.当二面角A­BD­C为钝角时，它等于π－〈n1，n2〉＝π－＝. 2.如图，已知△ABC和△BCD均为边长为a的等边三角形，且AD＝a，则二面角A­BC­D的大小为(　　)A．30°     B．45°C．60°     D．90°解析：选C　如图，取BC的中点为E，连接AE，DE，由题意得AE⊥BC，DE⊥BC，且AE＝DE＝a，又AD＝a，∴∠AED＝60°，即二面角A­BC­D的大小为60°.3．如图所示，在正四棱锥P­ABCD中，若△PAC的面积与正四棱锥的侧面面积之和的比为∶8，则侧面与底面所成的二面角为(　　)A．     B．C．     D．解析：选D　设正四棱锥的底面边长为a，侧面与底面所成的二面角为θ，高为h，斜高为h′，则＝，∴＝，∴sin θ＝，即θ＝.4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为________．解析：建系如图，设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，E，∴＝(1，0，1)，＝.设平面A1ED的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0，且n·＝0.即令x＝1，得y＝－，z＝－1.∴n＝，又平面ABCD的一个法向量为＝(0，0，1).则cos 〈n，〉＝＝＝－.∴平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为.答案：5．三棱锥P­ABC，PA＝PB＝PC＝，AB＝10，BC＝8，CA＝6，求二面角P­AC­B的大小．解：如图在三棱锥P­ABC中，PA＝PB＝PC＝，AB＝10，BC＝8，CA＝6，∵AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形，∴P在底△ABC的射影D是△ABC的外心，即斜边AB的中点D是P在底△ABC的射影，作DE⊥AC，交AC于点E，连接PE，则∠PED是所求的二面角的平面角，由题意得DE＝4，PE＝8，cos ∠PED＝＝，∴∠PED＝60°，∴二面角P­AC­B的大小为60°.