高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.5 空间中的距离导学案

空间中的距离

在生活中可以看到很多道路上都有限高杆．主要的作用就是为了防止过高的车辆通过，以保障车辆和路上设施的安全．比如限高路段内有不能移动的重要电缆、管道，或者涵洞，或者附近有高速路桥、铁路桥等．图中所示，限高3.1米.

[问题]　(1)同学们，你知道3.1 m指的是哪段距离吗？

(2)数学中的距离是如何定义的呢？

知识点　空间距离及向量求法

1．空间中两点之间的距离

空间中两点之间的距离指的是这两个点连线的线段长．

2．点到直线的距离

给定空间中一条直线l及l外一点A，因为l与A能确定一个平面，所以过A可以作直线l的一条垂线段，垂线段的长称为点A到直线l的距离．

3．点到平面的距离

(1)给定空间中一个平面α及α外一点A，过A可以作平面α的一条垂线段，垂线段的长称为点A到平面α的距离；

(2)一般地，若A是平面α外一点，B是平面α内一点，n是平面α的一个法向量，则点A到平面α的距离为d＝.

4．相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离

(1)当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离，如果直线l与平面α平行，n是平面α的一个法向量，A，B分别是l上和α内的点，则直线l与平面α之间的距离为d＝；

(2)当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离．

如果平面α与平面β平行，n是平面β的一个法向量，A和B分别是平面α和平面β内的点，则平面α和平面β之间的距离为d＝．

点到平面的距离是这个点与平面内点的最短连线的长度．

1．在空间中怎样求两点之间的距离？

提示：利用向量法转化为求向量的模．

2．线面距、面面距与点面距有什么关系？

提示：

1．设A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|等于(　　)

A．　　　　　　　　  B．

C．     D．

解析：选C　∵M点坐标为，∴|MC|＝＝.

2．在四面体P­ABC中，PA，PB，PC两两垂直，M是平面ABC内一点，且点M到其他三个平面的距离分别是2，3，6，则点M到顶点P的距离是(　　)

A．7     B．8

C．9     D．10

解析：选A　以P为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，由题意，得|MP|＝＝7.

3．已知平面α的一个法向量n＝(1，0，1)，点A(－1，1，0)在α内，则平面外点P(－1，1，1)到平面α的距离为________．

解析：＝(0，0，1)，n＝(1，0，1)，d＝＝＝.

答案：

[例1]　如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD，ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0<a<).

(1)求MN的长；

(2)a为何值时，MN的长最小？

[解]　(1)建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(1，0，0)，F(1，1，0)，

C(0，0，1).

因为CM＝BN＝a(0<a<)，且四边形ABCD，ABEF为正方形，

所以M，N，

所以＝，

所以||＝(0<a<).

(2)由(1)知MN＝，所以，当a＝时，MN＝.

即当a＝时，MN的长最小，最小值为.

计算两点间的距离的两种方法

(1)利用|a|2＝a·a，通过向量运算求|a|，如求A，B两点间的距离，一般用||＝＝求解；

(2)用坐标法求向量的长度(或两点间距离)，此法适用于求解的图形适宜建立空间直角坐标系时．　

[跟踪训练]

如图所示，在▱ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，

PA⊥平面ABCD，PA＝6，求线段PC的长．

解：∵＝＋＋，

∴||2＝(＋＋)2

＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋32＋2||||cos 120°＝61－12＝49.∴||＝7，即PC＝7.

[例2]　已知直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离．

[解]　以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．

则A1(4，0，1)，C1(0，3，1)，

所以＝(－4，3，0).

设E满足＝λ，且BE⊥A1C1，

则＝＋＝(4，0，1)＋λ(－4，3，0)＝(4－4λ，3λ，1)，又⊥，

∴(4－4λ，3λ，1)·(－4，3，0)＝0，∴λ＝.

∴＝，

∴||＝＝，

∴B到直线A1C1的距离为.

[母题探究]

1．(变设问)条件不变，试求点B到AC1的距离．

解：＝(－4，3，1)，设M满足＝λ且·＝0，则＝＋＝(4，0，0)＋λ(－4，3，1)＝(4－4λ，3λ，λ).

又·＝0，∴(4－4λ，3λ，λ)·(－4，3，1)＝0，

∴λ＝，

∴＝＝，

∴||＝＝，

∴B到AC1的距离为.

2．(变条件)若将本例中的条件改为“正三棱柱ABC­A1B1C1且所有棱长均为2”，如何求B到A1C1的距离？

解：以B为原点，分别以BA所在直线，过B垂直于BA的直线，BB1所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则B(0，0，0)，A1(2，0，2)，C1(1，，2)，＝(2，0，2)，

所以A1C1的方向向量＝(－1，，0)，而＝(1，，2)，

设E满足＝λ且BE⊥A1C1，

＝＋＝(2，0，2)＋λ(－1，，0)＝(2－λ，λ，2)，

又⊥，∴(2－λ，λ，2)·(－1，，0)＝0，

∴λ－2＋3λ＝0，∴λ＝，∴＝.

∴||＝＝，

∴B到A1C1的距离为.

求点M到直线AB的距离的方法与步骤

(1)建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，在已知直线AB上取一点E，点E满足两个条件：①＝λ；②ME⊥AB；

(2)利用(1)中的两个等量关系求出λ的值，进而求出点E的坐标，求出向量|ME―→|的模即为M点到AB的距离．

[跟踪训练]

如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD­A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求点B到直线A′C的距离．

解：∵AB＝1，BC＝2，AA′＝3，

∴A′(0，0，3)，C(1，2，0)，B(1，0，0)，

∴直线A′C的方向向量＝(1，2，－3).

又∵＝(0，2，0)，

∴在上的射影长为＝＝.

∴点B到直线A′C的距离d＝＝＝.

[例3]　(链接教科书第56页例3)已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．求点D到平面PEF的距离．

[解]　建立以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示．

则D(0，0，0)，P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，F，

∴＝，＝，

＝.

设n＝(x，y，z)是平面PEF的法向量，

则n·＝x＋y－z＝0，①

n·＝x＋y－z＝0，②

①－②并整理得x－y＝0.

令x＝y＝1，则z＝.

∴n＝.

∴点D到平面PEF的距离d＝＝＝＝.

[母题探究]

(变设问)本例条件不变，求点D到直线PE的距离．

解：由本例知，＝(0，0，－1)，＝.

取a＝＝(0，0，－1)，u＝＝，则a2＝1，a·u＝.

所以点D到直线PE的距离为＝＝.

求点到平面的距离的四步骤

[跟踪训练]

正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E、F、G分别是C1C、A1D1、AB的中点，求点A到平面EFG的距离．

解：如图，建立空间直角坐标系D­xyz，则A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)，G(2，1，0)，所以＝(1，－2，1)，＝(2，－1，－1)，＝(0，－1，0).

设n＝(x，y，z)是平面EFG的法向量，则由n⊥，n⊥，得x－2y＋z＝0，2x－y－z＝0，从而有x＝y＝z，所以可取n＝(1，1，1).

在n上射影的长度为＝＝.

即点A到平面EFG的距离为.

[例4]　如图，矩形ADFE和梯形ABCD所在平面互相垂直，AB∥CD，∠ABC＝∠ADB＝90°，CD＝1，BC＝2，DF＝1.

(1)求证：BE∥平面DCF；

(2)求BE到平面DCF的距离．

[解]　(1)证明：∵四边形ADFE为矩形，

∴AE∥DF.又∵梯形ABCD中AB∥CD，

AE∩AB＝A，DF∩DC＝D，

AE，AB⊂平面ABE，

DF，DC⊂平面DFC，

∴平面ABE∥平面DFC，

∵BE⊂平面ABE，∴BE∥平面DCF.

(2)如图，以D为原点，建立空间直角坐标系．

∵AB∥CD，∠ABC＝∠ADB＝90°，

则△ADB∽△BCD⇒＝，

∵CD＝1，BC＝2.∴BD＝，

∴AD＝2，AB＝5，∴F(0，0，1)，

D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，，0)，C，＝(0，－，1)，＝，＝.

设平面DCF的法向量为n＝(x，y，z)，

则∴

令x＝1，y＝2，z＝0.∴n＝.

d＝＝2.∴B到平面DCF的距离等于2，即为直线BE到平面DCF的距离．

线面距、面面距实质上都是求点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行．　　　　

[跟踪训练]

正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离．

解：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1，0，1)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，

＝(0，1，－1)，＝(－1，0，－1)，＝(－1，0，0).

设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)，

则⇒

令z＝1，得y＝1，x＝－1，∴n＝(－1，1，1).

∴点D1到平面A1BD的距离d＝＝＝.

∵平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离为.

1.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，O是上底面A1B1C1D1的中心，则O点到平面ABC1D1的距离为(　　)

A．　　　　　　  B．

C．     D．

解析：选B　因为O为A1C1的中点，所以O点到平面ABC1D1的距离等于A1点到该平面距离的.又A1点到平面ABC1D1的距离为，故所求距离为.

2．若正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为(　　)

A．     B．1

C．     D．

解析：选D　如图，A1C1∥平面ABCD，所以A1C1到平面ABCD的距离等于点A1到平面ABCD的距离，由AB1与平面ABCD所成的角是60°，AB＝1.∴BB1＝.即点A1到平面ABCD的距离为.

3．已知直线l经过点A(2，3，1)，且向量n＝(1，0，－1)所在直线与l垂直，则点P(4，3，2)到l的距离为________．

解析：因为＝(－2，0，－1)，又n与l垂直，

所以点P到l的距离为＝＝.

答案：

4．若三棱锥P­ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，求点P到平面ABC的距离．

解：分别以PA，PB，PC所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1).

可以求得平面ABC的一个法向量为n＝(1，1，1)，

则d＝＝.