高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.2.3 两条直线的位置关系学案

两条直线的位置关系

如图所示是人们平常所说的飞机拉烟……

[问题]　每一道拉烟之间有怎样的位置关系？

知识点　两条直线的位置关系

1．直线斜截式判定法

当两条直线都没有斜率时，它们互相平行或重合；当两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，它们互相垂直．　　

2．直线一般式判定法

1．l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是什么？

提示：(1)两条直线的斜率都存在．(2)l1与l2不重合．

2．l1⊥l2⇔k1·k2＝－1成立的前提条件是什么？

提示：(1)两条直线的斜率都存在．(2)k1≠0且k2≠0.

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行．(　　)

(2)若l1∥l2，则k1＝k2.(　　)

(3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直．(　　)

(4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2．直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是(　　)

A．平行　　　　　　　　  B．重合

C．相交但不垂直     D．垂直

解析：选D　设l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1·k2＝－1.

3．直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是(　　)

A．(4，1)　　　　　　　  B．(1，4)

C．     D．

解析：选C　由方程组得即直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是.

4．l1过点A(m，1)，B(－3，4)，l2过点C(0，2)，D(1，1)，且l1∥l2，则m＝________．

解析：∵l1∥l2，且k2＝＝－1，∴k1＝＝－1，

∴m＝0.

答案：0

[例1]　已知两直线l1：x＋my＋6＝0；l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，直线l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合．

[解]　∵直线l1：x＋my＋6＝0，直线l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，

∴A1＝1，B1＝m，C1＝6，A2＝m－2，B2＝3，C2＝2m.

(1)若l1与l2相交，则A1B2－A2B1≠0，即1×3－m(m－2)≠0，

即m2－2m－3≠0，即(m－3)(m＋1)≠0，即m≠3，且m≠－1.

故当m≠3，且m≠－1时，直线l1与l2相交．

(2)若l1∥l2，则有

即即

即

∴m＝－1.

故当m＝－1时，直线l1与l2平行．

(3)若l1与l2重合，则有

即

∴∴m＝3.

故当m＝3时，直线l1与l2重合．

根据两直线的位置关系确定参数取值时，因为斜率是否存在不清楚，若使用斜率判定，两直线位置关系需分类讨论，但使用直线方程一般式的系数来判定两直线的位置关系不必讨论．因此使用直线方程一般式系数来判定两直线位置关系更简便易行．　　　　

[跟踪训练]

l1：9x－y＋a＋2＝0；l2：ax＋(a－2)y＋1＝0.求当a为何值时，直线l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合．

解：由题意：A1＝9，B1＝－1，C1＝a＋2，A2＝a，B2＝a－2，C2＝1，

(1)若l1与l2相交，则A1B2－A2B1≠0，

即9(a－2)－a×(－1)≠0，∴a≠.

故当a≠时，直线l1与l2相交．

(2)若l1∥l2，则有

即∴

∴当a＝时，l1与l2平行．

(3)若l1与l2重合，则有

由(2)知不成立，∴直线l1与l2不重合．

[例2]　(1)l1经过点A(3，2)，B(3，－1)，l2经过点M(1，1)，N(2，1)，判断l1与l2是否垂直；

(2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，3)，直线l2经过点C(2，3)，D(－1，a－2)，若l1⊥l2，求a的值．

[解]　(1)直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，所以l1⊥l2.

(2)由题意，知l2的斜率k2一定存在，l1的斜率可能不存在．

当l1的斜率不存在时，3＝a－2，即a＝5，此时k2＝0，

则l1⊥l2，满足题意．

当l1的斜率k1存在时，a≠5，

由斜率公式，得

k1＝＝，k2＝＝.

由l1⊥l2，知k1k2＝－1，

即×＝－1，解得a＝0.

综上所述，a的值为0或5.

利用斜率公式判定两直线垂直的方法

(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；再看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步；

(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式；

(3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．

[注意]　若已知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况．　

[跟踪训练]

分别判断下列两直线是否垂直：

(1)直线l1的斜率为－10，直线l2经过点A(10，2)，B(20，3)；

(2)直线l1经过A(3，4)，B(3，7)，直线l2经过点P(－2，4)，Q(2，4)；

(3)直线l1的斜率为，直线l2与直线2x＋3y＋1＝0平行.

解：(1)直线l1的斜率为k1＝－10，直线l2的斜率为k2＝＝，k1·k2＝－10×＝－1.所以直线l1与l2垂直．

(2)直线l1的斜率不存在，故l1与x轴垂直，直线l2的斜率为0，故直线l2与x轴平行，所以l1与l2垂直．

(3)直线l1的斜率为k1＝，直线l2的斜率为k2＝－，k1·k2＝－≠－1，所以直线l1与l2不垂直．

[例3]　如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0，0)，P(1，t)，Q(1－2t，2＋t)，R(－2t，2)，其中t＞0.试判断四边形OPQR的形状．

[解]　由斜率公式得kOP＝＝t，

kQR＝＝＝t，kOR＝＝－，

kPQ＝＝＝－.所以kOP＝kQR，kOR＝kPQ，从而OP∥QR，OR∥PQ.

所以四边形OPQR为平行四边形．

又kOP·kOR＝－1，所以OP⊥OR，

故四边形OPQR为矩形．

[母题探究]

1．(变条件)将本例中的四个点，改为“A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)，顺次连接A，B，C，D四点，试判断四边形ABCD的形状．”

解：由题意A，B，C，D四点在平面直角坐标系内的位置如图，

由斜率公式可得kAB＝＝，kCD＝＝，kAD＝＝－3，kBC＝＝－.

所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，所以AB∥CD，由kAD≠kBC，所以AD与BC不平行．

又因为kAB·kAD＝×(－3)＝－1，

所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形．

2．(变条件、变设问)将本例改为“已知矩形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0，0)，P(1，t)，Q(1－2t，2＋t)，试求顶点R的坐标．”

解：因为四边形OPQR为矩形，所以OQ的中点也是PR的中点，设R(x，y)，

则由中点坐标公式知

解得所以R点的坐标是(－2t，2).

1．利用两条直线平行或垂直判定几何图形的形状的步骤

2．判定几何图形形状的注意点

(1)在顶点确定的前提下，判定几何图形的形状时，要先画图，猜测其形状，以明确证明的目标；

(2)证明两直线平行时，仅仅有k1＝k2是不够的，还要注意排除两直线重合的情况；

(3)判断四边形形状，要依据四边形的特点，讨论可能出现的其他情况．　　　　

[跟踪训练]

已知A(1，0)，B(3，2)，C(0，4)，点D满足AB⊥CD，且AD∥BC，则点D的坐标为________．

解析：设点D的坐标为(x，y)，由已知得，直线AB的斜率kAB＝1，

直线CD的斜率kCD＝，直线CB的斜率kCB＝－，直线AD的斜率kAD＝，

由AB⊥CD，且AD∥BC，得

解得

所以D的坐标为(10，－6).

答案：(10，－6)

1．直线x＋ay－7＝0与直线(a＋1)x＋2y－14＝0平行，则a的值是(　　)

A．1　　　　　　　　  B．－2

C．1或－2     D．－1或2

解析：选B　由已知，得a(a＋1)－2＝0，

解得a＝－2或a＝1.当a＝1时，两直线重合，∴a＝－2.

2.如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，则l2的斜率为(　　)

A．－     B．

C．－     D．

解析：选C　∵k1＝tan 30°＝，

又l1⊥l2，∴k1·k2＝－1，

∴k2＝－.

3．已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为(　　)

A．－8     B．0

C．2     D．10

解析：选A　由已知，得＝－2，∴m＝－8.

4．已知直线l1的倾斜角为45°，直线l2的斜率为k＝m2－3，若l1∥l2，则m的值为________．

解析：由题意知m2－3＝tan 45°，解得m＝±2.

答案：±2

5．当m为何值时，过两点A(1，1)，B(2m2＋1，m－2)的直线：

(1)倾斜角为135°；

(2)与过两点C(3，2)，D(0，－7)的直线垂直；

(3)与过两点E(2，－3)，F(－4，9)的直线平行．

解：(1)由kAB＝＝tan 135°＝－1，

解得m＝－或m＝1.

(2)由kAB＝，且kCD＝＝3.

则＝－，解得m＝或m＝－3.

(3)令＝＝－2，解得m＝或m＝－1.