高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.2 直线及其方程2.2.4 点到直线的距离导学案

点到直线的距离

在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知，从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短．将铁路看作一条直线l，仓库看作点P.

[问题]　(1)平面直角坐标系中，若P(x0，y0)，则P到x轴，y轴的距离分别是多少？

(2)若已知直线l的方程和点P的坐标(x0，y0)，如何求P到直线l的距离？

知识点　点到直线的距离与两条平行线间的距离

1．已知点P(x0，y0)及直线l上任意一点M，那么点P到直线l的距离|PQ|等于两点间距离|PM|的最小值．

2．点到直线距离的向量表示

如图，设n为过点P且垂直于l的单位向量，就是在n上的投影向量，点P到直线l的距离||＝|·n|.　　　

1．在使用点到直线的距离公式时，对直线方程的形式有何要求？

提示：直线方程为一般式．

2．在使用两平行线间距离公式时，对直线方程的形式有何要求？

提示：两直线的方程为一般式且x，y的系数分别相同．

1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为(　　)

A．1　　　　　　　　  B．

C．2     D．

解析：选D　d＝＝.

2．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为(　　)

A．1     B．

C．     D．2

解析：选B　由题意知l1，l2平行，则l1∥l2之间两直线的距离为＝.

[例1]　(链接教科书第94页例1)已知点A(2，1)，B(3，4)，C(－2，－1)，求△ABC的面积．

[解]　设AB边上的高为h，则S△ABC＝|AB|·h.

|AB|＝＝.

AB边上的高h就是点C到直线AB的距离．

AB边所在直线的方程为＝，

即3x－y－5＝0.

点C(－2，－1)到直线3x－y－5＝0的距离h＝＝，所以S△ABC＝|AB|·h＝××＝5.

应用点到直线的距离公式应注意的三个问题

(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式；

(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用；

(3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．　　

 [跟踪训练]

1．已知点(a，2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于(　　)

A．　　　　　　　　  B．－1

C．＋1     D．2－

解析：选B　由点到直线的距离公式，得1＝，即|a＋1|＝.∵a＞0，∴a＝－1，故选B.

2．(2020·全国卷Ⅲ)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为(　　)

A．1     B．

C．     D．2

解析：选B　法一：由点到直线的距离公式知点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离d＝＝＝＝.当k＝0时，d＝1；当k≠0时，d＝＝，要使d最大，需k>0且k＋最小，∴当k＝1时，dmax＝，故选B.

法二：记点A(0，－1)，直线y＝k(x＋1)恒过点B(－1，0)，当AB垂直于直线y＝k(x＋1)时，点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，且最大值为|AB|＝，故选B.

[例2]　(链接教科书第94页例2)求与两条平行直线l1：2x－3y＋4＝0与l2：2x－3y－2＝0距离相等的直线l的方程．

[解]　设所求直线l的方程为2x－3y＋C＝0.

由直线l与两条平行线的距离相等，

得＝，即|C－4|＝|C＋2|，

解得C＝1.

故直线l的方程为2x－3y＋1＝0.

由两平行直线间的距离求直线方程通常有两种思路：(1)设出所求直线方程后，在其中一条直线上取一点，利用点到直线的距离公式求解；(2)直接运用两平行直线间的距离公式求解．　　　

[跟踪训练]

求与直线2x－y－1＝0平行，且与直线2x－y－1＝0的距离为2的直线方程．

解：法一：由已知，可设所求的直线方程为2x－y＋C＝0(C≠－1)，则它到直线2x－y－1＝0的距离d＝＝＝2，

∴|C＋1|＝2，C＝±2－1，

∴所求直线的方程为2x－y＋2－1＝0或2x－y－2－1＝0.

法二：设所求直线上任意一点P(x，y)，

则点P到2x－y－1＝0的距离为d＝＝＝2，

∴2x－y－1＝±2，

∴所求直线的方程为2x－y＋2－1＝0或2x－y－2－1＝0.

[例3]　已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其它三边所在直线的方程．

[解]　设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边所在的直线方程为l1：x＋3y＋c＝0(c≠－5).由得正方形的中心坐标为P(－1，0)，

由点P到两直线l，l1的距离相等，

得＝，得c＝7或c＝－5(舍去).

∴l1：x＋3y＋7＝0.

又正方形另两边所在直线与l垂直，

∴设另两边所在直线的方程分别为3x－y＋a＝0，3x－y＋b＝0.

∵正方形中心到四条边的距离相等，

∴＝，

得a＝9或a＝－3，

∴另两条边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，3x－y－3＝0.

∴另三边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0，3x－y－3＝0.

利用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式解综合题时，需特别注意直线方程要化为一般式，同时要注意构造法、数形结合法的应用，本节中距离公式的形式为一些代数问题提供了几何背景，可构造几何图形，借助几何图形的直观性去解决问题．　　

[跟踪训练]

1．已知P，Q分别是直线3x＋4y－5＝0与6x＋8y＋5＝0上的动点，则|PQ|的最小值为(　　)

A．3     B．

C．     D．

解析：选B　由于所给的两条直线平行，所以|PQ|的最小值就是这两条平行直线间的距离．由两条平行直线间的距离公式，得d＝＝，即|PQ|的最小值为.

2．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上，则AB的中点M到原点的距离的最小值为________．

解析：依题意，知l1∥l2，故点M所在的直线平行于l1和l2，可设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0(m≠－7且m≠－5)，根据平行线间的距离公式，得＝⇒|m＋7|＝|m＋5|⇒m＝－6，即l：x＋y－6＝0，根据点到直线的距离公式，得点M到原点的距离的最小值为＝3.

答案：3

1．点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离等于(　　)

A．7     B．5

C．3     D．2

解析：选A　直线x＋2＝0，即x＝－2为平行于y轴的直线，所以点(5，－3)到x＝－2的距离d＝5－(－2)＝7.

2．两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等于(　　)

A．     B．

C．     D．

解析：选C　l1的方程可化为9x＋12y－6＝0，

由平行线间的距离公式得d＝＝.

3．两平行直线3x＋4y＋5＝0与6x＋ay＋30＝0间的距离为d，则a＋d＝________．

解析：由两直线平行知，a＝8，d＝＝2，∴a＋d＝10.

答案：10

4．已知两点A(3，2)和B(－1，4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为________．

解析：由题意知直线mx＋y＋3＝0与AB平行或过AB的中点，则有－m＝或m×＋＋3＝0，

∴m＝或m＝－6.

答案：或－6

5．已知直线l经过点P(－2，5)且斜率为－.

(1)求直线l的方程；

(2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．

解：(1)由点斜式方程得，y－5＝－(x＋2)，

∴3x＋4y－14＝0.

(2)设m的方程为3x＋4y＋c＝0(c≠－14)，则由平行直线间的距离公式得＝3，∴c＝1或－29.

∴直线m的方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.