高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.3 圆及其方程2.3.1 圆的标准方程导学案

圆的标准方程

“南昌之星”摩天轮是目前世界上第二高的摩天轮，它位于江西省南昌市红谷滩新区红角洲赣江边上的赣江市民公园，是南昌市标志性建筑．该摩天轮总高度为160米，转盘直径为153米，比位于英国泰晤士河边的135米高的“伦敦之眼”摩天轮还要高．

[问题]　(1)游客在摩天轮转动过程中离摩天轮中心的距离一样吗？

(2)若以摩天轮中心所在位置为原点，建立平面直角坐标系，游客在任一点(x，y)的坐标满足什么关系？

知识点　圆的标准方程

1．圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．

2．确定圆的要素是圆心和半径，如图所示．

3．圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2．

当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆．

　若点P(x0，y0)在圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，需要满足(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，那么P在圆C内和圆C外又满足怎样的关系？

提示：若点P在圆C内，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.若点P在圆C外，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．(　　)

(2)若圆的标准方程为(x＋m)2＋(y＋n)2＝a2(a≠0)，此圆的半径一定是a.(　　)

答案：(1)×　(2)×

2．已知圆的方程：(x－2)2＋(y＋8)2＝9，则圆心坐标________，半径为________．

答案：(2，－8)　3

3．经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是________________．

解析：圆心是(－2，0)，半径是2，所以圆的方程是(x＋2)2＋y2＝4.

答案：(x＋2)2＋y2＝4

[例1]　(链接教科书第99页例1)(1)求圆心为点C(－2，1)，且过点A(2，－2)的圆的方程；

(2)求经过点P(1，1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的方程．

[解]　(1)将圆心(－2，1)代入圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，

有(x＋2)2＋(y－1)2＝r2，再将点A(2，－2)代入方程有r2＝(2＋2)2＋(－2－1)2＝52.

从而圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝25.

(2)法一(待定系数法)：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，

则有解得

∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.

法二(几何法)：由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0.

∵弦的垂直平分线过圆心，

∴由得

即圆心坐标为(4，－3)，半径r＝＝5.

∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.

求圆的标准方程的方法

确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷.　　　　

[跟踪训练]

1．圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)，则圆的标准方程为________________．

解析：设圆心为C(0，b)，

则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，

∴b＝0或b＝－8，

∴圆心为(0，0)或(0，－8)，

又r＝5，

∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.

答案：x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25

2．已知圆心为C的圆经过点A(1，1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上，求圆心为C的圆的标准方程．

解：因为A(1，1)，B(2，－2)，所以线段AB的中点D的坐标为，直线AB的斜率kAB＝＝－3，

因此线段AB的垂直平分线l′的方程是

y＋＝，

即x－3y－3＝0.

圆心C的坐标是方程组的解．

解此方程组，得

所以圆心C的坐标是(－3，－2).

圆心为C的圆的半径长r＝|AC|＝＝5.

所以圆心为C的圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.

[例2]　(链接教科书第101页练习A3题)已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a＞0).

(1)若点M(6，9)在圆上，求a的值；

(2)已知点P(3，3)和点Q(5，3)，线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点，求a的取值范围．

[解]　(1)因为点M在圆上，

所以(6－5)2＋(9－6)2＝a2，

又a＞0，可得a＝.

(2)由两点间距离公式可得，

|PN|＝＝，

|QN|＝＝3.

因为线段PQ与圆有且只有一个公共点，即P，Q两点一个在圆N内，另一个在圆N外，又3＜，所以3＜a＜.即a的取值范围是(3，).

判断点与圆的位置关系的方法

(1)确定圆的方程：化为(x－a)2＋(y－b)2＝r2；

(2)将点的坐标(x0，y0)代入代数式(x－a)2＋(y－b)2，比较代数式的值与r2的大小关系；

(3)下结论：若(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，表示点在圆上；若(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，表示点在圆外；若(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2，表示点在圆内．

此外，也可以利用点与圆心的距离d与半径r的大小关系来判断．当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d<r时，点在圆内．

[跟踪训练]

已知两点P1(3，8)和P2(5，4)，求以线段P1P2为直径的圆的方程，并判断点M(5，3)，N(3，4)，P(3，5)是在此圆上，在圆内，还是在圆外？

解：设圆心C(a，b)，半径长为r，则由C为线段P1P2的中点得a＝＝4，b＝＝6，即圆心坐标为C(4，6)，又由两点间的距离公式得r＝|CP1|＝＝，故所求圆的标准方程为(x－4)2＋(y－6)2＝5.

分别计算点M，N，P到圆心C的距离：

|CM|＝＝＞，

|CN|＝＝，

|CP|＝＝＜，

所以点M在此圆外，点N在此圆上，点P在此圆内．

[例3]　(链接教科书第100页例3)如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．这个圆的圆拱跨度AB＝20 m，拱高OP＝4 m，建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01 m).

[解]　建立如图所示的平面直角坐标系，使圆心在y轴上．设圆心的坐标是(0，b)，圆的半径是r，那么圆的方程是x2＋(y－b)2＝r2.

因为P，B都在圆上，所以它们的坐标(0，4)，(10，0)都满足方程x2＋(y－b)2＝r2.于是，得到方程组

解得b＝－10.5，r2＝14.52.

所以圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52.

把点P2的横坐标x＝－2代入圆的方程，得

(－2)2＋(y＋10.5)2＝14.52，

即y＋10.5＝(P2的纵坐标y＞0，平方根取正值).所以y＝－10.5

≈14.36－10.5＝3.86(m).

故支柱A2P2的高度约为3.86 m.

坐标法解决此类问题的“三步曲”

 [跟踪训练]

已知隧道的截面是半径为4 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m，高为3 m的货车能不能驶入这个隧道？

解：以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系(如图)，那么半圆的方程为

x2＋y2＝16(y≥0).

将x＝2.7代入，得y＝＝＜3.

即在离中心线2.7 m处，隧道的高度低于货车的高度．因此，货车不能驶入这个隧道．

[例4]　已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.求的最大值和最小值．

[解]　原方程表示以点(2，0)为圆心，以为半径的圆，设＝k，即y＝kx，

当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时＝，

解得k＝±.

故的最大值为，最小值为－.

[母题探究]

1．(变设问)在本例条件下，求y－x的最大值和最小值．

解：设y－x＝b，

即y＝x＋b，

当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时＝，

即b＝－2±.

故y－x的最大值为－2＋，

最小值为－2－.

2．(变设问)在本例条件下，求x2＋y2的最大值和最小值．

解：x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，

故(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4，

(x2＋y2)min＝(2－)2＝7－4.

与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型

(1)形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题；

(2)形如l＝ax＋by(b≠0)形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋截距的最值问题；

(3)形如z＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．　

[跟踪训练]

1．(2020·北京高考)已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为(　　)

A．4　　　　　　　　　　　　  B．5

C．6     D．7

解析：选A　设该圆的圆心为(a，b)，则圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝1，∵该圆过点(3，4)，∴(3－a)2＋(4－b)2＝1，此式子表示点(a，b)在以(3，4)为圆心，1为半径的圆上，则点(a，b)到原点的最小值为－1＝4，故选A.

2．已知x，y满足(x＋1)2＋y2＝，试求：

(1)x2＋y2的最值；

(2)x＋y的最值．

解：(1)由题意知x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值．

原点(0，0)到圆心(－1，0)的距离为d＝1，

故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋＝，

最小距离为1－＝，

因此x2＋y2的最大值和最小值分别为和.

(2)令y＋x＝z并将其变形为y＝－x＋z，

问题转化为斜率为－1的直线在经过圆上的点时在y轴上的截距的最值．

当直线和圆相切时在y轴上的截距取得最大值和最小值，

此时有＝，

解得z＝±－1，

即最大值为－1，最小值为－－1.

1．圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝3的圆心坐标为(　　)

A．(2，1)     B．(2，－1)

C．(－2，1)     D．(－2，－1)

解析：选B　结合圆的标准形式可知，圆C的圆心坐标为(2，－1).

2．以(2 020，2 020)为圆心，2 021为半径的圆的标准方程为(　　)

A．(x－2 020)2＋(y－2 020)2＝2 0212

B．(x＋2 020)2＋(y＋2 020)2＝2 0212

C．(x－2 020)2＋(y－2 020)2＝2 021

D．(x＋2 020)2＋(y＋2 020)2＝2 021

解析：选A　由圆的标准方程知(x－2 020)2＋(y－2 020)2＝2 0212.

3．点(2a，a－1)在圆x2＋(y－1)2＝5的外部，则a的取值范围为________．

解析：因为(2a，a－1)在圆x2＋(y－1)2＝5的外部，所以4a2＋(a－2)2＞5，解得a＞1或a＜－.

答案：(－∞，－)∪(1，＋∞)

4．点(1，1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，则圆的方程是________．

解析：∵点(1，1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，故(1＋2)2＋1＝m.

∴m＝10，即圆的方程为(x＋2)2＋y2＝10.

答案：(x＋2)2＋y2＝10

5．已知圆M的圆心坐标为(3，4)，且A(－1，1)，B(1，0)，C(－2，3)三点一个在圆M内，一个在圆M上，一个在圆M外，求圆M的方程．

解：∵|MA|＝＝5，

|MB|＝＝2，

|MC|＝＝，

∴|MB|＜|MA|＜|MC|，

∴点B在圆M内，点A在圆M上，点C在圆M外，

∴圆的半径r＝|MA|＝5，

∴圆M的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.