2020-2021学年2.3.2 圆的一般方程学案

圆的一般方程

在上一节，我们已经知道圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.

[问题]　如果把圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2中的括号展开、整理之后，得到的方程形式是什么样的？是否所有圆的方程都能化成这种形式？

知识点　圆的一般方程

1．圆的一般方程的概念

当 D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫作圆的一般方程．

2．圆的一般方程对应的圆心和半径

圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为，半径长为_．

1．圆的标准方程与圆的一般方程有什么不同？

提示：圆的一般方程是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显．圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征明显．

2．求圆的一般方程实质上是求圆的一般方程中的哪些量？

提示：只要求出一般方程中的D，E，F，圆的方程就确定了．

3．所有二元二次方程均表示圆吗？

提示：不是，Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0，只有在A＝C≠0，B＝0且D2＋E2－4AF＞0时才表示圆．

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)方程x2＋y2＋x＋1＝0表示圆．(　　)

(2)方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆．(　　)

答案：(1)×　(2)√

2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　)

A．(2，3)　　　　　　　　　  B．(－2，3)

C．(－2，－3)     D．(2，－3)

解析：选D　圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标为，即(2，－3).

3．过O(0，0)，A(3，0)，B(0，4)三点的圆的一般方程为______．

解析：该圆的圆心为，半径为，

故其标准方程为＋(y－2)2＝.

化成一般方程为x2＋y2－3x－4y＝0.

答案：x2＋y2－3x－4y＝0

[例1]　(链接教科书第104页例2)若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：

(1)实数m的取值范围；

(2)圆心坐标和半径．

[解]　(1)据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0，

即4m2＋4－4m2－20m＞0，

解得m＜，

故m的取值范围为.

(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，

故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝.

判断二元二次方程与圆的关系时，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆．此时有两种途径：一是看D2＋E2－4F是否大于零；二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数．　

[跟踪训练]

已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________.

解析：由二元二次方程表示圆的条件可得a2＝a＋2，解得a＝2或－1.当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，配方得＋(y＋1)2＝－＜0，不表示圆；

当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5.

答案：(－2，－4)　5

[例2]　(链接教科书第102页例1)(1)已知△ABC顶点的坐标为A(4，3)，B(5，2)，C(1，0)，求△ABC外接圆的方程；

(2)已知一圆过P(4，－2)，Q(－1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程．

[解]　(1)设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.

∵点A，B，C在所求的圆上，故有

⇒

故所求圆的方程是x2＋y2－6x－2y＋5＝0.

(2)法一(待定系数法)：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

将P，Q的坐标分别代入上式，

得

令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，③

由已知|y1－y2|＝4，其中y1，y2是方程③的两根．

∴(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.④

联立①②④解得，或

故所求方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.

法二(几何法)：由题意得线段PQ的中垂线方程为x－y－1＝0.

∴所求圆的圆心C在直线x－y－1＝0上，设其坐标为(a，a－1).

又圆C的半径长r＝|CP|＝.(*)

由已知圆C截y轴所得的线段长为4，而圆心C到y轴的距离为|a|.

∴r2＝a2＋，代入(*)并将两端平方得a2－6a＋5＝0，解得a1＝1，a2＝5，∴r1＝，r2＝.

故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝13或(x－5)2＋(y－4)2＝37.

利用待定系数法求圆的方程的解题策略

(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r；

(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.

[跟踪训练]

1．过点M(－1，1)，且圆心与已知圆C：x2＋y2－4x＋6y－3＝0相同的圆的方程为________________．

解析：将已知圆的方程化为标准方程(x－2)2＋(y＋3)2＝16，圆心C的坐标为(2，－3)，半径为4，故所求圆的半径为r＝|CM|＝＝5.所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.

答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝25

2. 已知M(2，0)，N(10，0)，P(11，3)，Q(6，1)四点，试判断它们是否共圆，并说明理由．

解：设M，N，P三点确定的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，

∴解得

∴过点M，N，P的圆的方程为(x－6)2＋(y－3)2＝25.

将点Q的坐标(6，1)代入方程左端，得(6－6)2＋(1－3)2＝4＜25，

∴点Q不在圆(x－6)2＋(y－3)2＝25上，

∴M，N，P，Q四点不共圆．

1．已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围为(　　)

A．(－∞，－1)　　　　　　  B．(3，＋∞)

C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)     D．

解析：选A　方程可化为：(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2＞0，即k＜－1时才能表示圆．

2．若直线2x＋y＋m＝0过圆x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心，则m的值为(　　)

A．2     B．－1

C．－2     D．0

解析：选D　圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝5，则圆心坐标为(1，－2)，

∵直线2x＋y＋m＝0过x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心．

∴2－2＋m＝0得m＝0.

3．点P(x0，y0)是圆x2＋y2＝16上的动点，点M是OP(O为原点)的中点，则动点M的轨迹方程为________．

解析：设M(x，y)，则即

又(x0，y0)在圆上，∴4x2＋4y2＝16，即x2＋y2＝4.

答案：x2＋y2＝4

4．方程x2＋y2－ax＋by＋c＝0表示圆心为(1，2)，半径为1的圆，则a＋b＋c＝________．

解析：根据题意，方程x2＋y2－ax＋by＋c＝0表示圆心为(1，2)，半径为1的圆，则

解得∴a＋b＋c＝2.

答案：2

5．求经过三点A(1，－1)，B(1，4)，C(4，－2)的圆的一般方程．

解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将A，B，C三点的坐标代入方程整理可得

解得

故所求圆的一般方程为x2＋y2－7x－3y＋2＝0.