人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.8 直线与圆锥曲线的位置关系学案

直线与圆锥曲线的位置关系

激光武器是一种利用激光束攻击目标的定向武器．目前我国的高能激光武器完全有能力击毁敌方飞机，导弹或间谍卫星，假如有一天我们要用激光武器对付间谍卫星或敌方导弹就需要用到我们本节课要学习的直线与圆锥曲线的位置关系的知识，因为激光是直线光而卫星轨道是椭圆，激光击毁卫星实际上是直线与椭圆的相交问题．

[问题]　(1)我们知道，可以用圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断直线与圆的位置关系，这种方法称为几何法，能否用几何法判断直线与椭圆的位置关系？

(2)用什么方法判断直线与圆锥曲线的位置关系？

知识点　直线与圆锥曲线的位置关系

1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定

(1)代数法：把圆锥曲线方程C1与直线方程l联立消去y，整理得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0.

(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图像和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系．

2．直线与圆锥曲线的相交弦长问题

设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

|AB|＝|x1－x2|

＝

＝|y1－y2|

＝ .

　直线与抛物线、双曲线只有一个公共点时，是否一定相切？

提示：不一定，当直线与双曲线的渐近线平行或与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线、抛物线只有一个公共点，但此时直线与双曲线、抛物线相交．

1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　)

A．相交　　　　　　　  B．相切

C．相离     D．不确定

解析：选A　直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．

2．直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得的弦的中点坐标是(　　)

A．     B．

C．     D．

答案：C

3．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a等于________．

解析：由消去y得ax2－x＋1＝0，

所以解得a＝.

答案：

[例1]　(链接教科书第160页例2、第161页例3、第162页例4)对不同的实数值m，讨论直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1的位置关系．

[解]　由消去y，得＋(x＋m)2＝1，

整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0.

Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2).

当－<m<时，Δ>0，直线与椭圆相交；

当m＝－或m＝时，Δ＝0，直线与椭圆相切；

当m<－或m>时，Δ<0，直线与椭圆相离．

判断直线与圆锥曲线的位置关系，通过解直线方程与曲线方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则

Δ>0⇔直线与曲线相交；

Δ＝0⇔直线与曲线相切；

Δ<0⇔直线与曲线相离．

[跟踪训练]

1．直线y＝2x－4与抛物线y2＝4x的交点坐标为________．

解析：由消去y，得x2－5x＋4＝0.

解得或

答案：(1，－2)或(4，4)

2．直线l：y＝k(x＋)与曲线C：x2－y2＝1(x<0)交于P，Q两点，l的倾斜角的取值范围为________．

解析：曲线C：x2－y2＝1(x<0)的渐近线方程为y＝±x，直线l：y＝k(x＋)与曲线C交于P，Q两点，所以直线的斜率k>1或k<－1，所以直线l的倾斜角α∈，由于直线l的斜率存在，所以α≠，所以直线l的倾斜角的取值范围是∪.

答案：∪

3．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为________．

解析：由得k2x2＋(4k－8)x＋4＝0.

若k＝0，则y＝2，符合题意．

若k≠0，则Δ＝0，

即64－64k＝0，解得k＝1，

所以直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点时，k＝0或1.

答案：0或1

[例2]　(链接教科书第160页例1)已知点P(4，2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，求直线l的方程．

[解]　法一(根与系数关系法)：由题意可设直线l的方程为y－2＝k(x－4)，

而椭圆的方程可以化为x2＋4y2－36＝0.

将直线方程代入椭圆方程有(4k2＋1)x2－8k(4k－2)x＋4(4k－2)2－36＝0.

所以x1＋x2＝＝8，解得k＝－.

所以直线l的方程为y－2＝－(x－4)，

即x＋2y－8＝0.

法二(点差法)：设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

所以

两式相减，有(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.

又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，所以＝－，

即k＝－.所以直线l的方程为x＋2y－8＝0.

[母题探究]

(变设问)在本例条件下，求直线l被椭圆截得的弦长．

解：由本例解可知直线l的方程为x＋2y－8＝0，联立椭圆方程得x2－8x＋14＝0.

法一：解方程得

所以直线l被椭圆截得的弦长为

＝.

法二：因为x1＋x2＝8，x1x2＝14.

所以直线l被椭圆截得的弦长为

×＝.

解决椭圆中点弦问题的两种方法

(1)根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；

(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，

则

由①－②，得(x－x)＋(y－y)＝0，变形得＝－·＝－·，即kAB＝－.　

[跟踪训练]

1．直线y＝x＋1与双曲线x2－＝1相交于A，B，则AB中点P的坐标为________．

解析：由得4x2－(x＋1)2－4＝0.

化简，得3x2－2x－5＝0.

设此方程的解为x1，x2，则有x1＋x2＝，

设P(xP，yP)，∴xP＝，yP＝.

答案：

2．若点(3，1)是抛物线y2＝2px(p>0)的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p的值是________．

解析：设过点(3，1)的直线交抛物线y2＝2px(p>0)于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则

由①－②得y－y＝2p(x1－x2)，即＝，由题意知kAB＝2，且y1＋y2＝2，故kAB＝＝2，所以p＝y1＋y2＝2.

答案：2

[例3]　(链接教科书第162页例5)顺次连接椭圆C：＋＝1(a>b>0)的四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为2的菱形．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点Q(0，－2)的直线l与椭圆C交于A，B两点，kOA·kOB＝－1，其中O为坐标原点，求|AB|.

[解]　(1)由题可知2ab＝2，a2＋b2＝3，解得a＝，b＝1.

所以椭圆C的方程为＋y2＝1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

当直线l的斜率不存在时，显然不符合题意，故设l的方程为y＝kx－2(k≠0)，代入方程＋y2＝1，

整理得(1＋2k2)x2－8kx＋6＝0.

由Δ＝64k2－24(2k2＋1)>0，

解得k2>，由韦达定理可知，

x1＋x2＝，x1x2＝.

kOA·kOB＝

＝＝－1，

解得k2＝5.所以|AB|＝

 ＝.

解析几何中的“设而不求，整体代换”策略

“设而不求”是简化运算的一种重要手段，它的精彩在于设而不求，化繁为简．解题过程中，巧妙设点，避免解方程组，常见类型有：(1)灵活应用“点、线的几何性质”解题；(2)根据题意，整体消参或整体代入等．　

[跟踪训练]

(2020·北京高考)已知椭圆C：＋＝1过点A(－2，－1)，且a＝2b.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点B(－4，0)的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线x＝－4于点P，Q，求的值．

解：(1)因为a＝2b，所以椭圆的方程为＋＝1，

又因为椭圆过点A(－2，－1)，所以有＋＝1，解得b2＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1.

(2)由题意知直线MN的斜率存在．

当直线MN的斜率为0时，不妨设M(－2，0)，N(2，0)，

则直线MA：y＝(x＋2)，直线NA：y＝(x－2)，

则yP＝，yQ＝－，＝1.

当直线MN的斜率不为0时，设直线MN：x＝my－4(m≠0)，与椭圆方程＋＝1联立，化简得(m2＋4)y2－8my＋8＝0，Δ＝64m2－32(m2＋4)＝32(m2－4)>0，解得m2>4.

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

则y1y2＝，y1＋y2＝.

直线MA的方程为y＋1＝(x＋2)，

则P，即P.

直线NA的方程为y＋1＝(x＋2)，

则Q，即Q.

所以＝

＝＝

＝＝1.

综上，＝1.

1．椭圆＋＝1的两个焦点为F1，F2，过F2的直线交椭圆于A，B两点．若|AB|＝8，则|AF1|＋|BF1|的值为(　　)

A．10　　　　　　　　  B．12

C．16     D．18

解析：选B　∵|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝4a，

∴|AF1|＋|BF1|＝4×5－8＝12.

2．在抛物线y2＝8x中，以(1，－1)为中点的弦所在直线的方程是(　　)

A．x－4y－3＝0     B．x＋4y＋3＝0

C．4x＋y－3＝0     D．4x＋y＋3＝0

解析：选C　设弦两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－2.

∵A，B在抛物线上，∴y＝8x1，y＝8x2，

两式相减得，(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)，

∴＝－4，

∴直线AB方程为y＋1＝－4(x－1)，即4x＋y－3＝0.

3．已知双曲线C：x2－＝1，过点P(1，2)的直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有(　　)

A．1条     B．2条

C．3条     D．4条

解析：选B　因为双曲线的渐近线方程为y＝±2x，点P在一条渐近线上，又由于双曲线的顶点为(±1，0)，所以过点P且与双曲线相切的切线只有一条．过点P平行于渐近线的直线只有一条，所以与双曲线只有一个公共点的直线有两条．

4．直线y＝kx－1与椭圆＋＝1相切，则a的取值范围是________，k的取值范围是________．

解析：∵直线y＝kx－1是椭圆的切线，且过点(0，－1)，

∴点(0，－1)必在椭圆上或其外部，

∴a∈(0，1].

由方程组消去x，得(a＋4k2)y2＋2ay＋a－4ak2＝0.

∵直线和椭圆相切，

∴Δ＝(2a)2－4(a＋4k2)(a－4ak2)

＝16ak2(a－1＋4k2)＝0，

∴k＝0或a＝1－4k2.

∵0<a≤1，∴0<1－4k2≤1，

∴k2<

∴k∈.

答案：(0，1]　

5．直线l：y＝kx＋1与椭圆＋y2＝1交于M，N两点，

且|MN|＝.求直线l的方程．

解：设直线l与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，

由消去y并化简，得(1＋2k2)x2＋4kx＝0，

∴x1＋x2＝－，x1x2＝0.

由|MN|＝，得

(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝，

∴(1＋k2)(x1－x2)2＝，

∴(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝，

即(1＋k2)＝，

化简得：k4＋k2－2＝0，∴k2＝1，∴k＝±1.

∴所求直线l的方程是y＝x＋1或y＝－x＋1.