人教B版 (2019)必修 第一册1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定导学案

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知识点一 命题
1．用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的________叫做命题．其中________的语句叫做真命题，________的语句叫做假命题．
2．四种命题及其关系
(1)四种命题
若原命题为“若p，则q”，则其逆命题是________；否命题是____________；逆否命题是____________．
(2)四种命题间的关系
知识点二 全称量词和全称量词命题
知识点三 存在量词和存在量词命题
状元随笔 全称量词命题与存在量词命题的区别
(1)全称量词命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质，无一例外，强调“整体、全部”．
(2)存在量词命题中的存在量词则表明给定范围内的对象有例外，强调“个别、部分”．
知识点四 全称量词命题和存在量词命题的否定
1．全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，¬p(x)．
2．存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，¬p(x)．
状元随笔 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．
基础自测
1.(多选)下列命题中哪些是全称量词命题( )
A．任意一个自然数都是正整数
B．所有的素数都是奇数
C．有的正方形不是菱形
D．三角形的内角和是180°
2．下列命题中存在量词命题的个数是( )
①至少有一个偶数是质数；
②∃x∈R，x2≤0；
③有的奇数能被2整除．
A．0 B．1
C．2 D．3
3．命题“存在实数x，使x＞1”的否定是( )
A．对任意实数x，都有x＞1
B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x≤1
D．存在实数x，使x≤1
4．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否命题为：________．
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1 全称量词命题与存在量词命题的判断与其真假
[经典例题]
例1 判断下列命题哪些是全称量词命题，并判断其真假．
(1)对任意x∈R，x2＞0；
(2)有些无理数的平方也是无理数；
(3)对顶角相等；
(4)存在x＝1，使方程x2＋x－2＝0；
(5)对任意x∈{x|x＞－1}，使3x＋4＞0；
(6)存在a＝1且b＝2，使a＋b＝3成立．
正确地识别命题中的全称量词，是解决问题的关键．
方法归纳
(1)要判定全称量词命题是真命题，需要判断所有的情况都成立；如果有一种情况不成立，那么这个全称量词命题就是假命题．
(2)要判定存在量词命题是真命题，只需找到一种情况成立即可；如果找不到使命题成立的特例，那么这个存在量词命题是假命题．
跟踪训练1 指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假：
(1)若a＞0，且a≠1，则对任意实数x，ax＞0；
(2)对任意实数x1，x2，若x1＜x2，则tan x1＜tan x2；
(3)存在一个x∈R，使x2＋1＜0.
状元随笔 判断一个命题是否为全称量词命题或存在量词命题，就是判断这个命题中是否含有全称量词或存在量词，有些命题的量词可能隐含在命题之中，这时要根据命题含义判断形式．
题型2 含有一个量词的命题的否定[教材P29例2]
例2 写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假：
(1)p：∃a∈R，一次函数y＝x＋a的图像经过原点；
(2)q：∀x∈(－3，＋∞)，x2＞9.
先把命题否定，再判断真假．
【解析】 (1)¬p：∀a∈R，一次函数y＝x＋a的图像不经过原点．因为当a＝0时，一次函数y＝x＋a的图像经过原点，所以¬p是假命题．
(2)¬q：∃x∈(－3，＋∞)，x2≤9.因为x＝0时，x2＝0＜9，所以¬q是真命题．
教材反思
全称量词命题的否定是一个存在量词命题，存在量词命题的否定是一个全称量词命题，因此在书写他们的否定时，相应的全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词，同时否定结论．
跟踪训练2 (1)命题“对于任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( )
∀x∈M，p(x)的否定为∃x∈M，¬p(x)．A.不存在x∈R，x3－x2＋1≤0
B．存在x∈R，x3－x2＋1≥0
C．对任意的x∈R，x3－x2＋1＞0
D．存在x∈R，x3－x2＋1＞0
∃x∈M，p(x)的否定为∀x∈M，¬p(x)．(2)命题“∃x∈R，x3－2x＋1＝0”的否定是( )
A．∃x∈R，x3－2x＋1≠0
B．不存在x∈R，x3－2x＋1≠0
C．∀x∈R，x3－2x＋1＝0
D．∀x∈R，x3－2x＋1≠0
1．2 常用逻辑用语
1．2.1 命题与量词
1．2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
新知初探·自主学习
知识点一
1．陈述句 判断为真 判断为假
2．(1)若q，则p 若¬p，则¬q 若¬q，则¬p
知识点二
所有的 任意一个 一切 任给 全称量词 “∀x∈M，p(x)”
知识点三
存在一个 至少有一个 有些 有的 存在量词 “∃x∈M，p(x)”
[基础自测]
1．解析：命题AB含有全称量词，而命题D可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，C是存在量词命题，故有三个全称量词命题．
答案：ABD
2．解析：①中含有存在量词“至少”，所以是存在量词命题；
②中含有存在量词符号“∃”，所以是存在量词命题；
③中含有存在量词“有的”，所以是存在量词命题．
答案：D
3．解析：命题“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．
答案：C
4．解析：原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，
结论：∠A、∠B都是锐角. 否命题是否定条件和结论．
即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角”．
答案：“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角”
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)(3)(5)是全称量词命题，(1)是假命题，∵x＝0时，x2＝0.(3)是真命题．(5)是真命题．
跟踪训练1 解析：(1)(2)是全称量词命题，(3)是存在量词命题．
(1)∵ax>0(a>0，a≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题．
(2)存在x1＝0，x2＝π，x1(3)对任意x∈R，x2＋1>0.∴命题(3)是假命题．
跟踪训练2 解析：(1)∵命题“对于任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”是全称量词命题，其否定是对应的存在量词命题，∴否定命题为：存在x∈R，x3－x2＋1>0.故选D.
(2)存在量词命题的否定是全称量词命题，故排除A；由命题的否定要否定结论，故排除C；由存在量词“∃”应改为全称量词“∀”，故排除B.
答案：(1)D (2)D(1)全称量词与存在量词．通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义．(2)全称量词命题与存在量词命题的否定．①能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定．②能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定．
全称量词
________、________、________、________
符号
∀
全称量词命题
含有________的命题
形式
“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可简记为________
存在量词
________、________、________、________
符号表示
∃
存在量词命题
含有________的命题
形式
“存在M中的一个x，使p(x)成立”，可用符号记为________