高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.3 一元二次不等式的解法导学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.3 一元二次不等式的解法导学案，共15页。
知识点 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
状元随笔 一元二次不等式的解法：
(1)图像法：一般地，当a＞0时，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：
①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图像简图；③由图像得出不等式的解集．
对于a＜0的一元二次不等式，可以直接采取类似a＞0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．
(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p＜q时，若(x－p)(x－q)＞0，则x＞q或x＜p；若(x－p)(x－q)＜0，则p＜x＜q.有口诀如下“大于取两边，小于取中间”．
基础自测
1．下列不等式中是一元二次不等式的是( )
A．a2x2＋2≥0B．1x2＜3
C．－x2＋x－m≤0D．x3－2x＋1＞0
2．不等式x(x＋1)≤0的解集为( )
A．[－1，＋∞) B．[－1，0)
C．(－∞，－1] D．[－1，0]
3．函数y＝17-6x-x2的定义域为( )
A．[－7，1] B．(－7，1)
C．(－∞，－7]∪1，+∞ D.-∞，-7∪1，+∞
4．不等式1＋2x＋x2≤0的解集为________．
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1 解不含参数的一元二次不等式[教材P65例1 P66例3、例4]
例1 (1)求不等式x2－x－2＞0的解集．
(2)求不等式x2－6x－1≤0的解集．
(3)求不等式－x2＋2x－1＜0的解集．
【解析】 (1)因为x2－x－2＝(x＋1)(x－2)，
所以原不等式等价于(x＋1)(x－2)＞0，因此所求解集为(－∞，－1)∪2，+∞．
(2)因为x2－6x－1＝x2－6x＋9－9－1＝(x－3)2－10，
所以原不等式可化为(x－3)2－10≤0，即(x－3)2≤10，
两边开平方得|x－3|≤10，从而可知－10≤x－3≤10，
因此3－10≤x≤3＋10，所以不等式的解集为
[3－10，3＋10].
(3)原不等式可化为x2－2x＋1＞0，
又因为x2－2x＋1＝(x－1)2，所以上述不等式可化为
(x－1)2＞0.
注意到只要x≠1，上述不等式就成立，所以不等式的解集为(－∞，1)∪1，+∞．
教材反思
我们以求解可化成ax2＋bx＋c＞0(a＞0)形式的不等式为例，用框图表示其求解过程．
跟踪训练1 解下列不等式：
(1)x2－7x＋12＞0； (2)－x2－2x＋3≥0；
(3)x2－2x＋1＜0; (4)－2x2＋3x－2＜0.
题型2 三个“二次”之间的关系[经典例题]
例2 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a＜0的解集．
状元随笔 由给定不等式的解集形式→确定a＜0及关于a，b，c的方程组→用a表示b，c→
代入所求不等式→求解cx2+bx+a＜0的解集
方法归纳
一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．
(1)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．
(2)若一元二次不等式的解集为R或∅，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图像与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围．
跟踪训练2 已知一元二次不等式x2＋px＋q＜0的解集为{x|-12＜x＜13}，求不等式qx2＋px＋1＞0的解集．
题型3 含参数的一元二次不等式的解法[经典例题]
例3 解关于x的不等式2x2＋ax＋2＞0.
状元随笔 二次项系数为2，Δ＝a2－16不是一个完全平方式，故不能确定根的个数，因此需对判别式Δ的符号进行讨论，确定根的个数．
方法归纳
含参数一元二次不等式求解步骤
(1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图像的开口方向；
(2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图像与x轴交点的个数；
(3)当Δ＞0时，讨论相应一元二次方程两根的大小；
(4)最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集．
跟踪训练3 解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0.
题型4 一元二次不等式的实际应用[经典例题]
例4 某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x(百台)，其总成本为g(x)万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，并且销售收入r(x)满足r(x)＝-0.5x2+7x-10.5，0≤x≤7，13.5，x＞7.
假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求：
(1)要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？
(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？
(1)求利润函数f(x)⇒解不等式f(x)＞0⇒回答实际问题．
(2)根据第(1)题所求范围，分类讨论求函数最值⇒回答实际问题．
方法归纳
解不等式应用题的四步骤
(1)审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．
(2)设：引进数学符号，用不等式表示不等关系．
(3)求：解不等式．
(4)答：回答实际问题．
特别提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．
跟踪训练4 某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．
(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；
(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．
状元随笔 根据题意，列出各数量之间的关系表，如下：
2．2.3 一元二次不等式的解法
新知初探·自主学习
[基础自测]
1．解析：选项A中，a2＝0时不符合；选项B是分式不等式；选项D中，最高次数为三次；只有选项C符合．
答案：C
2．解析：解不等式得－1≤x≤0，故选D.
答案：D
3．解析：由7－6x－x2>0，得x2＋6x－7