高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.1.1 实数指数幂及其运算学案

实数指数幂及其运算

知识点一　n次方根及根式的概念

1．a的n次方根的定义

如果______________，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.

2．a的n次方根的表示

(1)当n是奇数时，a的n次方根表示为__________________，a∈____________．

(2)当n是偶数时，a的n次方根表示为______________，其中________表示a的负的n次方根，a∈________．

3．根式

式子____________叫做根式，这里n叫做__________，a叫做__________．

状元随笔　根式的概念中要求n>1，且n∈N*.

知识点二　根式的性质

(1)()n＝________(n∈R＋，且n>1)；

(2)＝

状元随笔　()n中当n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，而中a∈R.

知识点三　分数指数幂的意义及有理数指数幂的

运算性质

1．分数指数幂的意义

2.有理数指数幂的运算性质

(1)aras＝________；(a>0，r，s∈Q)

(2)(ar)s＝________；(a>0，r，s∈Q)

(3)(ab)r＝________．(a>0，b>0，r∈Q)

3．无理数指数幂

无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个__________．有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．

基础自测

1.＋π等于(　　)

A．4　　　　　　B．2π－4

C．2π－4或4    D．4－2π

2．b4＝3(b>0)，则b等于(　　)

C．43    D．35

3．(多选)下列各式错误的是(　　)

A．＝－3    B．＝a

C．()3＝－2    D．＝2

　利用根式的性质化简求值[经典例题]

例1　(1)下列各式正确的是(　　)

A．＝aB．a0＝1

C. ＝－4    D.＝－5

 (2)计算下列各式：

①＝________．

②＝________．

③＝________．

首先确定式子中n的奇偶，再看式子的正负，最后确定化简结果．

方法归纳

根式化简或求值的策略

(1)解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．

(2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．

跟踪训练1　求下列各式的值：

(1) ；

(2) ；

(3) ；

(4) ＋.

由根式被开方数正负讨论x≥y，x<y两种情况．

　根式与分数指数幂的互化[经典例题]

例2　(1)将分数指数幂(a>0)化为根式为________．

(2)化简：(a2·÷(·)＝________(用分数指数幂表示)．

(3)将下列根式与分数指数幂进行互化．

①a3·.

②(a>0，b>0)．

利用根式与分数指数幂的性质意义化为根式或分数指数幂．

方法归纳

根式与分数指数幂互化的方法及思路

(1)方法：根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．

(2)思路：在具体计算中，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．

提醒：如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出．

跟踪训练2　下列根式与分数指数幂的互化正确的是(　　)

A.－＝ (x>0)

B．＝(y<0)

＝(x>0)

＝－(x≠0)

A：－先把＝再加上－.

B：注意y<0.

C：负指数次幂运算．

　分数指数幂的运算与化简[教材P7例3]

例3　化简下列各式：

；.

【解析】　(1)原式＝＝＝.

(2)原式＝＝

＝.

状元随笔　①先进行指数运算，在进行指数运算时可将底数化成幂的形式，再利用幂的乘方进行运算；②对于零次幂，直接运用a0＝1(a≠0)得出结论；③底数为带分数的化成假分数，进而将底数化成幂的形式；④底数为小数的一般化成分数来运算；⑤先算乘方(开方)，再算乘除，最后算加减．

教材反思

利用指数幂的运算性质化简求值的方法

(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．

(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．

(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．

跟踪训练3　计算：

(1)(－1.8)0＋·；

(a>0，b>0)．

状元随笔　先把根式化为分数指数幂再运用指数幂的运算法则计算．

4．1.1　实数指数幂及其运算

新知初探·自主学习

知识点一

1．xn＝a

2．(1)　R　(2)±　－　[0，＋∞)

3.　根指数　被开方数

知识点二

(1)a　(2)a　|a|　

知识点三

1.　　0　无意义

2．(1)ar＋s　(2)ars　(3)arbr

3．确定的实数

[基础自测]

1．解析：＋π＝4－π＋π＝4.故选A.

答案：A

2．解析：因为b4＝3(b>0)，∴b＝＝.

答案：B

3．解析：由于＝3，＝|a|，＝－2，故选项A，B，D错误．

答案：ABD

课堂探究·素养提升

例1　【解析】　(1)由于＝则选项A，C排除，D正确，B需要加条件a≠0.

(2)①＝－a.

②＝＝π－3.

③＝－－＝－－＝.

【答案】　(1)D　(2)①－a　②π－3　③

跟踪训练1　解析：(1) ＝－2；

(2) ＝＝；

(3) ＝|3－π|＝π－3；

(4)原式＝＋y－x＝|x－y|＋y－x.

当x≥y时，原式＝x－y＋y－x＝0；

当x<y时，原式＝y－x＋y－x＝2(y－x).

所以原式＝

例2　【解析】　(1)＝＝

(2)(a2·÷(·)＝(a2·)÷(·)＝÷＝＝

(3)①a3·＝a3·＝＝.　②＝＝＝＝.

【答案】　(1)　(2)　(3)①　②

跟踪训练2　解析：－－ (x>0)；＝＝－ (y<0)；

＝＝ (x>0)；

＝＝ (x≠0).

答案：C

跟踪训练3　解析：(1)原式＝1＋·－10＋＝1＋·－10＋27＝29－10＝19.

(2)原式＝·0.12·＝2××8＝.