高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.2.1 对数运算学案设计

对数运算

知识点　对数

1．对数的概念

(1)定义

如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数________叫做以________为底________的对数，记作x＝________．

(2)相关概念

①底数与真数

其中，________叫做对数的底数，________叫做真数．

②常用对数与自然对数

通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记作________；以无理数e＝2.718 28…为底数的对数称为自然对数，并且把logeN记为________．

状元随笔　logaN是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写．

2．对数的性质

基础自测

1.把指数式ab＝N化为对数式是(　　)

A．logba＝N　　　　　　　　　B．logaN＝b

C．logNb＝a    D．logNa＝b

2．把对数式loga49＝2写成指数式为(　　)

A．a49＝2    B．2a＝49

C．492＝a    D．a2＝49

3．已知logx16＝2，则x等于(　　)

A．±4    B．4

C．256    D．2

4．下列各式：

①lg (lg 10)＝0；

②lg (ln e)＝0；

③若10＝lg x，则x＝10；

④由log25x＝，得x＝±5.

其中，正确的是________．(把正确的序号都填上)

题型1　指数式与对数式互化[经典例题]

例1　把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：

 (1)54＝625；　　 (2)2－6＝；

利用ab＝N ⇔logaN＝b

 (3)＝5.73;    (4)＝－4；

    (5)lg 0.01＝－2;    (6)ln 10＝2.303.

方法归纳

指数式与对数式互化的思路

(1)指数式化为对数式

将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．

(2)对数式化为指数式

将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．

跟踪训练1　将下列指数式与对数式互化：

(1)25＝32;    (2)＝4；

(3)log381＝4;    (4)＝m.

底数不变，指数与对数，幂与真数相对应．

题型2　对数基本性质的应用

例2　求下列各式中的x的值．

(1)log2(log3x)＝0；

(2)log5(log2x)＝1；

(3)＝x.

利用性质logaa＝1，loga1＝0求值．

方法归纳

利用对数性质求值的方法

(1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．

(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．

跟踪训练2　求下列各式中的x的值．

(1)log8[log7(log2x)]＝0；

(2)log2[log3(log2x)]＝1.

已知多重对数式的值求变量，由外到内，利用性质逐一求值．

题型3　对数恒等式＝N(a＞0，且a≠1，N＞0)的应用

例3　求下列各式的值：

 (1)＋；

(2)22＋；

(3)101＋lg 2；

(4)e－1＋ln 3.

化成＝N形式，再求值．

【解析】　(1)因为＝3，＝2，

所以原式＝3＋2＝5.

(2)原式＝22×＝4×＝.

(3)原式＝10×10lg 2＝10×2＝20.

(4)原式＝e－1×eln 3＝×3＝.

方法归纳

利用对数恒等式化简的关键是利用指数幂的相关运算性质把式子转化为alogaN的形式．

跟踪训练3　计算：(1)＝________；

(2)＝________．

不同底的先化成同底，再利用对数恒等式求值．

4．2.1　对数运算

新知初探·自主学习

知识点

1．(1)x　a　N　logaN　(2)a　N　lg N　ln N　

2．零和负数　0　0　1　1

[基础自测]

1．解析：根据对数定义知ab＝N⇔logaN＝b.

答案：B

2．解析：根据指数式与对数式的互化可知，把loga49＝2化为指数式为a2＝49.

答案：D

3．解析：由logx16＝2可知x2＝16，所以x＝±4，

又x＞0且x≠1，所以x＝4.

答案：B

4．解析：因为lg 10＝1，所以lg (lg 10)＝lg 1＝0，①正确；

因为ln e＝1，所以lg (ln e)＝lg 1＝0，②正确；

若10＝lg x，则x＝1010，③错误；

由log25x＝，得x＝＝5，④错误．

答案：①②

课堂探究·素养提升

例1　【解析】　(1)log5625＝4；(2)＝－6；(3)＝m；

(4)＝16；(5)10－2＝0.01；(6)e2.303＝10.

跟踪训练1　解析：(1)log232＝5；(2)＝－2；

(3)34＝81；(4)＝4.

例2　【解析】　(1)因为log2(log3x)＝0，

所以log3x＝1，

所以x＝3.

(2)因为log5(log2x)＝1，

所以log2x＝5，

所以x＝25＝32.

(3)＝＝＋1，

所以＝＝1，

所以x＝1.

跟踪训练2　解析：(1)由log8[log7(log2x)]＝0

得log7(log2x)＝1，

所以log2x＝7，

所以x＝27＝128.

(2)由log2[log3(log2x)]＝1得

log3(log2x)＝2，

所以log2x＝32，

所以x＝29＝512.

跟踪训练3　解析：(1)＝＝＝4.

(2)原式＝×＝3×

＝3×()－1＝3×2－1＝.

答案：(1)4　(2)