人教B版 (2019)必修 第二册4.5 增长速度的比较学案

增长速度的比较 函数的应用(二) 数学建模活动：生长规律的描述

最新课程标准

掌握指数函数、对数函数、幂函数的增长速度，结合实例理解用函数构建数学模型的基本过程，学会用模型思想发现和提出问题，分析和解决问题的方法．

知识点一　常见的增长模型

1．线性函数模型

线性函数模型y＝kx＋b(k＞0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．

2．指数函数模型

能利用__________表达的函数模型叫指数函数模型．指数函数模型的特点是随自变量的增大，函数值的增长速度越来越快，常形象地称为指数爆炸．

3．对数函数模型

能用____________表达的函数模型叫做对数函数模型，对数函数增长的特点是____________，函数值增长速度________．

4．幂函数模型

幂函数y＝xn(n＞0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．

状元随笔　函数模型的选取

(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．

(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．

(3)幂函数模型y＝xn(n＞0)则可以描述增长幅度不同的变化，n值越小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n＞1)时，增长较快．

知识点二　数学建模

1．审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．

2．建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．

3．解模：求解数学模型，得出数学结论．

4．还原：将数学问题还原为实际问题的意义．

状元随笔

基础自测

1.下列函数中，随x的增大，y的增长速度最快的是(　　)

A．y＝ex　　　B．y＝100lnx

C．y＝x100D．y＝100·2x

2．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是(　　)

A．减少7.84%B．增加7.84%

C．减少9.5%D．不增不减

3．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是(　　)

A．y＝ax＋bB．y＝ax2＋bx＋c

C．y＝a·ex＋bD．y＝alnx＋b

4．计算机的价格大约每3年下降，那么今年花8100元买的一台计算机，9年后的价格大约是________元．

题型1　几类函数模型的增长差异[经典例题]

例1　(1)下列函数中，增长速度最快的是(　　)

A．y＝2018xB．y＝x2018

C．y＝log2018xD．y＝2018x

(2)四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：

则关于x呈指数型函数变化的变量是________．

【解析】　(1)比较幂函数、指数函数与对数函数、一次函数可知，指数函数增长速度最快．

(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图像(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．

【答案】　(1)A　(2)y2

状元随笔　

(1)由题意，指数函数增长速度最快．

(2)

跟踪训练1　分析指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x在区间[1，＋∞)上的增长情况．

状元随笔　在同一平面直角坐标系内作出函数y＝2x和y＝log2x的图像，从图像上可观察出函数的增长变化情况．如图：

题型2　指数、对数函数模型[教材P42例2]

例2　按照《国务院关于印发“十三五”节能减排综合工作方案的通知》(国发〔2016〕74号)的要求，到2020年，全国二氧化硫排放总量要控制在1580万吨以内，要比2015年下降15%.假设“十三五”期间每一年二氧化硫排放总量下降的百分比都相等，2015年后第t(t＝0，1，2，3，4，5)年的二氧化硫排放总量最大值为f(t)万吨．

(1)求f(t)的解析式；

(2)求2019年全国二氧化硫排放总量要控制在多少万吨以内(精确到1万吨)．

教材反思

应用指数函数模型应注意的问题

(1)指数函数模型的应用类型．常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决．

(2)应用指数函数模型时的关键．关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．

(3)y＝a(1＋x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解．

跟踪训练2　某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(　　)

(参考数据：lg1.12≈0.05, lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)

A．2018年B．2019年

C．2020年D．2021年

题型3　函数模型的选择问题[经典例题]

例3　某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？

状元随笔　本例提供了三个不同增长方式的奖励模型，按要求选择其中一个函数作为刻画奖金总数与销售利润的关系．由于公司总的利润目标为1 000万元，所以销售人员的销售利润一般不会超过公司总的利润．于是，只需在区间[10，1 000]上，寻找并验证所选函数是否满足两条要求：第一，奖金总数不超过5万元，即最大值不大于5；第二，奖金不超过利润的25%，即y≤0.25x.

不妨先画出函数图像，通过观察函数图像，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果．

方法归纳

数学知识来源于客观实际，服务于实际问题．数学是人们认识世界、改造世界的工具，其中函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要不同的函数模型来描述．面临一个实际问题，选择合适的数学模型是一件非常重要的事情，根据三种不同的增长模型的特点，选择符合自己的模型，才能产生更大的经济效益．

跟踪训练3　某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双．由于产品质量好、款式新颖，前几个月的销售情况良好．为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂长，就月份x，产量为y给出三种函数模型：y＝ax＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝abx＋c，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？

通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型．

4．5　增长速度的比较

4．6　函数的应用(二)

4．7　数学建模活动：生长规律的描述

新知初探·自主学习

知识点一

2．指数函数(底数a＞1)

3．对数函数(底数a＞1)　随自变量的增大　越来越慢

[基础自测]

1．解析：指数函数增长速度快于幂函数．幂函数增长速率快于对数函数．

答案：A

2．解析：设某商品原来价格为a，依题意得：

a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝a×1.22×0.82＝0.9216a，

(0.9216－1)a＝－0.0784a，

所以四年后的价格与原来价格比较，减少7.84%.

答案：A

3．解析：由散点图和四个函数的特征可知，可选择的模拟函数模型是y＝ax2＋bx＋c.

答案：B

4．解析：设计算机价格平均每年下降p%，

由题意可得＝(1－p%)3，∴p%＝1－，

∴9年后的价格大约为y＝8100×

＝8100×＝300(元)．

答案：300

课堂探究·素养提升

跟踪训练1　解析：指数函数y＝2x，当x由x1＝1增加到x2＝3时，x2－x1＝2，y2－y1＝23－21＝6；

对数函数y＝log2x，当x由x1＝1增加到x2＝3时，x2－x1＝2，而y2－y1＝log23－log21≈1.5850.

由此可知，在区间[1，＋∞)上，指数函数y＝2x随着x的增长函数值的增长速度快，而对数函数y＝log2x的增长速度缓慢．

例2　【解析】　(1)设“十三五”期间每一年二氧化硫排放总量下降的百分比均为r，因为f(0)表示2015年的排放总量，所以由题意可知

f(t)＝f(0)(1－r)t，t＝0，1，2，3，4，5.

又因为

所以f(0)＝，1－r＝，从而

f(t)＝，t＝0，1，2，3，4，5.

(2)由(1)可知

f(4)＝≈1632，

因此2019年全国二氧化硫排放总量要控制在1632万吨以内．

跟踪训练2　解析：设经过x年后该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，则130(1＋12%)x>200，即1.12x>⇒x>＝≈＝3.8，所以该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年．

答案：B

例3　【解析】　借助信息技术画出函数y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图像(图1)．观察图像发现，在区间[10，1000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图像都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图像始终在y＝5的下方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求．

图1

下面通过计算确认上述判断．

先计算哪个模型的资金总数不超过5万元．

对于模型y＝0.25x，它在区间[10，1000]上单调递增，而且当x＝20时，y＝5，因此，当x＞20时，y＞5，所以该模型不符合要求；

对于模型y＝1.002x，由函数图像，并利用信息技术，可知在区间(805，806)内有一个点x0满足＝5，由于它在区间[10，1000]上单调递增，因此当x＞x0时，y＞5，所以该模型也不符合要求；

对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10, 1000]上单调递增，而且当x＝1000时，y＝log71000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．

再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10，1000]时，是否有y≤0.25x，即log7x＋1≤0.25x成立．

令f(x)＝log7x＋1－0.25x，x∈[10，1000]，利用信息技术画出它的图像(图2)．

图2

由图像可知函数f(x)在区间[10，1000]上单调递减，因此f(x)≤f(10)≈－0.3167＜0，

即log7x＋1＜0.25x.

所以，当x∈[10，1000]时，y≤0.25x，说明按模型y＝log7x＋1奖励，奖金不会超过利润25%.

综上所述，模型y＝log7x＋1确实能符合公司要求．

跟踪训练3　解析：由题意，将产量随时间变化的离散量分别抽象为A(1，1)，B(2，1.2)，C(3，1.3)，D(4，1.37)这4个数据．

(1)设模拟函数为y＝ax＋b时，将B，C两点的坐标代入函数式，得解得

所以有关系式y＝0.1x＋1.

由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下，产量会每月上升1000双，这是不太可能的．

(2)设模拟函数为y＝ax2＋bx＋c时，将A，B，C三点的坐标代入函数式，得

解得所以有关系式y＝－0.05x2＋0.35x＋0.7.

结论为：由此法计算4月份的产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且由二次函数性质可知，产量自4月份开始将每月下降(图像开口向下，对称轴为x＝3.5)，不合实际．

(3)设模拟函数为y＝abx＋c时，将A，B，C三点的坐标代入函数式，得

由①，得ab＝1－c，代入②③，得则解得则a＝＝－0.8.所以有关系式y＝－0.8×0.5x＋1.4.结论为：当把x＝4代入得y＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.

比较上述三个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，如：增产的趋势和可能性．经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于厂房新建，随着工人技术和管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但经过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而该指数函数模型恰好反映了这种趋势．因此选用指数函数y＝＋1.4模拟比较接近客观实际．