高中数学人教B版 (2019)必修 第二册6.1.4 数乘向量导学案
展开数乘向量
最新课程标准
通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义．理解两个平面向量共线的含义．
| 新知初探·自主学习——突出基础性 |
知识点一 向量数乘运算
实数λ与向量a的积是一个__________，这种运算叫作向量的________，记作________，它的长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|.
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向______；
当λ<0时，λa的方向与a的方向______．
(3)当λ＝0时，λa＝0.
状元随笔
理解数乘向量应注意的问题
(1)向量数乘的结果依然是向量，要从长度与方向加以理解．
(2)实数与向量可以相乘，但是不能相加、减，如λ＋，λ－均没有意义．
知识点二 共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使____________．
状元随笔 向量共线定理的理解注意点及主要应用
(1)定理中≠不能漏掉. 若＝＝，则实数λ可以是任意实数；若＝0，≠，则不存在
实数λ，使得＝λ.
(2)这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为0的一对实数t，s，使t＋s＝，则与共线；若两个非零向量与不共线，且t＋s＝，则必有t＝s＝0.
基础自测
1.存在两个非零向量a，b，满足b＝－3a，则有( )
A．a与b方向相同B．a与b方向相反
C．|a|＝|3b|D．|a|＝|b|
2．设P，Q两点把线段AB三等分(P靠近A)，则下列向量表达式中错误的是( )
A．＝B．＝
C．＝－D．＝
3．已知a＝e1＋2e2，b＝3e1－2e2，则3a－b＝( )
A．4e2B．4e1
C．3e1＋6e2D．8e2
| 课堂探究·素养提升——强化创新性 |
题型1 用已知向量表示其它向量[经典例题]
例1 如图，▱ABCD的两条对角线相交于点M，且＝a，＝b，用a，b表示，，和.
方法归纳
用已知向量表示其他向量的两种方法
(1)直接法
(2)方程法
当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．
跟踪训练1 如图，ABCD是一个梯形，∥且||＝2||，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝e1，＝e2，试用e1，e2表示下列向量．
(1)＝________；
(2)＝________．
结合图形：由已知得＝2，分别用1，2表示，．
题型2 向量共线条件的应用[教材P146 例2]
例2 已知＝－e，＝5e，判断A，B，C三点是否共线．如果共线，求出AB∶AC.
【解析】 由已知可得
＝－5，
因此A，B，C三点共线，且AC＝5AB，即
AB∶AC＝1∶5.
教材反思
向量共线定理的应用
(1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行．
(2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若＝λ，则与共线，又与有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．
跟踪训练2 (1)已知e1，e2是平面内不共线的两个向量，a＝2e1－3e2，b＝λe1＋6e2，若a，b共线，则λ等于( )
A.－9
B．－4
C．4
D．9
由，共线，得＝m，建立等式求λ．
(2)设a，b为不共线的两个非零向量，已知向量＝a－kb，＝2a＋b，＝3a－b，若A，B，D三点共线，则实数k的值等于( )
A.10
B．－10
C．2
D．－2
A、B、D三点共线，设＝λ，建立等式求k .
6．1.4 数乘向量
新知初探·自主学习
知识点一
向量 数乘 λa (2)相同 相反
知识点二
b＝λa
[基础自测]
1．解析：因为－3<0，所以a与－3a方向相反．且|－3a|＝3|a|，即|b|＝3|a|，故选B.
答案：B
2．解析：由向量数乘的定义可以得到A、B、C中的表达式都是正确的，只有D错误．
答案：D
3．解析：3a－b＝3(e1＋2e2)－(3e1－2e2)＝3e1＋6e2－3e1＋2e2＝8e2.
答案：D
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 在▱ABCD中，
＝＋＝a＋b，
＝－＝a－b.
由平行四边形的两条对角线互相平分，得
＝－＝－ (a＋b)＝－a－b，
＝＝ (a－b)＝a－b，
＝＝a＋b，
＝－＝－a＋b.
跟踪训练1 解析：因为∥，||＝2||，所以＝2，＝.
(1)＝＋＝e2＋e1.
(2)＝＋＋＝－－＋＝－e1－e2＋e1＝e1－e2.
答案：(1)e2＋e1 (2)e1－e2
跟踪训练2 解析：(1)由a，b共线知a＝mb，m∈R，于是2e1－3e2＝m(λe1＋6e2)，即(2－mλ)e1＝(6m＋3)e2.
由于e1，e2不共线，所以
所以λ＝－4.
(2)因为A，B，D三点共线，所以＝λ＝λ(－)，
所以a－kb＝λ(3a－b－2a－b)＝λ(a－2b)，
所以λ＝1，k＝2.
答案：(1)B (2)C.
