高中数学人教B版 (2019)必修 第二册6.1.5 向量的线性运算导学案

向量的线性运算

知识点一　数乘向量的运算律

(1)λ(μa)＝(λμ)a

(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa

(3)λ(a＋b)＝λa＋λb

特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)

λ(a－b)＝λa－λb

知识点二　向量的线性运算

向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算．

状元随笔　向量的线性运算，总规定要先计算数乘向量，再按从左往右的顺序进行计算，若有括号，要先算括号内各项．[－(2)]＋(6)可以简单地写成－2＋6.

基础自测

1.化简：＝(　　)

A．2a－b    B．2b－a

C．b－a    D．a－b

2．下列式子不能化简为的是(　　)

A．＋－    B．(＋)＋(＋)

C．(＋)＋    D．－＋

3．已知有向线段，不平行，则(　　)

A．|＋|>||

B．|＋|≥||

C．|＋|≥||＋||

D．|＋|<||＋||

4．化简：－＋－＋＝________．

题型1　向量的线性运算[经典例题]

例1　(1)计算：

①4(a＋b)－3(a－b)－8a；②(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c).

(2)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求＋(2b－a).

状元随笔　(1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．

(2)对于向量的线性运算，关键是把握运算顺序，即先根据运算律去括号，再进行数乘运算，最后进行向量的加减．

方法归纳

向量线性运算的基本方法

(1)向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．

(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．

跟踪训练1　化简：

(1)－；

(2) .

先由运算律去括号，再进行数乘运算．

题型2　向量线性运算的应用[教材P149例3]

例2　

如图所示，已知＝，＝，求证：＝.

【解析】　由已知得

＝－＝－

＝ (－)＝.

教材反思

(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．

(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．

(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.

(4)A，P，B三点共线⇔＝(1－t)＋t (O为平面内任一点，t∈R).

(5)＝λ＋μ (λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.

跟踪训练2　(1)设m，n是两个不共线的向量，若＝m＋5n，＝－2m＋8n，＝4m＋2n，则(　　)

A．A，B，D三点共线　　B．A，B，C三点共线

C．A，C，D三点共线    D．B，C，D三点共线

(2)若a，b是两个不共线的向量，＝2a＋kb，＝a＋b，＝2a－b，且A，B，D三点共线，则实数k的值等于________.

状元随笔　(1)若一个向量可以由另一个非零向量线性表示，则可以判断两个向量共线；

(2)若两个向量共线，则一个向量可以由另一个非零向量线性表示．

6．1.5　向量的线性运算

新知初探·自主学习

[基础自测]

1．解析：原式＝ [(a＋4b)－(4a－2b)]＝ (－3a＋6b)＝2b－a，选B.

答案：B

2．解析：(＋)＋(＋)＝＋(＋＋)＝，(＋)＋＝＋＋＝，－＋＝＋＝，故B、C、D中的式子都能化简为，只有A项，＋－＝2＋，化简结果不是.

答案：A

3．解析：由向量加法的几何意义得||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b共线的时候取等号，所以本题中，|＋|<||＋||.

答案：D

4．解析：原式＝＋＋＝.

答案：

课堂探究·素养提升

例1　【解析】　(1)①原式＝4a＋4b－3a＋3b－8a＝－7a＋7b．

②原式＝5a－4b＋c－6a＋4b－2c＝－a－c．

(2)原式＝a－b－a＋b＋2b－a＝（）a＋（）b＝－a＋b＝－ (3i＋2j)＋ (2i－j)＝（）i＋（）j＝－i－5j．

跟踪训练1　解析：(1)原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0.

(2)原式＝＝ [(4－)a＋(－3＋＋)b]＝＝a－b．

跟踪训练2　解析：(1)因为＝＋＝2m＋10n＝2，且与有公共点B，故A，B，D三点共线．

(2)因为A，B，D三点共线，所以向量与向量共线，所以＝λ，由＝a＋b，＝2a－b，得＝＋＝3a，所以2a＋kb＝λ(3a)，所以k＝0.

答案：(1)A　(2)0．