高中数学6.3 平面向量线性运算的应用学案及答案

这是一份高中数学6.3 平面向量线性运算的应用学案及答案，共8页。

知识点一 物理学中的量与向量的关系
(1)物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是________.
(2)物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的________法．
知识点二 用向量方法解决平面几何问题的三个步骤
状元随笔 向量方法解决平面几何问题的六个应用
(1)证明线段相等：通过向量运算，证明AB 2＝CD2，即可证明AB＝CD.
(2)证明线段平行：利用AB＝λCD，点A，B，C，D不共线，可以证明AB∥CD，特别地，当λ＝1时，AB綊CD.
(3)证明三点共线：利用AB＝λAC (λ∈R)可以证明A，B，C三点共线，也可变形为OA＝xOB＋yOC (x，y∈R，x＋y＝1)，其中O为空间任意一点．
(4)证明四点共面：利用PA＝λPB＋μPC (λ，μ∈R)可以证明点P，A，B，C四点共面．
基础自测
1.已知点A(－2，－3)，B(2，1)，C(0，1)，则下列结论正确的是( )
A．A，B，C三点共线
B．AB⊥BC
C．A，B，C是等腰三角形的顶点
D．A，B，C是钝角三角形的顶点
2．若向量OF1＝(1，1)，OF2＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为( )
A．(5，0) B．(－5，0)
C．5 D．－5
3．在△ABC中，AB＝c，AC＝b.若点D满足BD＝2DC，则AD＝( )
A．23b＋13c B．53c－23b
C．23b－13c D．13b＋23c
4．力F＝(－1，－2)作用于质点P，使P产生的位移为s＝(3，4)，则力F对质点P做的功是________．
题型1 向量在平面几何中的应用[教材P168例1]
例1 如图所示，MN是△ABC的中位线，求证：MN∥BC且MN＝12BC.
【解析】 因为M，N分别是AB，AC边上的中点，所以AM＝12AB，AN＝12AC，因此MN＝AN－AM＝12AC－12AB＝12 (AC－AB)＝12BC，
从而可知MN∥BC且MN＝12BC.
教材反思
用向量方法解决平面几何问题的步骤
跟踪训练1 (1)在四边形ABCD中，若AB＋CD＝0，AC·BD＝0，则四边形为( )
A.平行四边形
B．矩形
C．等腰梯形
D．菱形
由AB ＋CD＝0可得AB∥CD，|AB|＝|CD|，AC·BD＝0可得AC⊥BD.
(2)若O是△ABC内一点，OA＋OB＋OC＝0，则O为△ABC的( )
A.内心
B．外心
C．垂心
D．重心
作出图形，取AB的中点E，连接OE.
题型2 向量在物理中的应用[经典例题]
例2 如图所示，求力F1，F2的合力F的大小(精确到0.1 N)和方向(精确到分).
方法归纳
用向量方法解决物理问题的“三步曲”
跟踪训练2 一艘船从A点出发以23 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2 km/h，求船实际航行速度的大小与方向(用与水流速间的夹角表示).
用相关向量表示行驶速度和水流速度，再利用平行四边形法则求解．
6．3 平面向量线性运算的应用
新知初探·自主学习
知识点一
(1)向量 (2)加减
知识点二
向量 向量问题 运算
[基础自测]
1．解析：因为BC＝(－2，0)，AC＝(2，4)，所以BC·AC＝－4<0，所以∠C是钝角．
答案：D
2．解析：F1＋F2＝OF1 TX→+OF2＝(1，1)＋(－3，－2)
＝(－2，－1)．
|F1＋F2|＝-22+-12＝5.
答案：C
3.
解析：如图所示，可知AD＝AB+BD＝AB+23BC＝AB+23(AC-AB)＝c＋23(b－c)＝23b＋13c.
答案：A
4．解析：因为W＝F·s＝(－1，－2)·(3，4)＝－11，则力F对质点P做的功是－11.
答案：－11
课堂探究·素养提升
跟踪训练1 解析：(1)由题可知AB∥CD，|AB|＝|CD|，且AC⊥BD，故四边形为菱形．
解析：(2)如图，取AB的中点E，连接OE，
则OA+OB＝2OE.
又OA+OB+OC＝0，
所以OC＝－2OE.又O为公共点，
所以O，C，E三点共线，且|OC|＝2|OE|.
所以O为△ABC的重心．
答案：(1)D (2)D
例2 【解析】 设F1＝(a1，a2)，F2＝(b1，b2)，
则a1＝300cs 30°＝1503，a2＝300sin 30°＝150，b1＝－200cs 45°＝－1002，b2＝200sin 45°＝1002，
所以F1＝(1503，150)，F2＝(－1002，1002)，
则F＝F1＋F2＝(1503，150)＋(－1002，1002)＝(1503－1002，150＋1002)，
|F|＝1503-10022+150+10022＝10013+32-36≈314.6.
设F与x轴的正方向的夹角为θ，则tan θ＝150+100 21503-1002≈2.461 6.由F的坐标知θ是第一象限的角，所以θ≈67°53′.
故两个力的合力约是314.6 N，与x轴正方向的夹角大约为67°53′，与y轴的正方向的夹角大约为22°7′.
跟踪训练2
解析：如图，设AD表示船垂直于对岸的速度，AB表示水流的速度，以AD、AB为邻边作平行四边形ABCD，则AC就是船实际航行的速度．
在Rt△ABC中，|AB|＝2，|BC|＝23，
∴|AC|＝AB2+BC2＝22+232＝4，
∴tan ∠CAB＝232＝3，∴∠CAB＝60°，
故船实际航行速度的大小为4 km/h，方向与水流速间的夹角为60°.．
了解平面向量的线性运算性质及其几何意义．
新知初探·自主学习——突出基础性
课堂探究·素养提升——强化创新性