2021-2022学年北京市海淀区教师进修学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2021-2022学年北京市海淀区教师进修学校八年级（下）期中数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年北京市海淀区教师进修学校八年级（下）期中数学试卷副标题题号一二三四总分得分       一、选择题（本大题共10小题，共20.0分）计算的结果是A.  B.  C.  D. 估计在A. 之间 B. 之间 C. 之间 D. 之间下列二次根式中，与是同类二次根式的是A.  B.  C.  D. 如图，在中，，，四边形是正方形，则正方形的面积是A.
B.
C.
D. 如图，在▱中，平分，，，则▱的周长是A.
B.
C.
D. 如图，圆柱的底面周长是，圆柱高为，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点爬到与之相对的上底面点，那么它爬行的最短路程为A.
B.
C.
D. 下列计算正确的是A.  B.
C.  D. 如图，正方形中，点是对角线上的一点，且，连接，，则的度数为A.
B.
C.
D. 如图，▱的对角线与相交于点，，，，则的长为
A.  B.  C.  D. 如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是，，，，，选取其中三块可重复选取按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，， 二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______．如图，将平行四边形放置在平面直角坐标系中，为坐标原点，若点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是______．

  如图，▱中，与交于点，于，，，，则的长等于______．
如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏西方向航行．一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于，处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为______．如图，点是直线外一点，在上取两点，，连接，分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，，则四边形是平行四边形，理由是______．如图，已知，且，，，则的长是______ ．



  已知：如图，中，，，，则斜边边上的高为______．
  如图，中，点在边上，，，垂直于的延长线于点，，，则边的长为______．
 三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）计算
；







  四、解答题（本大题共8小题，共61.0分）已知：，，求的值．






 在一次综合实践活动中，老师让同学们测量公园里凉亭，之间的距离之间有水池，无法直接测量智慧小组的同学们在公园里选了凉亭，，测得，，，请你根据上述数据求出，之间的距离．







 一副直角三角板如图放置，点在延长线上，，，，，．
求的度数；
试求的长．







 如图，平行四边形的对角线交于点，以，为邻边作平行四边形，交于点，连结．
求证：为中点；
若，，求平行四边形的周长．







 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个顶点叫做格点．
在图中以格点为顶点画一个面积为的正方形；
在图中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为，，；这个三角形的面积为______．







 已知，▱的一边在平面直角坐标系的轴上，点．
如图，点，则的长为______；
如图，当在轴上时，的中垂线分别交，，于点，，．
求证：四边形是平行四边形；
若点，动点，分别从点，以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度同时出发匀速运动，动点自停止，自停止．请问是否存在▱，若存在，直接写出点，的坐标；若不存在，请说明理由．







 阅读下列解题过程
例：若代数式的值是，求的取值范围．
解：原式，
当时，原式，解得舍去；
当时，原式，符合条件；
当时，原式，解得舍去
所以，的取值范围是
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题
当时，化简：______；
若等式成立，则的取值范围是______；
若，求的取值．






 阅读下列材料，完成相应任务．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
如图，中，，是斜边上的中线．求证：．
分析：要证明等于的一半，可以用“倍长法”将延长一倍，如图延长到，使得．
连接，可证，进而得到．请你按材料中的分析写出证明过程；
如图，点是线段上一点，，点是线段上一点，分别连接，，点，分别是和的中点，连接若，，，则______．








答案和解析 1.【答案】
 【解析】解：原式，
故选：．
根据二次根式的性质进行计算即可．
此题主要考查了二次根式的性质，关键是掌握．
 2.【答案】
 【解析】解：，
即，
在到之间．
故选：．
根据二次根式的性质得出，即，可得答案．
本题考查了估算无理数的大小和二次根式的性质，解此题的关键是知道在和之间．
 3.【答案】
 【解析】解：的被开方数是．
A.，被开方数是，所以与不是同类二次根式，故本选项不合题意；
B.，与不是同类二次根式，故本选项不合题意；
C.，被开方数是，所以与是同类二次根式，故本选项符合题意；
D.，被开方数是，所以与不是同类二次根式，故本选项不合题意；
故选：．
根据同类二次根式的定义进行解答．
本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
 4.【答案】
 【解析】解：在中，，
由勾股定理得：，
四边形是正方形，
，
故选：．
在中，通过勾股定理得，从而解决问题．
本题主要考查了勾股定理，熟记勾股定理内容：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，是解题的关键．
 5.【答案】
 【解析】解：在▱中，平分，
，，，
，
，
，
，，
，
平行四边形的周长．
故选：．
利用平行四边形的性质以及角平分线的性质得出，进而得出求出即可．
此题主要考查了平行四边形的性质以及角平分线的性质，得出是解题关键．
 6.【答案】
 【解析】【分析】
本题考查了平面展开最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
把圆柱沿母线剪开后展开，点展开后的对应点为，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为，如图，由于，，然后利用勾股定理计算出即可．
【解答】
解：把圆柱沿母线剪开后展开，点展开后的对应点为，则蚂蚁爬行的最短路径为，如图，

，，
在，，
所以它爬行的最短路程为．
故选D．  7.【答案】
 【解析】解：原式，所以选项不符合题意；
B.原式，所以选项符合题意；
C.原式，所以选项不符合题意；
D.与不能合并，所以选项不符合题意．
故选：．
根据二次根式的性质对、进行判断；根据二次根式的乘法法则对进行判断；根据二次根式的加减法对进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
 8.【答案】
 【解析】解：四边形为正方形，
，，
，
，
．
故选：．
根据正方形的性质得到，，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，然后计算即可．
本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
 9.【答案】
 【解析】解：▱的对角线与相交于点，
，，，
，，，
，，
，
，
故选：．
利用平行四边形的性质和勾股定理易求的长，进而可求出的长．
本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，关键是利用平行四边形的性质和勾股定理易求的长．
 10.【答案】
 【解析】解：当选取的三块纸片的面积分别是，，时，围成的直角三角形的面积是，
当选取的三块纸片的面积分别是，，时，围成的直角三角形的面积是，
当选取的三块纸片的面积分别是，，时，围成的直角三角形的面积是，
，
因为当选取，，；，，；，，；，，；四种情况时，都不能构成直角三角形，
要使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是，，．
故选：．
运用勾股定理将符合条件的三种情形列举出来，分别计算直角三角形的面积，比较大小即可．
本题主要考查了勾股定理，实数的大小比较，以及三角形的面积，运用分类思想是解题的关键．
 11.【答案】
 【解析】解：由题意，得
，
解得，
故答案为：．
根据被开方数是非负数，可得答案．
此题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 12.【答案】
 【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
故答案为．
利用平行四边形的性质即可解决问题；
本题考查平行四边形的性质、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 13.【答案】
 【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
故答案为．
由平行四边形的性质可得，，在中，由勾股定理可求，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．
 14.【答案】
 【解析】解：由题意可得，，
，，
，
故答案为：．
根据题意，可得，利用路程速度时间，分别算出，的长度，在直角中，利用勾股定理计算出．
本题考查了勾股定理的应用和方位角，利用方位角知识，准确判断出是解决本题的关键．
 15.【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形
 【解析】解：根据尺规作图的画法可得，，，
四边形是平行四边形，
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
先根据分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，，得出，，再判断四边形是平行四边形的依据．
本题主要考查了平行四边形的判定，解题时注意：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言为：，，四边行是平行四边形．
 16.【答案】
 【解析】解：过作交的延长线于点，则，，
在中，
，
．
故答案为：．
要求的长，关键是要把放到直角三角形中，利用勾股定理来解，所以首先要添加辅助线，过作交的延长线于点，然后再求值，即可解答．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
 17.【答案】
 【解析】解：，
由勾股定理得：；
设斜边上的高为，
则，
解得．
边上的高为，
故答案为：．
由勾股定理直接可求出的长，设斜边上的高为，则，代入计算即可．
本题主要考查了三角形的面积，勾股定理等知识，运用面积法求斜边上的高是解题的关键．
 18.【答案】
 【解析】解：延长到，使得，连接，如图所示：
，
是等腰三角形，
，
过点作，交于点，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：．
延长到，使得，连接，过点作，于点，则是等腰三角形，得出，再证明，，，求出、的长，最后由勾股定理求出的长与的长即可．
本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；作辅助线构建等腰三角形是解题的关键．
 19.【答案】解：原式
；
原式

．
 【解析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
利用完全平方公式和平方差公式计算．
本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
 20.【答案】解：，，
，，
．
 【解析】先计算出与的值，再利用完全平方公式变形得到原式，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了二次根式的化简求值：利用整体代入的方法可简化计算．
 21.【答案】解：连接

在中，，，
，
由勾股定理得，
，，
在中，，
由勾股定理得，
答：，之间的距离为．
 【解析】连接，构造直角三角形，利用勾股定理求得答案即可．
考查了勾股定理的应用，解题的关键是了解如何构造直角三角形，难度不大．
 22.【答案】解：，，
，
，，
，
，
，
，
；

过点作于点，
在中，，，，
，，
，
，
，
在中，，，
，
，

 【解析】利用平行线的性质和给出的已知数据即可求出的度数；
过点作于点，根据题意可求出的长度，然后在中可求出，进而可得出答案．
本题考查了解直角三角形的性质及平行线的性质，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立三角形利用所学的三角函数的关系进行解答．
 23.【答案】解：证明：四边形是平行四边形，
，
四边形为平行四边形，
，，
，，
四边形为平行四边形，
，
即为中点；
四边形是平行四边形，，
四边形是菱形，
四边形为平行四边形，，
四边形为矩形，
，
，
，
平行四边形的周长．
 【解析】由平行四边形得，由平行四边形得，，进而证明，，得四边形为平行四边形，进而得结论；
先证明平行四边形是菱形，再证明平行四边形是矩形，求得，进而求得菱形的周长．
本题主要考查了平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定，矩形的性质与判定，难度中等，关键综合应用这些定理进行推理．
 24.【答案】
 【解析】解：正方形的面积为，
正方形的边长为．
如图，正方形即为所求；

如图，即为所求，．
故答案为：．
先求出正方形的边长边长，再根据勾股定理画出图形即可；
根据勾股定理画出三角形，再求出其面积即可．
本题考查的是作图应用与设计作图，熟知勾股定理是解答此题的关键．
 25.【答案】
 【解析】解：点，
；
故答案为：；
证明：四边形是平行四边形，
，
是的中垂线，
，
，
，，
≌，
，
又，
四边形是平行四边形；
解：是的中垂线，
，
平行四边形是菱形，
，
点，点，
，，
，
，
，
，
，
当点在上时，点在上时，四边形为平行四边形，
，
设运动时间为秒，
，
，
，
，
点，点．
由两点距离公式可求解；
由“”可证≌，可得，可得结论；
先证平行四边形是菱形，可得，由勾股定理可求，，由平行四边形的性质可求解．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 26.【答案】 
 【解析】解：，
，，
原式

；
由题意可知：，
当时，，，
原方程化为：，
，符合题意；
当时，
，，
，
，故符合题意；
当时，
，，
，
，符合题意；
综上所述，；
原方程可化为：，
当时，，，
原方程化为：，
，符合题意；
当时，
，，
，
此方程无解，故不符合题意；
当时，
，，
，
，符合题意；
综上所述，或；
故答案为：；
根据二次根式的性质即可求出答案；
先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案；
先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案；
本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
 27.【答案】
 【解析】证明：延长到，使得，连接、，如图所示：
是斜边上的中线，
，
又，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形，
，
，
；
解：过点在上方作，过点作于，过点在上方作，过点作于，连接、、，延长交于，如图所示：
则四边形、四边形、四边形都为矩形，
四边形、四边形均为矩形，
，，
在中，由勾股定理得：，
点，分别是和的中点，四边形、四边形都是矩形，
点，分别是和的中点，
是的中位线，
，
故答案为：．
延长到，使得，连接、，证四边形是平行四边形，再由，得平行四边形是矩形，则，进而得出结论；
过点在上方作，过点作于，过点在上方作，过点作于，连接、、，延长交于，证四边形、四边形均为矩形，得，，再由勾股定理得，然后证是的中位线，即可求解．
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理以及转化思想等知识，熟练掌握矩形的判定与性质，证明为的中位线是解题的关键．