高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.4 二面角课后测评

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.4 二面角课后测评，共10页。
课时跟踪检测（八）  二面角 [A级　基础巩固]1．平面α的一个法向量为n1＝(4，3，0)，平面β的一个法向量为n2＝(0，－3，4)，则平面α与平面β所成角的余弦值为(　　)A．－　　　　　　　　　  B．C．     D．以上都不对解析：选B　cos 〈n1，n2〉＝＝＝－，∴平面α与β的所成角的余弦值为.2．过正方形ABCD的顶点A作线段AP垂直于平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP所成的锐二面角的大小为(　　)A．     B．C．     D．以上都不正确解析：选A　设AP＝AB＝1，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，P(0，0，1)，D(0，1，0)，C(1，1，0)，＝(1，1，－1)，＝(0，1，－1).设平面PCD的法向量m＝(x，y，z)，则取y＝1，得m＝(0，1，1)，平面ABP的法向量n＝(0，1，0)，设平面ABP与平面CDP所成的角为θ，则cos θ＝＝＝，∴θ＝.3．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，二面角B­AC­D的大小为(　　)A．30°     B．45°C．60°     D．90°解析：选D　如图所示，欲使得三棱锥体积最大，∵三棱锥底面积一定，∴只须三棱锥的高最大即可，即当平面BAC⊥平面DAC时，三棱锥体积最大，∴当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，二面角B­AC­D的大小为90°.4．如图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折成大小等于θ的二面角B′­AC­D，M，N分别为AC，B′D的中点，若θ∈，则线段MN长度的取值范围为(　　)A．     B．C．     D．[1，]解析：选A　如图，连接B′M，DM，得AC⊥B′M，AC⊥DM，∴∠DMB′是二面角B′­AC­D的平面角，且B′M＝DM＝，在等腰△DMB′中，MN⊥B′D，且∠DMN＝∠DMB′＝θ，θ∈，则MN＝DM cos θ∈.∴线段MN长度的取值范围为.5．(多选)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是(　　)A．B1的坐标为(2，2，3)B．＝(－2，0，3)C．平面A1BC1的一个法向量为(－3，3，－2)D．二面角B­A1C1­B1的余弦值为解析：选ABD　如图，因为AB＝AD＝2，AA1＝3，所以A1(2，0，3)，B(2，2，0)，B1(2，2，3)，C1(0，2，3)，所以＝(－2，0，3)，＝(0，2，－3)，即A、B正确；设平面A1BC1的法向量m＝(x，y，z)，所以即令x＝－3，则y＝－3，z＝－2，即平面A1BC1的一个法向量为m＝(－3，－3，－2)，故C错误；由几何体易得平面A1B1C1的一个法向量为n＝(0，0，1)，由于cos 〈m，n〉＝＝＝－，结合图形可知二面角B­A1C1­B1的余弦值为，故D正确；故选A、B、D.6．已知P为锐二面角α­l­β内一点，且P到面α、β及棱l的距离之比为1∶∶2，则此二面角的度数为________．解析：如图，作PA⊥α于A，PB⊥β于B，PC⊥l于C，连接BC，AC，则易得∠ACB为二面角的平面角．又sin ∠PCB＝，∠PCB＝45°，sin ∠PCA＝，∴∠PCA＝30°，故二面角的平面角为∠PCA＋∠PCB＝75°.答案：75°7．若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝，则二面角P­BC­A的大小为________．解析：取BC的中点O，连接PO，AO(图略)，则∠POA就是二面角P­BC­A的平面角．又PO＝AO＝，PA＝，所以∠POA＝90°.答案：90°8.如图，在边长为2的正方体中，M为棱AB的中点，则二面角B1­CM­B的正切值是________．解析：如图，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，B(2，2，0)，B1(2，2，2)，C(0，2，0)，M(2，1，0)，＝(2，－1，0)，＝(2，0，2)，设平面CMB1的法向量m＝(x，y，z)，则取x＝1，得m＝(1，2，－1)，平面CBM的法向量n＝(0，0，1)，设二面角B1­CM­B的平面角为θ，则cos θ＝＝＝，∴tan θ＝.∴二面角B1­CM­B的正切值为.答案：9．如图所示，四边形ABCD是正方形，V是平面ABCD外一点，且VA＝VB＝VC＝AB，求二面角A­VB­C的余弦值．解：如图，取VB的中点为E，连接AE，CE.∵VA＝VB＝VC＝AB，四边形ABCD为正方形，∴AE⊥VB，CE⊥VB.∴∠AEC是二面角A­VB­C的平面角．设AB＝a，连接AC，在△AEC中，AE＝EC＝a，AC＝a，由余弦定理可知：cos ∠AEC＝＝－，∴所求二面角A­VB­C的余弦值为－.10．如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120°.(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；(2)求二面角B­A1D­A的正弦值．解：在平面ABCD内，过点A作AE⊥AD，交BC于点E.因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AE，AA1⊥AD.如图，以{，，}为正交基底，建立空间直角坐标系Axyz.因为AB＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120°，则A(0，0，0)，B(，－1，0)，D(0，2，0)，E(，0，0)，A1(0，0，)，C1(，1，).(1)＝(，－1，－)，＝(，1，).则cos 〈，〉＝＝＝－.因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为.(2)可知平面A1DA的一个法向量为＝(，0，0).设m＝(x，y，z)为平面BA1D的一个法向量，又＝(，－1，－)，＝(－，3，0)，则即不妨取x＝3，则y＝，z＝2，所以m＝(3，，2)为平面BA1D的一个法向量，从而cos 〈，m〉＝＝＝.设二面角B­A1D­A的大小为θ，则|cos θ|＝.因为θ∈[0，π]，所以sin θ＝＝.因此二面角B­A1D­A的正弦值为. [B级　综合运用]11．PA，PB，PC是从点P引出的三条射线，每两条的夹角都是60°，每两条确定一个平面，则两平面所成的锐二面角的余弦值为(　　)A．　　　　　　　  B．C．     D．解析：选B　如图，在PC上取点D，作DO⊥面PAB，则O在∠APB的平分线上．作OE⊥PB，则DE⊥PB.∴∠DEO为两平面所成的锐二面角的平面角．设PD＝2，则PE＝1，DE＝，OE＝，∴cos∠DEO＝＝.12.(多选)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为线段AA1上的一个动点，F为线段B1C1上的一个动点，则平面EFB与底面ABCD所成的锐二面角的平面角余弦值可能为(　　)A．     B．C．     D．解析：选ABCD　在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为线段AA1上的一个动点，F为线段B1C1上的一个动点，当F与B1重合时，平面EFB即为平面ABB1A1，此时平面EFB与底面ABCD所成的二面角的平面角为90°，余弦值为0，当E与A重合，F与C1重合时，平面EFB是平面ABC1D1，此时平面EFB与底面ABCD所成的锐二面角的平面角为45°，余弦值为.∴平面EFB与底面ABCD所成的锐二面角的平面角余弦值的取值范围是.13．如图，在平面角为锐角的二面角α­EF­β中，A∈EF，AG⊂α，∠GAE＝45°，若AG与β所成角为30°，则二面角α­EF­β的大小为________．解析：作GH⊥β，垂足为H，连接AH，则∠GAH为AG与β所成的角，∠GAH＝30°，作HB⊥EF于B，连接GB，则GB⊥EF，∴∠GBH为α­EF­β的平面角．设GB＝1，则AB＝1，AG＝，∴GH＝，∴sin ∠GBH＝＝，∠GBH＝45°，∴α­EF­β为45°.答案：45°14．如图①，正方形ABCD的边长为4，AB＝AE＝BF＝EF，AB∥EF，把四边形ABCD沿AB折起，使得AD⊥平面AEFB，G是EF的中点，如图②.(1)求证：AG⊥平面BCE；(2)求二面角C­AE­F的余弦值．解：(1)证明：如图，连接BG，因为BC∥AD，AD⊥底面AEFB，所以BC⊥底面AEFB，又AG⊂底面AEFB，所以BC⊥AG，因为AB＝AE，所以四边形ABGE为菱形，所以AG⊥BE，又BC∩BE＝B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，所以AG⊥平面BCE.(2)由(1)知四边形ABGE为菱形，AG⊥BE，AE＝EG＝BG＝AB＝4，设AG∩BE＝O，所以OE＝OB＝2，OA＝OG＝2，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0，0，0)，A(－2，0，0)，E(0，－2，0)，F(4，2，0)，C(0，2，4)，D(－2，0，4)，所以＝(2，2，4)，＝(2，－2，0)，设平面ACE的法向量为n＝(x，y，z)，则令y＝1，则x＝，z＝－，即平面ACE的一个法向量为n＝(，1，－)，易知平面AEF的一个法向量为＝(0，0，4)，设二面角C­AE­F的大小为θ，由图易知θ∈，所以cos θ＝＝＝.故二面角C­AE­F的余弦值为. [C级　拓展探究]15.如图，矩形ABCD的边AB＝a，BC＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝2，现有数据：①a＝；②a＝1；③a＝；④a＝2；⑤a＝4.(1)当BC边上存在点Q，使PQ⊥QD时，a可以取所给数据中的哪些值？请说明理由；(2)记满足(1)的条件下的Q点为Qn(n＝1，2，3，…)，当a取所给数据中的最小值时，这样的点Qn有几个？试求二面角Qn­PA­Qn＋1的大小．解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，D(0，2，0)，设Q(a，t，0)(|BQ|＝t，0≤t≤2)，于是有＝(a，t，－2)，＝(－a，2－t，0).由PQ⊥QD，得·＝－a2＋t(2－t)－2×0＝0，即t2－2t＋a2＝0.此方程有解，则Δ＝4－4a2≥0，∴0≤a≤1.当a＝时，方程的解为t＝或t＝，满足0≤t≤2；当a＝1时，方程的解为t＝1，也满足0≤t≤2.因此，满足条件的a的取值为a＝或a＝1.(2)在满足(1)的条件下，a取所给数据中的最小值时，a＝.由(1)知，此时t＝或t＝.∴满足条件的点Q是Q1，Q2，连接AQ1，AQ2，PQ1，PQ2(图略)，则所求的二面角应为Q1­PA­Q2.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥Q1A，PA⊥Q2A，∴∠Q1AQ2即所求二面角的平面角．∵＝，＝，∴cos 〈，〉＝＝＝，∴〈，〉＝30°，即∠Q1AQ2＝30°.∴二面角Q1­PA­Q2的大小为30°