新人教B版高中数学选择性必修第一册课时检测10习题课空间向量在立体几何中的应用含解析 试卷

课时跟踪检测（十）  空间向量在立体几何中的应用

[A级　基础巩固]

1．已知A(1，－1，2)，B(2，3，－1)，C(－1，0，0)，则△ABC的面积是(　　)

A．　　　　　　　　  B．

C．     D．

解析：选C　易知＝(1，4，－3)，＝(－2，1，－2)，∴||＝，||＝3，cos 〈，〉＝＝，∴sin 〈，〉＝＝，∴S△ABC＝||·||sin 〈，〉＝.

2.如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，点G为正方形ABCD的中心，点E为A1D1的中点，点F为AE的中点，则(　　)

A.C，E，F，G四点共面，且CF＝EG

B．C，E，F，G四点共面，且CF≠EG

C．C，E，F，G四点不共面，且CF＝EG

D．C，E，F，G四点不共面，且CF≠EG

解析：选B　如图，连接AC，则点G在AC上且AG＝GC，连接EC.

因为AF＝FE，AG＝GC，所以由三角形的中位线定理可知FG∥EC，

所以C，E，F，G四点共面．

以D为原点，分别为DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(2，0，0)，E(1，0，)，G(1，1，0)，C(0，2，0)，F，

所以CF＝＝，

EG＝＝2≠CF.故选B.

3．(多选)已知四边形ABCD为正方形，GD⊥平面ABCD，四边形DGEA与四边形DGFC也都为正方形，连接EF，FB，BE，H为BF的中点，下列结论正确的是(　　)

A．DE⊥BF

B．EF与CH所成角为

C．EC⊥平面DBF

D．BF与平面ACFE所成角为

解析：选ABC　由题意得，所得几何体可以补形成一个正方体，如图所示．

以D为原点，DA，DC，DG所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．

设AD＝DC＝DG＝2，

则D(0，0，0)，C(0，2，0)，E(2，0，2)，F(0，2，2)，B(2，2，0)，H(1，2，1).

＝(2，0，2)，＝(－2，0，2)，∴·＝－4＋0＋4＝0，

∴⊥，∴DE⊥BF，A是正确的；

＝(－2，2，0)，＝(1，0，1).

设EF与CH所成的角为θ，θ∈，

∴cos θ＝＝.

∵θ∈，∴θ＝，B是正确的；

＝(－2，2，－2)，＝(2，2，0)，＝(0，2，2).设n＝(x，y，z)是平面DBF的一个法向量，∴·n＝0，·n＝0，即取x＝1，

∴n＝(1，－1，1).∵＝－2n，∴∥n，∴EC⊥平面DBF，C是正确的．

＝(－2，0，2)，由图易得m＝(1，1，0)是平面ACFE的一个法向量，设BF与平面ACFE所成的角为θ，θ∈，∴sin θ＝|cos 〈，m〉|＝＝，∴θ＝，D是不正确的．故选ABC.

4.如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC的中点，则二面角C­BF­D的正切值为(　　)

A．     B．

C．     D．

解析：选D　如图，连接BD交AC于点O，连接OF，∵四边形ABCD为菱形，∴O为AC的中点，AC⊥BD.∵F为PC的中点，∴OF∥PA.∵PA⊥平面ABCD，∴OF⊥平面ABCD.以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，∴B，F，C，D，结合图形可知，＝，且为平面BDF的一个法向量．由＝，＝，可求得平面BCF的一个法向量n＝(1，，).

∴cos 〈n，〉＝，sin 〈n，〉＝，∴tan 〈n，〉＝.

5.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF之和为________．

解析：以D1为坐标原点，分别以D1A1，D1C1，D1D所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系(图略)，设CE＝x，DF＝y，则易知E(x，1，1)，B1(1，1，0)，F(0，0，1－y)，B(1，1，1)，∴＝(x－1，0，1)，＝(1，1，y)，由于B1E⊥平面ABF，所以·＝(1，1，y)·(x－1，0，1)＝0，则x＋y＝1.

答案：1

6．正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是D1C1，AB的中点，则A1B1与截面A1ECF所成的角的正切值为________．

解析：如图，设棱长为2，建立以A1为原点，A1B1，A1D1，A1A所在直线为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，则平面A1ECF的一个法向量为n＝(－2，1，1)，A1B1的方向向量为(2，0，0)，设A1B1与截面A1ECF的夹角为θ，则sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝，cos θ＝，

∴tan θ＝.

答案：

7．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M为BB1的中点，N为BC的中点．

(1)求点M到直线AC1的距离；

(2)求点N到平面MA1C1的距离．

解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，M(2，0，1)，C1(0，2，2)，直线AC1的一个单位方向向量为s0＝，＝(2，0，1)，故点M到直线AC1的距离d＝＝＝.

(2)设平面MA1C1的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0，且n·＝0，即(x，y，z)·(0，2，0)＝0，且(x，y，z)·(2，0，－1)＝0，即y＝0且2x－z＝0，取x＝1，得z＝2，故n＝(1，0，2)为平面MA1C1的一个法向量，与n同向的单位向量为n0＝，因为N(1，1，0)，所以＝(－1，1，－1)，故点N到平面MA1C1的距离d＝|·n0|＝.

[B级　综合运用]

8．长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝5，P是棱DD1上的动点，则△PA1C的面积最小时，DP＝(　　)

A．1     B．2

C．     D．4

解析：选A　根据题意，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．

设DP＝x(0≤x≤5)，故可得P(0，2，x)，A1(0，0，5)，C(1，2，0)，

由空间中两点之间的距离公式可得

A1P＝＝，

PC＝，A1C＝.

故在△PA1C中，由余弦定理可得

cos ∠A1PC＝

＝，

则sin ∠A1PC＝

＝，

故S△PA1C＝sin∠A1PC·A1P·PC＝×××＝＝，当且仅当x＝1时，△PA1C的面积最小，所以DP＝1.故选A.

9．如图①所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图②所示．

(1)求证A1C⊥平面BCDE；

(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小．

解：(1)证明：∵AC⊥BC，DE∥BC，∴DE⊥AC，∴DE⊥A1D，DE⊥CD，∴DE⊥平面A1DC，又A1C⊂平面A1DC，∴DE⊥A1C.又∵A1C⊥CD，∴A1C⊥平面BCDE.

(2)以C为原点，CB，CD，CA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Cxyz，如图所示，则易得A1(0，0，2)，D(0，2，0)，M(0，1，)，B(3，0，0)，E(2，2，0).设平面A1BE的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0，n·＝0，又＝(3，0，－2)，＝(－1，2，0)，∴令y＝1，则x＝2，z＝，∴n＝(2，1，).设CM与平面A1BE所成的角为θ.∵＝(0，1，)，∴sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝＝，∴CM与平面A1BE所成角的大小为.

10.直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝1，E，F分别是CC1，BC的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上的点．

(1)证明：DF⊥AE；

(2)是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成角的余弦值为？若存在，说明点D的位置；若不存在，说明理由．

解：(1)证明：因为AE⊥A1B1，A1B1∥AB，所以AE⊥AB.

又因为AA1⊥AB，AA1∩AE＝A，所以AB⊥平面A1ACC1.

又因为AC⊂平面A1ACC1，所以AB⊥AC.

以点A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则有

A(0，0，0)，E，F，A1(0，0，1)，B1(1，0，1).

设D(x，y，z)，＝λ且λ∈[0，1]，即(x，y，z－1)＝λ(1，0，0)，则D(λ，0，1)，

所以＝.

因为＝，所以·＝－＝0，所以DF⊥AE.

(2)存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成角的余弦值为.理由如下：

由题可知平面ABC的一个法向量为m＝(0，0，1).

设平面DEF的法向量为n＝(a，b，c)，则

因为＝，＝，

所以即

令c＝2(1－λ)，则n＝(3，1＋2λ，2(1－λ)).

因为平面DEF与平面ABC所成角的余弦值为，

所以|cos 〈m·n〉|＝＝，

即＝，

解得λ＝或λ＝(舍)，所以当D为A1B1的中点时满足要求．

[C级　拓展探究]

11.如图所示，一块均匀的正三角形面的钢板的质量为500 kg，在它的顶点处分别受力F1，F2，F3，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都是60°，且|F1|＝|F2|＝|F3|＝200 kg.这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多少时，才能提起这块钢板？

解：如图所示，以点A为原点，平面ABC为xAy坐标平面，方向为y轴正方向，||为y轴的单位长度，建立空间直角坐标系Axyz，则正三角形的顶点坐标分别为A(0，0，0)，B(0，1，0)，C.

设力F1方向上的单位向量坐标为(x，y，z)，由于F1与，的夹角均为60°，利用向量的数量积运算，得

cos 60°＝＝(x，y，z)·(0，1，0)，①

cos 60°＝＝(x，y，z)·.②

由①②解得x＝－，y＝.

注意到向量(x，y，z)是单位向量，x2＋y2＋z2＝1，因此z＝.

于是F1＝200.

类似地，可以求出

F2＝200，

F3＝200.

这样，它们的合力

F1＋F2＋F3＝200

＝200(0，0，)，

这说明，作用在钢板上的合力方向向上，大小为200 kg，作用点为O.

由于200＜500，

所以钢板仍静止不动．

要提起这块钢板，设|F1|，|F2|，|F3|均为k，则需k＞500，

解得k＞＝.

因此，要提起这块钢板，|F1|，|F2|，|F3|均要大于 kg.