2020-2021学年2.2.4 点到直线的距离一课一练

课时跟踪检测（十六）  点到直线的距离

[A级　基础巩固]

1．点P(1，－1)到直线l：3y＝2的距离是(　　)

A．3　　　　　　　　　　  B．

C．1     D．

解析：选B　点P(1，－1)到直线l的距离d＝＝，故选B.

2．已知点M(1，4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m＝(　　)

A．0     B．

C．3     D．0或

解析：选D　点M到直线l的距离d＝＝，所以＝3，解得m＝0或m＝，故选D.

3．(多选)与两平行直线l1：3x－4y－5＝0和l2：3x－4y＋7＝0距离之比为1∶2的直线方程为(　　)

A．3x－4y－1＝0     B．3x－4y＋3＝0

C．3x－4y－17＝0     D．3x－4y＋19＝0

解析：选AC　设所求直线方程为3x－4y＋C＝0(C≠－5且C≠7).

∴由题意可得∶＝1∶2.

∴|C－7|＝2|C＋5|.∴C＝－1或－17.

∴所求的直线方程为3x－4y－1＝0或3x－4y－17＝0.

4．已知点A(1，3)，B(3，1)，C(－1，0)，则△ABC的面积等于(　　)

A．3     B．4

C．5     D．6

解析：选C　设AB边上的高为h，则S△ABC＝|AB|·h.|AB|＝ ＝2，AB边上的高h就是点C到直线AB的距离．AB边所在的直线方程为＝，即x＋y－4＝0.点C到直线x＋y－4＝0的距离为＝，因此，S△ABC＝×2×＝5.

5．已知两平行直线l1，l2分别过点P(－1，3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是(　　)

A．(0，＋∞)     B．[0，5]

C．(0，5]     D．[0，]

解析：选C　当直线l1，l2与直线PQ垂直时，它们之间的距离d达到最大，此时d＝＝5，∴0＜d≤5.

6．已知A(－2，－4)，B(1，5)两点到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为________．

解析：由题意得＝，解得a＝－3或3.

答案：－3或3

7．已知直线3x＋y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则m＝________，它们之间的距离是________．

解析：∵3x＋y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，∴m＝2.直线6x＋2y＋1＝0可以化为3x＋y＋＝0，由两条平行直线间的距离公式，得d＝＝.

答案：2　

8．若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则的值为________．

解析：由题意知＝≠，

∴a＝－4，c≠－2，

则6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0，于是＝，解得c＝2或－6，∴＝±1.

答案：±1

9．求过点P(0，2)且与点A(1，1)，B(－3，1)等距离的直线l的方程．

解：法一：∵点A(1，1)与B(－3，1)到y轴的距离不相等，∴直线l的斜率存在，设为k.

又直线l在y轴上的截距为2，则直线l的方程为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0.

由点A(1，1)与B(－3，1)到直线l的距离相等，

得＝，解得k＝0或k＝1.

∴直线l的方程是y＝2或x－y＋2＝0.

法二：当直线l过线段AB的中点时，直线l与点A，B的距离相等．

∵AB的中点是(－1，1)，又直线l过点P(0，2)，

∴直线l的方程是x－y＋2＝0；

当直线l∥AB时，直线l与点A，B的距离相等．

∵直线AB的斜率为0，

∴直线l的斜率为0，∴直线l的方程为y＝2.

综上所述，满足条件的直线l的方程是x－y＋2＝0或y＝2.

10．已知直线l过点P(0，1)，且分别与直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0交于B，A两点，线段AB恰被点P平分．

(1)求直线l的方程；

(2)设点D(0，m)，且AD∥l1，求△ABD的面积．

解：(1)∵点B在直线l1上，∴可设B(a，8－2a).

又P(0，1)是AB的中点，∴A(－a，2a－6).

∵点A在直线l2上，∴－a－3(2a－6)＋10＝0，

解得a＝4，即B(4，0).

故直线l的方程是x＋4y－4＝0.

(2)由(1)，知A(－4，2).

又AD∥l1，∴kAD＝＝－2，∴m＝－6.

点A到直线l1的距离d＝＝，

|AD|＝ ＝4，

∴S△ABD＝|AD|·d＝×4×＝28.

[B级　综合运用]

11．(2021·海南华侨中学高一月考)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B(－2，0)，若将军从山脚下的点A(2，0)处出发，河岸线所在直线方程为x＋y＝3，则“将军饮马”的最短总路程为(　　)

A．4     B．5

C．     D．3

解析：选C　根据题意，作图如下：

因为点A(2，0)，设其关于直线x＋y＝3的对称点为A1(x0，y0)，

故可得

解得x0＝3，y0＝1，即A1(3，1)，

故“将军饮马”的最短总路程为|A1B|＝＝.故选C.

12．(多选)如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若p，q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对(p，q)是点M的“距离坐标”．则下列四个命题中正确的为(　　)

A．若p＝q＝0，则“距离坐标”为(0，0)的点有且仅有1个

B．若pq＝0，且p＋q≠0，则“距离坐标”为(p，q)的点有且仅有2个

C．若pq≠0，则“距离坐标”为(p，q)的点有且仅有4个

D．若p＝q，则点M在一条过点O的直线上

解析：选ABC　A项，若p＝q＝0，则“距离坐标”为(0，0)的点是两条直线的交点O，因此有且仅有1个，故正确．B项，若pq＝0，且p＋q≠0，则“距离坐标”为(0，q)或(p，0)的点有且仅有2个，故正确．C项，若pq≠0，则“距离坐标”为(p，q)的点有且仅有4个，如图，故正确．D项，若p＝q，则点M的轨迹是两条过点O的直线，分别为交角的平分线所在直线，故不正确．故选A、B、C.

13．点(5，2)到直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距离的最大值为________．

解析：直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5，即m(x＋2y－1)－x－y＋5＝0.

联立解得

∴直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5过定点(9，－4)，

∴点(5，2)到直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距离的最大值为 ＝2.

答案：2

14．在直线l：x－y－1＝0上求两点P，Q，使得：

(1)P到A(4，1)与B(0，4)的距离之差最大；

(2)Q到A(4，1)与C(3，0)的距离之和最小．

解：(1)如图，设点B关于l的对称点B′的坐标为(a，b)，连接BB′，

则kBB′·kl＝－1，即×1＝－1，

∴a＋b－4＝0.①

∵BB′的中点在直线l上，

∴－－1＝0，即a－b－6＝0.②

由①②得∴点B′的坐标为(5，－1).

于是AB′所在直线的方程为＝，即2x＋y－9＝0.

易知||PB|－|PA||＝||PB′|－|PA||，且当P，B′，A三点共线时||PB′|－|PA||最大．

∴联立直线l与AB′的方程，解得x＝，y＝，

即l与AB′的交点坐标为.故点P的坐标为.

(2)如图，设点C关于l的对称点为C′，可求得C′的坐标为(1，2)，∴AC′所在直线的方程为x＋3y－7＝0.

易知|QA|＋|QC|＝|QA|＋|QC′|，且当Q，A，C′三点共线时，|QA|＋|QC′|最小．

∴联立直线AC′与l的方程，解得x＝，y＝，

即AC′与l的交点坐标为.故点Q的坐标为.

[C级　拓展探究]

15．已知三条直线：l1：2x－y＋a＝0(a>0)，l2：－4x＋2y＋1＝0，l3：x＋y－1＝0，且l1与l2之间的距离是.

(1)求a的值；

(2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：

①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是 ∶.若能，求P点坐标；若不能，请说明理由．

解：(1)l2可化为2x－y－＝0，

∴l1与l2的距离d＝＝，

∴＝.

∵a>0，∴a＝3.

(2)设点P(x0，y0)，若点P满足条件②，则点P在与l1，l2平行的直线l′：2x－y＋C＝0上 ，且＝×，

即C＝或C＝.

∴2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0.

若点P满足条件③，由点到直线的距离公式有

＝·，

即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|.

∴x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0.

∵点P在第一象限，

∴3x0＋2＝0不合题意，舍去．

由

解得不合题意，舍去．

由解得

即点P同时满足三个条件．