高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.5.1 椭圆的标准方程课堂检测

课时跟踪检测（二十二）  椭圆的标准方程

[A级　基础巩固]

1．焦点坐标为(0，3)，(0，－3)，椭圆上一点到两焦点的距离之和为10，则椭圆的标准方程为(　　)

A．＋＝1　　　　  B．＋＝1

C．＋＝1     D．＋＝1

解析：选C　由题意a＝5，c＝3，且焦点在y轴上，∴b＝＝4，

∴椭圆的标准方程为＋＝1.

2．若椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值为(　　)

A．5     B．3

C．5或3     D．8

解析：选C　由题意得c＝1，a2＝b2＋c2.当m>4时，m＝4＋1＝5；当m<4时，4＝m＋1，∴m＝3.

3．(多选)下列说法中正确的是(　　)

A．已知F1(－4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段

B．已知F1(－4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆

C．平面内到点F1(－4，0)，F2(4，0)两点的距离之和等于点M(5，3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆

D．平面内到点F1(－4，0)，F2(4，0)距离相等的点的轨迹是椭圆

解析：选AC　A中，|F1F2|＝8，则平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，所以A正确；B中，到F1，F2两点的距离之和等于6，小于|F1F2|，这样的轨迹不存在，所以B错误；C中，点M(5，3)到F1，F2两点的距离之和为＋＝4>|F1F2|＝8，则其轨迹是椭圆，所以C正确；D中，轨迹应是线段F1F2的垂直平分线，所以D错误．故选A、C.

4．“1＜m＜3”是“方程＋＝1表示椭圆”的(　　)

A．充分不必要条件     B．必要不充分条件

C．充要条件     D．既不充分也不必要条件

解析：选B　当方程＋＝1表示椭圆时，必有

所以1＜m＜3且m≠2；

当m＝2时，方程变为x2＋y2＝1，它表示一个圆．故选B.

5．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|，则椭圆C的标准方程为(　　)

A．＋＝1

B．＋＝1或＋＝1

C．＋＝1

D．＋＝1或＋＝1

解析：选B　由已知2c＝|F1F2|＝2，∴c＝.

∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，

∴a＝2.∴b2＝a2－c2＝9.

故椭圆C的标准方程是＋＝1或＋＝1.

6．椭圆具有如下的光学性质：从一个焦点发出的光线经过椭圆内壁反射后恰好穿过另一个焦点．现从椭圆＋＝1的左焦点F发出的一条光线，经过椭圆内壁两次反射后，回到点F，则光线所经过的总路程为________．

解析：依题意可知光线经两次椭圆壁反射后回到F点，故根据椭圆的定义可知所走的路程正好是4a＝4×3＝12.

答案：12

7．若△ABC的两个顶点坐标A(－4，0)，B(4，0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为____________．

解析：△ABC的两个顶点坐标A(－4，0)，B(4，0)，周长为18，∵|AB|＝8，∴|BC|＋|AC|＝10.∵|BC|＋|AC|＞8，点C到两个定点A，B的距离之和为定值，∴点C的轨迹是以A，B为焦点，去除直线AB上的点的椭圆．∵2a＝10，2c＝8，∴b＝3.∴顶点C的轨迹方程是＋＝1(y≠0).

答案：＋＝1(y≠0)

8．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________，∠F1PF2的大小为________．

解析：∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，

∴|PF2|＝6－|PF1|＝2.

如图，在△F1PF2中，由余弦定理得

cos ∠F1PF2＝

＝＝－，∴∠F1PF2＝120°.

答案：2　120°

9．求符合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)过点和；

(2)过点(－3，2)且与椭圆＋＝1有相同的焦点．

解：(1)设所求椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n).∵椭圆过点和，

∴解得

∴所求椭圆的标准方程为x2＋＝1.

(2)由题意得已知椭圆＋＝1中a＝3，b＝2，

且焦点在x轴上，∴c2＝9－4＝5.

∴设所求椭圆方程为＋＝1.

∵点(－3，2)在所求椭圆上，

∴＋＝1.∴a′2＝15或a′2＝3(舍去).

∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.

10．已知点P在椭圆上，且P到椭圆的两个焦点的距离分别为5，3.过P且与椭圆的长轴垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程．

解：法一：设所求的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，

由已知条件得解得

所以b2＝a2－c2＝12.

于是所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.

法二：设所求的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，两个焦点分别为F1，F2.

由题意知2a＝|PF1|＋|PF2|＝3＋5＝8，所以a＝4.

在方程＋＝1中，令x＝±c，得|y|＝；

在方程＋＝1中，令y＝±c，得|x|＝.

依题意有＝3，得b2＝12.

于是所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.

[B级　综合运用]

11．已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)

A．5     B．7

C．13     D．15

解析：选B　由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.

12．(多选)已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1的左，右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是(　　)

A．△PF1F2的周长为10

B．△PF1F2面积的最大值为2

C．当∠F1PF2＝60°时，△PF1F2的面积为

D．存在点P使得·＝0

解析：选AB　由椭圆C：＋＝1的方程可得a＝3，b＝，c＝2，△PF1F2的周长为2a＋2c＝10，故A正确；当点P位于短轴端点时，△PF1F2的面积最大，最大值为×2c×b＝2，故B正确；当∠F1PF2＝60°时，由余弦定理可得|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝16，

所以(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|＝16，所以(2a)2－3|PF1|·|PF2|＝16，可得|PF1|·|PF2|＝，所以△PF1F2的面积为|PF1|·|PF2|sin 60°＝，故C错误；设P(x0，y0)，则＋＝1，由·＝0可得x＋y＝4，

从而可得x＝－，y＝，不成立，故D错误．故选A、B.

13．已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过点F1的直线交椭圆于A，B两点，若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________．

解析：由直线AB过椭圆的焦点F1，知|AB|＝|F1A|＋|F1B|，∴在△F2AB中，|F2A|＋|F2B|＋|AB|＝4a＝20，又|F2A|＋|F2B|＝12，∴|AB|＝8.

答案：8

14．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点分别是F1(0，－1)，F2(0，1)，且3a2＝4b2.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设点P在这个椭圆上，且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值．

解：(1)依题意，知c2＝1，又c2＝a2－b2，且3a2＝4b2，

所以a2－a2＝1，即a2＝1，所以a2＝4，b2＝3，

故椭圆的标准方程为＋＝1.

(2)由于点P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×2＝4.又|PF1|－|PF2|＝1，所以|PF1|＝，|PF2|＝.又|F1F2|＝2c＝2，所以由余弦定理得cos ∠F1PF2＝＝.

故∠F1PF2的余弦值等于.

[C级　拓展探究]

15．设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的两焦点，B为椭圆上的点且坐标为(0，－1).

(1)若P是该椭圆上的一个动点，求||·||的最大值；

(2)若C为椭圆上异于B的一点，且＝λ，求λ的值；

(3)设P是该椭圆上的一个动点，求△PBF1的周长的最大值．

解：(1)因为椭圆的方程为＋y2＝1，

所以a＝2，b＝1，c＝，

即|F1F2|＝2，

又因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，

所以|PF1|·|PF2|≤＝＝4，

当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2时取“＝”，

所以|PF1|·|PF2|的最大值为4，

即||·||的最大值为4.

(2)设C(x0，y0)，B(0，－1)，F1(－，0)，

由＝λ得x0＝，y0＝－.

又＋y＝1，所以有λ2＋6λ－7＝0，

解得λ＝－7或λ＝1，又与方向相反，故λ＝1舍去，所以λ＝－7.

(3)因为|PF1|＋|PB|＝4－|PF2|＋|PB|≤4＋|BF2|，

所以△PBF1的周长≤4＋|BF2|＋|BF1|＝8，

所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时，△PBF1周长最大，最大值为8.