2021学年2.6.1 双曲线的标准方程同步测试题

课时跟踪检测（二十五）  双曲线的标准方程

 [A级　基础巩固]

1．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且|PF1|＝5，则|PF2|＝(　　)

A．5　　　　　　　　　　  B．3

C．7     D．3或7

解析：选D　由双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝±2a，即5－|PF2|＝±2，所以|PF2|＝3或|PF2|＝7.故选D.

2．下列选项中的曲线与－＝1共焦点的双曲线是(　　)

A．＋＝1     B．＋＝1

C．－＝1     D．－＝1

解析：选D　与－＝1共焦点的双曲线系方程为－＝1(－12＜λ＜24)，对比四个选项，只有D符合条件(此时λ＝－2).

3．(多选)已知双曲线8kx2－ky2＝8的焦距为6，则k的值为(　　)

A．1     B．2

C．－1     D．－2

解析：选AC　由8kx2－ky2＝8得－＝1，∵焦距为6，∴c＝3.若焦点在x轴上，则＋＝＝c2＝9，∴k＝1.若焦点在y轴上，故方程可化为－＝1，k＜0，∴－＝9，∴k＝－1.

4．(多选)已知方程＋＝1表示的曲线为C.给出以下四个判断正确的是(　　)

A．当1<t<4时，曲线C表示椭圆

B．当t>4或t<1时， 曲线C表示双曲线

C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1<t<

D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t>4

解析：选BCD　A错误，当t＝时，曲线C表示圆；B正确，若C为双曲线，则(4－t)(t－1)<0，∴t<1或t>4；C正确，若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则4－t>t－1>0，∴1<t<；D正确，若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，则∴t>4.

5．(2020·全国卷Ⅰ)设F1，F2是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为(　　)

A．     B．3

C．     D．2

解析：选B　法一：设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，则由题意可知F1(－2，0)，F2(2，0)，又|OP|＝2，所以|OP|＝|OF1|＝|OF2|，所以△PF1F2是直角三角形，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝16.不妨令点P在双曲线C的右支上，则有|PF1|－|PF2|＝2，两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4，又|PF1|2＋|PF2|2＝16，所以|PF1|·|PF2|＝6，则S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝×6＝3，故选B.

法二：设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，则由题意可知F1(－2，0)，F2(2，0)，又|OP|＝2，所以|OP|＝|OF1|＝|OF2|，所以△PF1F2是直角三角形，所以S△PF1F2＝＝＝3(其中θ＝∠F1PF2)，故选B.

6．设m是常数，若点F(0，5)是双曲线－＝1的一个焦点，则m＝________．

解析：由点F(0，5)可知该双曲线－＝1的焦点落在y轴上，所以m>0，且m＋9＝52，解得m＝16.

答案：16

7.如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点．若AB＝4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为____________．

解析：设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0).由题意得B(2，0)，C(2，3)，

∴解得

∴双曲线的标准方程为x2－＝1.

答案：x2－＝1

8．设点P在双曲线－＝1上，F1，F2为双曲线的两个焦点，且|PF1|∶|PF2|＝1∶3，则△F1PF2的周长等于________，cos ∠F1PF2＝________．

解析：由题意知|F1F2|＝2＝10，||PF2|－|PF1||＝6，又|PF1|∶|PF2|＝1∶3，∴|PF1|＝3，|PF2|＝9，∴△F1PF2的周长为3＋9＋10＝22.cos ∠F1PF2＝＝＝－.

答案：22　－

9．求适合下列条件的双曲线的标准方程：

(1)a＝2，经过点A(－5，2)，焦点在x轴上；

(2)与椭圆＋＝1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4.

解：(1)因为双曲线的焦点在x轴上，

所以可设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0).

由题设知，a＝2，且点A(－5，2)在双曲线上，

所以解得

故所求双曲线的标准方程为－＝1.

(2)椭圆＋＝1的两个焦点为F1(0，－3)，F2(0，3)，双曲线与椭圆的一个交点为(，4)(或(－，4)).

设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，

则解得

故所求双曲线的标准方程为－＝1.

10．在△ABC中，已知|AB|＝4，内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的平面直角坐标系，求顶点C的轨迹方程．

解：以AB边所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A(－2，0)，B(2，0).

设△ABC的外接圆半径为R.

由正弦定理得sin ∠CAB＝，sin ∠CBA＝，sin C＝.

∵2sin ∠CAB＋sin C＝2sin ∠CBA，

∴2|CB|＋|AB|＝2|CA|，

∴|CA|－|CB|＝|AB|＝2＜|AB|.

由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支．

∵a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝6.

∴顶点C的轨迹方程为－＝1(x＞).

[B级　综合运用]

11．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A(－5，0)和B(5，0)，点C在双曲线－＝1的右支上，则＝(　　)

A．     B．－

C．     D．－

解析：选D　因为点C在双曲线－的右支上，且A(－5，0)和B(5，0)为双曲线的两个焦点，所以|CA|－|CB|＝8；

又因为|AB|＝10，所以由正弦定理得＝＝＝－，故选D.

12．设F1，F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，当△F1PF2的面积为2时，·的值为(　　)

A．2     B．3

C．4     D．6

解析：选B　设点P(x0，y0)，依题意得|F1F2|＝2＝4，S△PF1F2＝|F1F2|·|y0|＝2，∴|y0|＝1.又－y＝1，∴x＝3(y＋1)＝6.∴·＝(－2－x0，－y0)·(2－x0，－y0)＝x＋y－4＝3.

13．椭圆＋＝1与双曲线y2－＝1有公共点P，则P与椭圆两焦点连线构成三角形的周长为________，P与双曲线两焦点连线构成三角形面积为________．

解析：由已知椭圆与双曲线具有共同的焦点F1(0，5)，F2(0，－5)，

由椭圆与双曲线的定义可得

所以或

又|F1F2|＝10，所以△PF1F2为直角三角形，∠F1PF2＝90°，所以周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝14＋10＝24，S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝24.

答案：24　24

14．在①m>0，且C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为3＋；②C的焦距为6；③C上一点到两焦点距离之差的绝对值为4.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．问题：已知双曲线C：－＝1，________，求C的方程．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

解：若选①，因为m>0，所以a2＝m，b2＝2m，c2＝a2＋b2＝3m，所以a＝，c＝.

因为C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为a＋c，所以＋＝(1＋)＝3＋，

解得m＝3，故C的方程为－＝1.

若选②，则c＝3.

若m>0，则a2＝m，b2＝2m，c2＝a2＋b2＝3m，

解得m＝3，则C的方程为－＝1；

若m<0，则a2＝－2m，b2＝－m，c2＝a2＋b2＝－3m，

解得m＝－3，则C的方程为－＝1.

若选③，因为C上一点到两焦点距离之差的绝对值为4，所以2a＝4，即a＝2.

若m>0，则a2＝m, 所以a＝＝2，解得m＝4，则C的方程为－＝1；

若m<0，则a2＝－2m，所以a＝＝2，解得m＝－2，则C的方程为－＝1.

[C级　拓展探究]

15．已知椭圆＋＝1与双曲线－＝1有交点P，且有公共的焦点F1，F2，且∠F1PF2＝2α，求证：tan α＝.

证明：如图所示，设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，|F1F2|＝2c，则在△PF1F2中，对于双曲线有|r2－r1|＝2m，

∴cos 2α＝＝＝＝＋1.

∴1－cos 2α＝，∴sin α＝ .

在△PF1F2中，对于椭圆有r1＋r2＝2a，

∴cos 2α＝＝＝＝－1，

∴1＋cos 2α＝，∴cos α＝ .

∴tan α＝.