高中数学第二章　平面解析几何2.6 双曲线及其方程2.6.2 双曲线的几何性质当堂检测题

课时跟踪检测（二十六）  双曲线的几何性质

[A级　基础巩固]

1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　)

A．2　　　　　　　　　　  B．2

C．4     D．4

解析：选C　双曲线方程可变形为－＝1，所以a2＝4，a＝2，从而2a＝4，故选C.

2．如果椭圆＋＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，那么双曲线－＝1的离心率为(　　)

A．     B．

C．     D．2

解析：选A　由已知椭圆的离心率为，得＝，∴a2＝4b2.∴e2＝＝＝.∴双曲线的离心率e＝.

3．若双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝－x，则双曲线的方程为(　　)

A．y2－x2＝96     B．y2－x2＝160

C．y2－x2＝80     D．y2－x2＝24

解析：选D　设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，±4)，所以λ<0，且－2λ＝(4)2，得λ＝－24.故选D.

4．若双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0，2)，则双曲线的标准方程为(　　)

A．－＝1     B．－＝1

C．－＝1     D．－＝1

解析：选B　∵双曲线一个顶点的坐标为(0，2)，

∴a＝2，

∴双曲线的标准方程为－＝1.

根据题意，得2a＋2b＝×2c，

即a＋b＝c.

又∵a2＋b2＝c2，且a＝2，

∴

解得b＝2，

∴双曲线的标准方程为－＝1，

故选B.

5．(多选)已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则(　　)

A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x

B．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1

C．点P的横坐标为±1

D．△PF1F2的面积为

解析：选ACD　等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确；由双曲线的方程可知|F1F2|＝2，所以以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误；点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝2上，不妨设点P(x0，y0)在直线y＝x上，所以解得|x0|＝1，则点P的横坐标为±1，故C正确；由上述分析可得△PF1F2的面积为×2×1＝，故D正确．故选A、C、D.

6．已知点(2，3)在双曲线C：－＝1(a>0，b>0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________．

解析：由题意知－＝1，c2＝a2＋b2＝4，解得a＝1，

所以e＝＝2.

答案：2

7．设双曲线C经过点(2，2)，且与－x2＝1具有相同的渐近线，则C的方程为________，渐近线方程为________．

解析：设双曲线C的方程为－x2＝λ.将点(2，2)的坐标代入，得λ＝－3，∴双曲线C的方程为－＝1.令－x2＝0，得y＝±2x，即渐近线方程为y＝±2x.

答案：－＝1　y＝±2x

8．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是________．

解析：由题意可知该双曲线的渐近线方程为y＝±x，由于两条渐近线互相垂直，所以×＝－1，解得a＝b，所以e＝＝.

答案：

9．求满足下列条件的双曲线的标准方程：

(1)实轴长为8，离心率为；

(2)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P(4，－).

解：(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)，

由题意知2a＝8，＝，结合c2＝a2＋b2，可得a＝4，c＝5，b＝3，

∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.

(2)由2a＝2b得a＝b，

∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0).

∵双曲线过点P(4，－)，

∴16－10＝λ，即λ＝6.

∴双曲线方程为x2－y2＝6.

∴双曲线的标准方程为－＝1.

10．已知双曲线E与双曲线－＝1共渐近线，且过点A(2，－3).若双曲线M以双曲线E的实轴为虚轴，虚轴为实轴，试求双曲线M的标准方程．

解：由题意，设双曲线E的方程为－＝t(t≠0).

∵点A(2，－3)在双曲线E上，

∴－＝t，

∴t＝－，∴双曲线E的标准方程为－＝1.

又双曲线M与双曲线E互为共轭双曲线，

∴双曲线M的标准方程为－＝1.

[B级　综合运用]

11．设F1，F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P满足|PF2|＝|F1F2|，且cos ∠PF1F2＝，则双曲线的渐近线方程为(　　)

A．3x±4y＝0     B．4x±3y＝0

C．3x±5y＝0     D．5x±4y＝0

解析：选B　如图，作F2Q⊥PF1于Q，

因为|F1F2|＝|PF2|，

所以Q为PF1的中点，

由双曲线的定义知

|PF1|－|PF2|＝2a，

所以|PF1|＝2a＋2c，

故|F1Q|＝a＋c，

因为cos ∠PF1F2＝，

所以＝cos ∠PF1F2，

即＝，得3c＝5a，

所以3＝5a，得＝，

故双曲线的渐近线方程为y＝±x，即4x±3y＝0.

12．已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点．若·＜0，则y0的取值范围是(　　)

A．     B．

C．     D．

解析：选A　根据双曲线的标准方程，可知F1(－，0)，F2(，0).

因为M(x0，y0)在双曲线上，所以－y＝1，即x＝2＋2y，所以·＝(－－x0，－y0)·(－x0，－y0)＝x－3＋y＝3y－1.由3y－1＜0得y＜，解得－＜y0＜.

13．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过F作垂直于x轴的直线与双曲线C交于M，N两点，与双曲线的渐近线交于P，Q两点．若＞，记过第一、三象限的双曲线C的渐近线为l1，则l1的倾斜角的取值范围为________，离心率的取值范围为________．

解析：如图，在双曲线C：－＝1中，取x＝c，可得y＝±，∴|MN|＝.

在双曲线的渐近线y＝x与y＝－x中，令x＝c，得|PQ|＝.

由＞，得＞，即c2＞2b2，

∴a2＋b2＞2b2，∴＜1，

∴l1的倾斜角的取值范围为，

e2＝＋1＜2，∴e的取值范围为(1，).

答案：　(1，)

14．双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面图(1)，它的最小半径为12 m，上口半径为13 m，下口半径为25 m，高为55 m．试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1 m).

解：如图(2)，建立冷却塔的轴截面所在平面的直角坐标系xOy，使最小圆的直径AA′在x轴上，圆心与原点重合．这时，上、下口的直径CC′，BB′都平行于x轴，且|CC′|＝13×2，|BB′|＝25×2.

设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，由题意知a＝12，令点C的坐标为(13，y)，则点B的坐标为(25，y－55).

因为点B，C在双曲线上，所以

由方程②，得y＝(负值舍去)，代入方程①，得

－＝1，

化简得19b2＋275b－18 150＝0.

解得b≈25.

所以，所求双曲线的方程为－＝1.

[C级　拓展探究]

15．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，根据双曲线的渐近线方程的定义，能否从“数”的角度探索出该双曲线的渐近线方程，并证明你的猜测是正确的．

解：由双曲线的对称性可知，只要研究该双曲线在第一象限趋近于哪条直线，就可得知在整个坐标系中它的渐近线方程．

当x>0，y>0时，由－＝1得y＝b＝x，当x→＋∞时， →1，故猜测在第一象限内，x→＋∞时双曲线无限地接近于直线y＝x.

证明直线l：y＝x是双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程．

如图所示，过M作QM⊥l于Q，过M作PM⊥x轴交l于点P，则|PM|≥|QM|.

设M点的坐标为(xM，yM)，则yM＝，yP＝xM.

所以|PM|＝yP－yM＝(xM－)＝＝ .

当xM→＋∞时，xM＋→＋∞，所以|PM|→0，即点M到直线l的距离d→0，

故在第一象限内，直线l为双曲线的渐近线．

由对称性可知y＝±x为双曲线－＝1(a>0，b>0)两条渐近线方程．