人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.7 抛物线及其方程2.7.1 抛物线的标准方程课后测评

课时跟踪检测（二十七）  抛物线的标准方程

[A级　基础巩固]

1．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是(　　)

A．4　　　　　　　　　　  B．6

C．8     D．12

解析：选B　由抛物线的方程得＝＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.

2．(2020·北京高考)设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q.则线段FQ的垂直平分线(　　)

A．经过点O     B．经过点P

C．平行于直线OP     D．垂直于直线OP

解析：选B　连接PF(图略)，由题意及抛物线的定义可知|PQ|＝|FP|，则△QPF为等腰三角形，故线段FQ的垂直平分线经过点P.故选B.

3．(多选)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F.点M在y轴上，若线段FM的中点B在抛物线上，且点B到抛物线准线的距离为，则点M的坐标为(　　)

A．(0，－4)     B．(0，－2)

C．(0，2)     D．(0，4)

解析：选BC　根据题意，抛物线y2＝2px的焦点为，准线方程为x＝－.设点B的坐标为(m，n)，因为B为线段FM的中点，则m＝＝.又点B到抛物线准线的距离为，则－＝，解得p＝，则抛物线的方程为y2＝2x，且m＝.又点B在抛物线上，则n2＝2×＝1，解得n＝±1，则B的坐标为.故点M的坐标为(0，2)或(0，－2).

4．已知F是抛物线y2＝4x的焦点，M，N是该抛物线上两点，|MF|＋|NF|＝8，则MN的中点到准线的距离为(　　)

A．5     B．4

C．3     D．

解析：选B　∵F是抛物线y2＝4x的焦点，∴F(1，0)，准线方程为x＝－1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴|MF|＋|NF|＝x1＋1＋x2＋1＝8，解得x1＋x2＝6，

∴线段MN中点的横坐标为3，

∴线段MN的中点到准线的距离为3＋1＝4.

5．已知F为抛物线C：y2＝6x的焦点，过点F的直线l与C相交于A，B两点，且|AF|＝3|BF|，则|AB|＝(　　)

A．6         B．8

C．10     D．12

解析：选B　抛物线y2＝6x的焦点坐标为，准线方程为x＝－，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵|AF|＝3|BF|，∴x1＋＝3，∴x1＝3x2＋3，

∵|y1|＝3|y2|，∴x1＝9x2，∴x1＝，x2＝，

∴|AB|＝＋＝8.故选B.

6．抛物线y＝12x2上的点到焦点的距离的最小值为________．

解析：将方程化为标准形式是x2＝y，因为2p＝，所以p＝.故到焦点的距离最小值为.

答案：

7．已知抛物线C：4x＋ay2＝0恰好经过圆M：(x－1)2＋(y－2)2＝1的圆心，则抛物线C的焦点坐标为_______，准线方程为________．

解析：圆M的圆心为(1，2)，代入4x＋ay2＝0得a＝－1，将抛物线C的方程化为标准方程得y2＝4x，故焦点坐标为(1，0)，准线方程为x＝－1.

答案：(1，0)　x＝－1

8．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2－＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝________．

解析：根据抛物线的定义得1＋＝5，p＝8.不妨取M(1，4)，则AM的斜率为2，由已知得－×2＝－1，故a＝.

答案：

9．抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5，求抛物线的标准方程．

解：设所求焦点在x轴上的抛物线的标准方程为y2＝2ax(a≠0)，点A(m，－3).

由抛物线的定义得|AF|＝＝5，

又(－3)2＝2am，∴a＝±1或a＝±9.

∴所求抛物线的标准方程为y2＝±2x或y2＝±18x.

10．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．

解：法一：如图所示，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点F，准线l：y＝，作MN⊥l，垂足为N，

则|MN|＝|MF|＝5，又|MN|＝3＋，∴3＋＝5，

即p＝4.∴抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2.

由m2＝－8×(－3)＝24，得m＝±2.

法二：设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F.∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，

故解得

∴抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2，准线方程为y＝2.

[B级　综合运用]

11．阿基米德(公元前287年～212年)是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，称△PAB为“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线焦点F时，△PAB具有以下特征：(1)P点必在抛物线的准线上；(2)△PAB为直角三角形，且PA⊥PB；(3)PF⊥AB.若经过抛物线y2＝4x焦点的一条直线为AB，阿基米德三角形为△PAB，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为(　　)

A．x－2y－1＝0     B．2x＋y－2＝0

C．x＋2y－1＝0     D．2x－y－2＝0

解析：选A　抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1，0)，准线方程为：x＝－1，

线段AB经过抛物线y2＝4x焦点，由△PAB为“阿基米德三角形”，

可得P点必在抛物线的准线上，则点P(－1，4)，直线PF的斜率为：＝－2，

又∵PF⊥AB，∴直线AB的斜率为，

∴直线AB的方程为：y－0＝(x－1)，即x－2y－1＝0，故选A.

12．(多选)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直于l且交l于点Q，若∠PFx＝60°，则(　　)

A．△PQF为等边三角形     B．|PQ|＝4

C．S△PQF＝4     D．xP＝4

解析：选ABC　如图，∵PQ∥x轴，

∴∠QPF＝∠PFx＝60°，

由抛物线定义知|PQ|＝|PF|，

∴△PQF为等边三角形．

∵F(1，0)，过F作FM⊥PQ，垂足为M.∴xM＝1，∴|MQ|＝2.

∴|PQ|＝4，∴S△PQF＝×2×4＝4，xP＝3.

故选A、B、C.

13．对标准形式的抛物线，给出下列条件：

①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1).

其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________．(要求填写适合条件的序号)

解析：抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为，过该焦点的直线方程为y＝k，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2，1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足．

答案：②④

14．已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒经过定点Q(6，0)，求抛物线的方程．

解：设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，

则其准线为x＝－.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

因为|AF|＋|BF|＝8，

所以x1＋＋x2＋＝8，

即x1＋x2＝8－p.

因为Q(6，0)在线段AB的垂直平分线上，所以|QA|＝|QB|，

即＝，

又y＝2px1，y＝2px2，

所以(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0，

因为AB与x轴不垂直，所以x1≠x2.

故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即p＝4.

从而抛物线的方程为y2＝8x.

[C级　拓展探究]

15.如图所示，A地在B地东偏北45°方向，相距2 km处，B地与东西走向的高铁线(近似看成直线)l相距4 km.已知曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，现要在公路旁建造一个变电房M(变电房与公路之间的距离忽略不计)，分别向A地、B地送电．

(1)试建立适当的直角坐标系，求曲线形公路PQ所在曲线的方程；

(2)问变电房M应建在相对A地的什么位置(方位和距离)，才能使架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度．

解：(1)如图所示，以过点B且垂直于l(垂足为K)的直线为y轴，线段BK的中点O为原点，建立直角坐标系xOy，则B(0，2)，A(2，4).

因为曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，所以PQ所在的曲线是以B(0，2)为焦点，l为准线的抛物线．设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)，则p＝4，故曲线形公路PQ所在曲线的方程为x2＝8y.

(2)要使架设电路所用电线长度最短，即|MA|＋|MB|的值最小．

如图所示，过M作MH⊥l，垂足为H，依题意得|MB|＝|MH|，所以|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MH|，故当A，M，H三点共线时，|MA|＋|MH|取得最小值，即|MA|＋|MB|取得最小值，此时M.

故变电房M建在A地正南方向且与A地相距 km处时，所用电线长度最短，最短长度为6 km.