数学选择性必修 第一册2.7.2 抛物线的几何性质课后作业题

课时跟踪检测（二十八）  抛物线的几何性质

[A级　基础巩固]

1．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程为(　　)

A．y2＝－x　　　　　　　  B．x2＝－8y

C．y2＝－8x或x2＝－y     D．y2＝－x或x2＝－8y

解析：选D　若焦点在x轴上，设抛物线方程为y2＝ax，将点P(－4，－2)的坐标代入，得a＝－1，所以抛物线的标准方程为y2＝－x.若焦点在y轴上，设方程为x2＝by，将点P(－4，－2)的坐标代入，得b＝－8，所以抛物线的标准方程为x2＝－8y.故所求抛物线的标准方程是y2＝－x或x2＝－8y.

2．在同一平面直角坐标系中，方程9x2＋4y2＝1与3x＋2y2＝0的曲线大致为(　　)

解析：选D　将方程9x2＋4y2＝1与3x＋2y2＝0转化为＋＝1与y2＝－x，所以椭圆的焦点在y轴上，抛物线的焦点在x轴上，且开口向左．故选D.

3．设过抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点的弦为AB，则|AB|的最小值为(　　)

A．     B．p

C．2p     D．无法确定

解析：选C　由题意得当AB⊥y轴时，|AB|取最小值，最小值为2p.

4．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝(　　)

A．2     B．2

C．4     D．2

解析：选B　由题意知抛物线关于x轴对称，开口向右，故设其方程为y2＝2px(p＞0).∵点M(2，y0)到该抛物线焦点的距离为3，∴2＋＝3，∴p＝2，∴该抛物线方程为y2＝4x.∴y＝8，∴|OM|＝＝2.故选B.

5．(多选)已知点A(－2，4)在抛物线y2＝－2px(p>0)上，抛物线的焦点为F，延长AF与抛物线相交于另一点B，O为坐标原点，则下列结论中正确的是(　　)

A．抛物线的准线方程为x＝2

B．抛物线的焦点坐标为(－2，0)

C．点B的坐标为(－2，－2)

D．△OAB的面积为8

解析：选ABD　将A(－2，4)代入抛物线方程可得p＝4，

因此抛物线方程为y2＝－8x，

所以准线方程为x＝2，焦点坐标为(－2，0)，故A、B正确；

易知AF⊥x轴，所以B(－2，－4)，故C错误；

又因为|AB|＝8，所以S△OAB＝×8×2＝8，故D正确．故选A、B、D.

6．已知直线l平行于x轴，且l与y轴的交点为(0，4)，点A在直线l上，动点P的横坐标与A的横坐标相同，且⊥，则P点的轨迹方程为______________．

解析：由条件知，直线l的方程为y＝4，点A的纵坐标为4.

设P的坐标为(x，y)，则点A的坐标为(x，4).

则＝(x，4)，＝(x，y)，

∵⊥，

∴·＝0，

∴x2＋4y＝0，

∴x2＝－4y.

答案：x2＝－4y

7．已知点(x，y)在抛物线y2＝4x上，则z＝x2＋y2＋3的最小值是________．

解析：因为点(x，y)，在抛物线y2＝4x上，所以x≥0，

因为z＝x2＋y2＋3＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，

所以当x＝0时，z最小，最小值为3.

答案：3

8．如图所示，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a<b)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p>0)经过C，F两点，则＝________．

解析：依题知C，F，

∵点C，F在抛物线上，∴两式相除得－2－1＝0，解得＝1＋或＝1－(舍).

答案：1＋

9．已知等边△AOB的顶点A，B在抛物线y2＝x上，O为坐标原点，顶点A到抛物线的焦点F的距离等于，求△AOB的面积．

解：∵△AOB是等边三角形，A，B在抛物线y2＝x上，

∴顶点A，B关于抛物线的对称轴(x轴)对称，不妨设A(y0，)(y0＞0)，则B(y0，－).

由|AF|＝y0＋＝，解得y0＝3，

∴＝，

∴△AOB的边长|AB|＝2＝2，

∴△AOB的面积为×(2)2×＝3.

10．如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O′P＝1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m，P距抛物线的对称轴1 m，则水池的直径至少应设计为多少米？(精确到1 m)

解：如图所示，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0).

依题意有P′(1，－1)在此抛物线上，代入得p＝.

故得抛物线方程为x2＝－y.

又B点在抛物线上，将B(x，－2)代入抛物线方程得x＝，

即|AB|＝，则|AB|＋1＝＋1，

因此所求水池的直径为2(1＋)m，约为5 m，

即水池的直径至少应设计为5 m．

[B级　综合运用]

11．已知直线l的斜率为k，它与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，F为抛物线的焦点，＝3，则|k|＝(　　)

A．2　　　　　　　　　  B．

C．     D．

解析：选B　由＝3，知A，B，F三点共线．设A在第一象限，如图，分别过A，B作AM⊥准线于M，BN⊥准线于N，过B作BE⊥AM于E，根据抛物线定义和＝3，可设|AF|＝|AM|＝3m，则|BN|＝|BF|＝m，故|AB|＝4m，|AE|＝2m，∴∠BAE＝60°，k＝；当A在第四象限时，同理，可得k＝－，故选B.

12．(多选)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9，则(　　)

A．△ABF是等边三角形

B．|BF|＝3

C．点F到准线的距离为3

D．抛物线C的方程为y2＝6x

解析：选ACD　∵以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，∠ABD＝90°，由抛物线的定义可得|AB|＝|AF|＝|BF|，∴△ABF是等边三角形，∴∠FBD＝30°.∵△ABF的面积为|BF|2＝9，∴|BF|＝6.又点F到准线的距离为|BF|sin 30°＝3＝p，则该抛物线的方程为y2＝6x.

13．已知抛物线y2＝2x，直线l的方程为x－y＋3＝0，点P是抛物线上的一动点，则点P到直线l的最短距离为________，此时点P的坐标为________．

解析：设点P(x0，y0)是y2＝2x上任意一点，则点P到直线x－y＋3＝0的距离d＝＝＝，当y0＝1时，dmin＝＝，此时x0＝，所以点P的坐标为.

答案：　

14．抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的标准方程．

解：如图，依题意可设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，

则直线方程为y＝－x＋p.

设直线交抛物线于A(x1，y1)，

B(x2，y2)，

过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为C，D，则由抛物线定义，得

|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|＝x1＋＋x2＋，

即x1＋x2＋p＝8.①

又A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线和抛物线的交点，

由

消去y，得x2－3px＋＝0.

所以x1＋x2＝3p，②

将②代入①，得p＝2.

所以抛物线的标准方程为y2＝4x.

当抛物线方程设为y2＝－2px(p＞0)时，

同理可求得抛物线标准方程为y2＝－4x.

故抛物线的标准方程为y2＝4x或y2＝－4x.

[C级　拓展探究]

15．已知抛物线C：y2＝4x，过其焦点F作两条相互垂直且不平行于坐标轴的直线，它们分别交抛物线C于点P1，P2和点P3，P4，线段P1P2，P3P4的中点分别为M1，M2.

(1)求线段P1P2的中点M1的轨迹方程；

(2)求△FM1M2面积的最小值；

(3)过M1，M2的直线l是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．

解：(1)由题设条件得焦点F(1，0)，

设直线P1P2的方程为y＝k(x－1)，k≠0.

联立得k2x2－2(2＋k2)x＋k2＝0，

则Δ＝[－2(2＋k2)]2－4k2·k2＝16(1＋k2)＞0.

设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，M1(xM1，yM1)，

则xM1＝(x1＋x2)＝1＋＞1，

yM1＝k(xM1－1)＝，∴xM1＝1＋y2M1，

∴线段P1P2的中点M1的轨迹方程为y2＝2(x－1)(x＞1).

(2)由(1)知

同理，设M2(xM2，yM2)，则

∴|FM1|＝ ＝ ，

|FM2|＝＝2|k|，

因此S△FM1M2＝|FM1|·|FM2|＝2≥4，

当且仅当＝|k|，即k＝±1时，S△FM1M2取得最小值4.

(3)当k≠±1时，由(2)知直线l的斜率为k′＝，

∴直线l的方程为y＋2k＝(x－2k2－1)，

即yk2＋(x－3)k－y＝0，(*)

当x＝3，y＝0时，方程(*)对任意k(k≠±1)均成立，

即直线l过定点(3，0).

当k＝±1时，直线l的方程为x＝3，也过定点(3，0).

综上可知，直线l恒过定点(3，0).