数学选择性必修 第一册2.5.2 椭圆的几何性质课时练习

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课时跟踪检测（二十四）  椭圆的几何性质（二） [A级　基础巩固]1．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是(　　)A．＋＝1　　　　　　　  B．＋＝1C．＋＝1     D．＋＝1解析：选D　右焦点为F(1，0)说明两层含义：椭圆的焦点在x轴上；c＝1.又离心率为＝，故a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3，故椭圆的方程为＋＝1.2．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P，若＝2，则椭圆的离心率是(　　)A．     B．C．     D．解析：选D　如图，∵＝2，∴OA＝2OF，∴a＝2c，∴e＝.3．F是椭圆的左焦点，A，B分别是其在x轴正半轴和y轴正半轴的顶点，P是椭圆上一点，且PF⊥x轴，OP∥AB，那么该椭圆的离心率为(　　)A．     B．C．     D．解析：选A　如图所示，设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，P(－c，m).∵OP∥AB，∴△PFO∽△BOA，∴＝，①又∵P(－c，m)在椭圆上，∴＋＝1,    ②将①代入②得＝1，即e2＝，∴e＝，故选A.4．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为a，b，则椭圆的面积公式为S＝πab.若椭圆C的离心率为，面积为8π，则椭圆的C的标准方程为(　　)A.＋＝1或＋＝1B．＋＝1或＋＝1C．＋＝1或＋＝1D．＋＝1或＋＝1解析：选A　由题意解得∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1，故选A.5．(多选)2020年11月28日，“嫦娥五号”顺利进入环月轨道，其轨道是以月球的球心F为一个焦点的椭圆(如图所示).已知它的近月点A(离月球表面最近的点)距离月球表面m千米，远月点B(离月球表面最远的点)距离月球表面n千米，AB为椭圆的长轴，月球的半径为R千米．设该椭圆的长轴长，焦距分别为2a，2c，则下列结论正确的有(　　)A．a＝　　　　　　  B．a＝＋RC．c＝     D．c＝＋R解析：选BC　由题意可知2a＝2R＋m＋n，所以a＝＋R，因为a－c＝R＋m，a＋c＝R＋n，所以c＝，故选B、C.6．已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为________．解析：不妨设a＞0，因为椭圆C的一个焦点为(2，0)，所以c＝2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝2，所以椭圆C的离心率e＝＝.答案：7．若椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴长为4，则椭圆的标准方程为________．解析：由题意可知e＝＝，2b＝4，得b＝2，所以解得所以椭圆的标准方程为＋＝1.答案：＋＝18．若椭圆＋＝1(a>b>0)上存在一点M，使得∠F1MF2＝90°(F1，F2分别为椭圆的左、右焦点)，则椭圆的离心率e的取值范围为________．解析：设点M的坐标是(x0，y0)，则|x0|<a.∵F1(－c，0)，F2(c，0)，∴＝(－c－x0，－y0)，＝(c－x0，－y0).∵∠F1MF2＝90°，∴·＝0，∴x＋y＝c2.又y＝b2－x，∴x＋y＝b2＋x∈[b2，a2)，即c2∈[b2，a2)，∴c2≥b2＝a2－c2，∴≥，∴e≥，又0<e<1，故椭圆的离心率e的取值范围是.答案：9．过椭圆的左焦点F1且倾斜角为60°的直线交椭圆于A，B两点，若|F1A|＝2|F1B|，求椭圆的离心率e.解：如图，设椭圆的右焦点为F2，长轴长为2a，焦距为2c，|BF1|＝m，则|AF1|＝2m.由椭圆的定义知：|AF2|＝2a－2m，|BF2|＝2a－m.在△AF1F2及△BF1F2中，分别用余弦定理，整理，可得①÷②，得＝，即＝，解得e＝.10．已知地球运行的轨道是长半轴长a＝1.50×108 km，离心率e＝0.019 2的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离．解：∵e＝＝0.019 2，a＝1.50×108 (km)，∴c＝ea＝2.88×106 (km).∴地球到太阳的最大距离为a＋c＝1.528 8×108 (km)，地球到太阳的最小距离为a－c＝1.471 2×108 (km). [B级　综合运用]11．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，A，B是椭圆的左、右顶点，点P是椭圆上不同于A，B的一点，直线PA，PB的倾斜角分别为α，β，则＝(　　)A．4     B．5C．6     D．7解析：选D　由已知，A(－a，0)，B(a，0)，P(x，y)，则tan α＝，tan β＝，∴tan αtan β＝·＝，∵椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，∴＝，∴a2＝b2，∴＋＝1，∴y2＝b2－，∴＝＝－，∴tan αtan β＝－，∴＝＝＝＝7.故选D.12．(多选)已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1，F2在y轴上，短轴长等于2，离心率为，过焦点F2作y轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是(　　)A．椭圆C的方程为＋x2＝1B．椭圆C的方程为＋y2＝1C．|PQ|＝D．△PF1Q的周长为4解析：选ACD　由已知得2b＝2，b＝1，＝，又a2＝b2＋c2解得a2＝3.∴椭圆C方程为＋x2＝1，由此选项B是错误的．∵c＝ ＝，不妨设F2为椭圆上焦点，∴F2(0，)，∴直线PQ的方程为y＝.由可解得x＝±.∴|PQ|＝，故C正确．∵|PQ|＋|PF1|＋|QF1|＝|PF2|＋|QF2|＋|PF1|＋|QF1|＝(|PF1|＋|PF2|)＋(|QF1|＋|QF2|)＝2a＋2a＝4a＝4，∴D正确．13.如图，底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的长轴长为________，短轴长为________，离心率为________．解析：由题图知短轴长为底面直径12 cm，长轴长为＝8(cm)，则c2＝(4)2－62＝12，∴c＝2，∴离心率e＝＝.答案：8 cm　12 cm　14．(1)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，M为直线y＝2b上一点，△F1MF2是等边三角形，求椭圆C的离心率；(2)椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点是A(a，0)，其上存在一点P，使∠APO＝90°，求椭圆离心率的取值范围．解：(1)∵△F1MF2是等边三角形，则易知M(0，2b)，∴|MF1|＝|F1F2|，即＝2c，即4b2＋c2＝4c2，又b2＝a2－c2，∴4(a2－c2)＋c2＝4c2，即4a2＝7c2，则e2＝＝，故e＝(负值舍去).(2)设P(x，y)，由∠APO＝90°知，点P在以OA为直径的圆上，圆的方程是＋y2＝.∴y2＝ax－x2.①又P点在椭圆上，故＋＝1.②把①代入②化简，得(a2－b2)x2－a3x＋a2b2＝0，即(x－a)[(a2－b2)x－ab2]＝0，∵x≠a，x≠0，∴x＝，又0<x<a，∴0<<a，即2b2<a2.由b2＝a2－c2，得a2<2c2，∴e>.又∵0<e<1，∴<e<1.[C级　拓展探究]15．有一椭圆形溜冰场，长轴长是100 m，短轴长是60 m．现要在这个溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形，且使这个矩形的面积最大，试确定这个矩形的顶点的位置．这时矩形的周长是多少？解：分别以椭圆的长轴、短轴所在的直线为x轴，y轴，以长轴的中点为坐标原点O，建立如图所示的平面直角坐标系xOy.设矩形ABCD的各顶点都在椭圆上．易知矩形ABCD关于原点O及x轴，y轴对称．已知椭圆的长轴长2a＝100 m，短轴长2b＝60 m，则a＝50 m，b＝30 m，所以椭圆的方程为＋＝1.设点A的坐标为(x0，y0)，x0＞0，y0＞0，则＋＝1，即y＝(502－x).根据矩形ABCD的对称性，可知它的面积S＝4x0y0.因为xy＝x·(502－x)＝，所以当x＝时，xy取得最大值，此时S也取得最大值．这时x0＝25，y0＝15.矩形ABCD的周长为4(x0＋y0)＝4×(25＋15)＝160(m).因此，在椭圆形溜冰场的两侧分别画一条与短轴平行且与短轴相距25 m的直线，这两条直线与椭圆的交点就是所划定的矩形的顶点，这个矩形的周长为160 m.