高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.4 幂函数学案及答案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.4 幂函数学案及答案，共12页。学案主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1.eq \r(（lg9－1）2)等于( )
A．lg9－1 B．1－lg9
C．8D．2eq \r(2)
2．函数y＝eq \f(1,lg2（x－2）)的定义域是( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(2，3)∪(3，＋∞) D．(2，4)∪(4，＋∞)
3．函数f(x)＝eq \f(1,3x＋1)的值域是( )
A．(－∞，1) B．(0，1)
C．(1，＋∞) D．(－∞，1)∪(1，＋∞)
4．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝( )
A．lg2xB．eq \f(1,2x)
C．lgeq \f(1,2)xD．2x－2
5．幂函数y＝f(x)的图像过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的图像是( )
6．已知lg32＝a，3b＝5，则lg3eq \r(30)用a，b表示为( )
A．eq \f(1,2)(a＋b＋1) B．eq \f(1,2)(a＋b)＋1
C．eq \f(1,3)(a＋b＋1) D．eq \f(1,2)a＋b＋1
7．已知，则( )
A．a＞b＞cB．b＞a＞c
C．a＞c＞bD．c＞a＞b
8．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝lgax的图像可能是( )
二、多项选择题(本题共4小题，毎小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．下列关于幂函数y＝xα的性质，描述正确的有( )
A．当α＝－1时函数在其定义域上是减函数B．当α＝0时函数图像是一条直线
C．当α＝2时函数是偶函数D．当α＝3时函数有一个零点0
10．对于0A．lga(1＋a)lgaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,a)))
C．a1＋aa1＋eq \f(1,a)
11．设函数f(x)＝2x，对于任意的x1，x2(x1≠x2)，下列命题中正确的是( )
A．f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2) B．f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)
C．eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0D．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))12．关于函数f(x)＝|ln|2－x||，下列描述正确的有( )
A．函数f(x)在区间(1，2)上单调递增
B．函数y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称
C．若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝4
D．函数f(x)有且仅有两个零点
三、填空题(本题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．设f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2ex－1，x＜2，,lg3（2x－1），x≥2，))则f(f(2))＝________．
14．计算：eq \r(（lg25）2－4lg25＋4)＋lg2eq \f(1,5)＝________．
15．不等式2-x2＋2xx>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x＋4)的解集为________．
16.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(81,625)))eq \s\up12(－\f(1,4))的值是________．
四、解答题(本题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)计算：(1)；
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg\f(1,4)－lg25))÷100－eq \f(1,2)＋7lg714.
18.(12分)已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(|x|－a).
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)的最大值等于eq \f(9,4)，求a的值．
19．(12分)已知f(x)＝lg2(1＋x)＋lg2(1－x).
(1)求函数f(x)的定义域．
(2)判断函数f(x)的奇偶性，并加以说明．
(3)求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))的值．
20．(12分)函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在[1，2]上的最大值比最小值大eq \f(a,2)，求a的值．
21．(12分)已知函数f(x)＝a3－ax(a>0且a≠1).
(1)当a＝2时，f(x)<4，求x的取值范围．
(2)若f(x)在[0，1]上的最小值大于1，求a的取值范围．
22．(12分)某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一个月时污染度为60，整治后前四月的污染度如下表：
污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：
f(x)＝20|x－4|(x≥1)，g(x)＝eq \f(20,3)(x－4)2(x≥1)，h(x)＝30|lg2x－2|(x≥1)，其中x表示月数，f(x)，g(x)，h(x)分别表示污染度．
(1)选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；
(2)若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60?
章末质量检测(四) 指数函数、对数函数与幂函数
1．解析：因为lg9＜lg10＝1，所以eq \r(（lg9－1）2)＝1－lg9.
答案：B
2．解析：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg2（x－2）≠0，,x－2＞0，))得x＞2且x≠3，故选C.
答案：C
3．解析：∵3x＋1＞1，∴0＜eq \f(1,3x＋1)＜1，∴函数值域为(0，1).
答案：B
4．解析：f(x)＝lgax，∵f(2)＝1，∴lga2＝1.∴a＝2.
∴f(x)＝lg2x.
答案：A
5．解析：设幂函数的解析式为y＝xα，∵幂函数y＝f(x)的图像过点(4，2)，∴2＝4α，解得α＝eq \f(1,2).∴y＝eq \r(x)，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数．当0答案：C
6．解析：因为3b＝5，所以b＝lg35，lg3eq \r(30)＝eq \f(1,2)lg330＝eq \f(1,2)(lg33＋lg32＋lg35)
＝eq \f(1,2)(1＋a＋b).
答案：A
7．解析：c＝5lg3103只需比较lg23.4，lg43.6，lg3eq \f(10,3)的大小，又0＜lg43.6＜1，lg23.4＞lg33.4＞lg3eq \f(10,3)＞1，所以a＞c＞b.
答案：C
8．解析：方法一 当a＞1时，y＝xa与y＝lgax均为增函数，但y＝xa递增较快，排除C；当0＜a＜1时，y＝xa为增函数，y＝lgax为减函数，排除A.由于y＝xa递增较慢，所以选D.
方法二 幂函数f(x)＝xa的图像不过(0，1)点，故A错；B项中由对数函数f(x)＝lgax的图像知0＜a＜1，而此时幂函数f(x)＝xa的图像应是增长越来越慢的变化趋势，故B错，D对；C项中由对数函数f(x)＝lgax的图像知a＞1，而此时幂函数f(x)＝xa的图像应是增长越来越快的变化趋势，故C错．
答案：D
9．解析：对于A，α＝－1时幂函数y＝x－1在(－∞，0)和(0，＋∞)是减函数，在其定义域上不是减函数，A错误；对于B，α＝0时幂函数y＝x0＝1(x≠0)，其图像是一条直线，去掉点(0，1)，B错误；对于C，α＝2时幂函数y＝x2在定义域R上是偶函数，C正确；对于D，α＝3时幂函数y＝x3在R上的奇函数，且是增函数，有唯一零点是0，D正确．
答案：CD
10．解析：因为0所以lga(1＋a)>lgaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,a))).
又因为0a1＋eq \f(1,a).故选B、D
答案：BD
11．解析：2x1·2x2＝2x1+x2，所以A成立，2x1×·2x2≠2x1·x2，所以B不成立，函数f(x)＝2x，在R上是单调递增函数，若x1>x2则f(x1)>f(x2)，则eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0，若x10，故C正确；feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))答案：ACD
12．解析：函数f(x)＝|ln|2－x||的图像如图所示：
由图可得：函数f(x)在区间(1，2)上单调递增，A正确；函数y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，B正确；若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，则当x1，x2>2时，x1＋x2>4，C错误；函数f(x)有且仅有两个零点，D正确．
答案：ABD
13．解析：因为f(2)＝lg3(22－1)＝1，
所以f(f(2))＝f(1)＝2e1－1＝2.
答案：2
14．解析：原式＝|lg25－2|＋lg25－1＝lg25－2－lg25＝－2.
答案：－2
15．解析：不等式2-x2+2x>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x＋4)可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x2)－2x>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x＋4)，等价于x2－2x答案：{x|－116．解析：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(81,625)))eq \s\up12(－\f(1,4))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(625,81)))eq \s\up6(\f(1,4))＝eq \r(4,\f(625,81))＝eq \r(4,\f(54,34))＝eq \r(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)))\s\up12(4))＝eq \f(5,3).
答案：eq \f(5,3)
17．解析：(1)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)))eq \s\up6(\f(1,2))－1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(27,8)))eq \s\up12(－\f(2,3))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up12(－2)＋[(eq \r(3,2))－4]－eq \f(3,4)＝eq \f(3,2)－1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up12(－2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up12(－2)＋(eq \r(3,2))3＝eq \f(1,2)＋2＝eq \f(5,2).
(2)原式＝－(lg4＋lg25)÷100－eq \f(1,2)＋14＝－2÷10－1＋14＝－20＋14＝－6.
18．解析：(1)令t＝|x|－a，则f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(t)，
不论a取何值，t在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，
又y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(t)是单调递减的，
因此f(x)的单调递增区间是(－∞，0]，
单调递减区间是[0，＋∞).
(2)由于f(x)的最大值是eq \f(9,4)，且eq \f(9,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(－2)，
所以g(x)＝|x|－a应该有最小值－2，
从而a＝2.
19．解析：(1)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＋x>0，,1－x>0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x>－1,x<1，))
即－1所以函数f(x)的定义域为{x|－1(2)函数f(x)为偶函数．证明如下：
因为函数f(x)的定义域为{x|－1又因为f(－x)＝lg2[1＋(－x)]＋lg2[1－(－x)]＝lg2(1－x)＋lg2(1＋x)＝f(x)，
所以函数f(x)＝lg2(1＋x)＋lg2(1－x)为偶函数．
(3)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))＝lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(\r(2),2)))＋lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(\r(2),2)))
＝lg2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(\r(2),2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(\r(2),2)))))
＝lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))＝lg2eq \f(1,2)＝－1.
20．解析：分情况讨论：
①当0＜a＜1时，函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在[1，2]上的最大值f(x)max＝f(1)＝a1＝a，最小值f(x)min＝f(2)＝a2，
∴a－a2＝eq \f(a,2)，解得a＝eq \f(1,2)或a＝0(舍去)；
②当a＞1时，函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在[1，2]上的最大值f(x)max＝f(2)＝a2，最小值f(x)min＝f(1)＝a1＝a，
∴a2－a＝eq \f(a,2)，解得a＝eq \f(3,2)或a＝0(舍去).
综上所述，a＝eq \f(1,2)或a＝eq \f(3,2).
21．解析：(1)当a＝2时，f(x)＝23－2x<4＝22，3－2x<2，得x>eq \f(1,2).
(2)y＝3－ax在定义域内单调递减，
当a>1时，函数f(x)在[0，1]上单调递减，f(x)min＝f(1)＝a3－a>1＝a0，得1当01，不成立．
综上：122．解析：(1)用h(x)模拟比较合理，理由如下：
因为f(2)＝40，g(2)≈26.7，
h(2)＝30，f(3)＝20，g(3)≈6.7，h(3)≈12.5，
由此可得h(x)更接近实际值，
所以用h(x)模拟比较合理．
(2)因为h(x)＝30|lg2x－2|在x≥4时是增函数，
又因为h(16)＝60，故整治后有16个月的污染度不超过60.月数
1
2
3
4
…
污染度
60
31
13
0
…