高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.1 空间向量及其运算复习练习题

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.1 空间向量及其运算复习练习题，共6页。

1．下列说法正确的是( )
A．若|a|＜|b|，则a＜b
B．若a，b为相反向量，则a＋b＝0
C．空间内两平行向量相等
D．四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \(DB,\s\up7(―→))
解析：选D 向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，A错；相反向量的和为0，不是0，B错；相等向量满足模相等，方向相同两个条件，平行向量不一定具备，C错；D正确．
2．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且eq \(AO,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→))＝eq \(DO,\s\up7(―→))＋eq \(OC,\s\up7(―→))，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形 B．空间四边形
C．等腰梯形 D．矩形
解析：选A ∵eq \(AO,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→))＝eq \(DO,\s\up7(―→))＋eq \(OC,\s\up7(―→))，∴eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(DC,\s\up7(―→))．
∴eq \(AB,\s\up7(―→))∥eq \(DC,\s\up7(―→))且|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝|eq \(DC,\s\up7(―→))|.
∴四边形ABCD为平行四边形．
3．(2021·北京市陈经纶中学高二月考)空间四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up7(―→))＝a，eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))＝b，eq \(AD,\s\up7(―→))＝c，则eq \(CD,\s\up7(―→))等于( )
A．a＋b－c B．c－a－b
C．a－b－c D．b－a＋c
解析：选B 如图所示，根据向量的运算，可得eq \(CD,\s\up7(―→))＝eq \(BD,\s\up7(―→))－eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))＝(eq \(AD,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→)))－eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))＝－a－b＋c.故选B.
4.如图，E，F分别是长方体ABCD­A′B′C′D′的棱AB，CD的中点．化简下列结果正确的是( )
A．eq \(AA′,\s\up7(―→))－eq \(CB,\s\up7(―→))＝eq \(AD′,\s\up7(―→))
B．eq \(AA′,\s\up7(―→))＋eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(B′C′,\s\up7(――→))＝eq \(AC′,\s\up7(―→))
C．eq \(AB′,\s\up7(―→))－eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \(B′D′,\s\up7(――→))＝0
D．eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(CF,\s\up7(―→))＝eq \(AF,\s\up7(―→))
解析：选ABC ∵eq \(AA′,\s\up7(―→))－eq \(CB,\s\up7(―→))＝eq \(AA′,\s\up7(―→))＋eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))＝eq \(AA′,\s\up7(―→))＋eq \(A′D′,\s\up7(――→))
＝eq \(AD′,\s\up7(―→))，故A正确；
eq \(AA′,\s\up7(―→))＋eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(B′C′,\s\up7(――→))＝eq \(AA′,\s\up7(―→))＋eq \(A′B′,\s\up7(――→))＋eq \(B′C′,\s\up7(――→))＝eq \(AC′,\s\up7(―→))，故B正确；
eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \(B′D′,\s\up7(――→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \(BD,\s\up7(―→))＝eq \(DB,\s\up7(―→))＋eq \(BD,\s\up7(―→))＝0，故C正确；eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(CF,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BE,\s\up7(―→))＝eq \(AE,\s\up7(―→))，故D错误．
5.(多选)(2021·山东淄博五中高二月考)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为向量eq \(BD1,\s\up7(―→))的是( )
A．(eq \(A1D1,\s\up7(――→))－eq \(A1A,\s\up7(―→)))－eq \(AB,\s\up7(―→))
B．(eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))＋eq \(BB1,\s\up7(―→)))－eq \(D1C1,\s\up7(―→))
C．(eq \(AD,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→)))＋eq \(DD1,\s\up7(―→))
D．(eq \(B1D1,\s\up7(―→))－eq \(A1A,\s\up7(―→)))－eq \(DD1,\s\up7(―→))
解析：选ABC 对于选项A，(eq \(A1D1,\s\up7(――→))－eq \(A1A,\s\up7(―→)))－eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(AD1,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(BD1,\s\up7(―→))；对于选项B，(eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))＋eq \(BB1,\s\up7(―→)))－eq \(D1C1,\s\up7(―→))＝eq \(BC1,\s\up7(―→))＋eq \(C1D1,\s\up7(―→))＝eq \(BD1,\s\up7(―→))；对于选项C，(eq \(AD,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→)))＋eq \(DD1,\s\up7(―→))＝eq \(BD,\s\up7(―→))＋eq \(DD1,\s\up7(―→))＝eq \(BD1,\s\up7(―→))；对于选项D，(eq \(B1D1,\s\up7(―→))－eq \(A1A,\s\up7(―→)))－eq \(DD1,\s\up7(―→))＝(eq \(B1D1,\s\up7(―→))－eq \(B1B,\s\up7(―→)))－eq \(DD1,\s\up7(―→))＝eq \(BD1,\s\up7(―→))＋eq \(D1D,\s\up7(―→))＝eq \(BD,\s\up7(―→))，故选A、B、C.
6．如图所示，在三棱柱ABC­A′B′C′中，eq \(AC,\s\up7(―→))与eq \(A′C′,\s\up7(――→))是________向量，eq \(AB,\s\up7(―→))与eq \(B′A′,\s\up7(――→))是________向量．(用相等、相反填空)
解析：由相等向量与相反向量的定义知：eq \(AC,\s\up7(―→))与eq \(A′C′,\s\up7(――→))是相等向量，eq \(AB,\s\up7(―→))与eq \(B′A′,\s\up7(――→))是相反向量．
答案：相等 相反
7．化简5 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)a－\f(1,2)b＋\f(2,3)c)) －3(a－2b＋c)＝________．
解析：原式＝ eq \f(10,3) a－ eq \f(5,2) b＋ eq \f(10,3) c－3a＋6b－3c＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,3)－3)) a＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)＋6)) b＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,3)－3)) c＝ eq \f(1,3) a＋ eq \f(7,2) b＋ eq \f(1,3) c.
答案： eq \f(1,3) a＋ eq \f(7,2) b＋ eq \f(1,3) c
8.如图所示，在四面体O­ABC中，eq \(OA,\s\up7(―→))＝a，eq \(OB,\s\up7(―→))＝b，eq \(OC,\s\up7(―→))＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则eq \(OE,\s\up7(―→))＝________(用a，b，c表示).
解析：eq \(OE,\s\up7(―→))＝eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(AE,\s\up7(―→))，eq \(OA,\s\up7(―→))＝a，
eq \(AE,\s\up7(―→))＝ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up7(―→))＝ eq \f(1,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→))))
＝ eq \f(1,4) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(（b－a）＋（c－a）))
＝ eq \f(1,4) (b＋c)－ eq \f(1,2) a，
∴eq \(OE,\s\up7(―→))＝ eq \f(1,2) a＋ eq \f(1,4) b＋ eq \f(1,4) c.
答案： eq \f(1,2) a＋ eq \f(1,4) b＋ eq \f(1,4) c
9.如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果．
(1)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))－eq \(DC,\s\up7(―→))；
(2)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(DG,\s\up7(―→))－eq \(CE,\s\up7(―→))．
解：(1)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))－eq \(DC,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))＋eq \(CD,\s\up7(―→))＝eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \(CD,\s\up7(―→))＝eq \(AD,\s\up7(―→))，如图中向量eq \(AD,\s\up7(―→))．
(2)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(DG,\s\up7(―→))－eq \(CE,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(GD,\s\up7(―→))＋eq \(EC,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BG,\s\up7(―→))＋eq \(EC,\s\up7(―→))＝eq \(AG,\s\up7(―→))＋eq \(GF,\s\up7(―→))＝eq \(AF,\s\up7(―→))，如图中向量eq \(AF,\s\up7(―→))．
10．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，O为AC的中点．
(1)化简： eq \(A1O,\s\up7(―→))－ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up7(―→))－ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up7(―→))；
(2)设E是棱DD1上的点，且eq \(DE,\s\up7(―→))＝ eq \f(2,3) eq \(DD1,\s\up7(―→))，若eq \(EO,\s\up7(―→))＝xeq \(AB,\s\up7(―→))＋yeq \(AD,\s\up7(―→))＋zeq \(AA1,\s\up7(―→))，试求实数x，y，z的值．
解：(1)∵eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \(AC,\s\up7(―→))，
∴eq \(A1O,\s\up7(―→))－ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up7(―→))－ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \(A1O,\s\up7(―→))－ eq \f(1,2) (eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→)))＝eq \(A1O,\s\up7(―→))－ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up7(―→))＝eq \(A1O,\s\up7(―→))－eq \(AO,\s\up7(―→))＝eq \(A1A,\s\up7(―→))．
(2)∵eq \(EO,\s\up7(―→))＝eq \(ED,\s\up7(―→))＋eq \(DO,\s\up7(―→))＝ eq \f(2,3) eq \(D1D,\s\up7(―→))＋ eq \f(1,2) eq \(DB,\s\up7(―→))＝ eq \f(2,3) eq \(D1D,\s\up7(―→))＋ eq \f(1,2) (eq \(DA,\s\up7(―→))＋eq \(AB,\s\up7(―→)))
＝ eq \f(2,3) eq \(A1A,\s\up7(―→))＋ eq \f(1,2) eq \(DA,\s\up7(―→))＋ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up7(―→))＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up7(―→))－ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up7(―→))－ eq \f(2,3) eq \(AA1,\s\up7(―→))，
∴x＝ eq \f(1,2) ，y＝－ eq \f(1,2) ，z＝－ eq \f(2,3) .
[B级 综合运用]
11．(2021·山东省实验中学高二月考)若空间中任意四点O，A，B，P满足eq \(OP,\s\up7(―→))＝meq \(OA,\s\up7(―→))＋neq \(OB,\s\up7(―→))，其中m＋n＝1，则( )
A．P∈AB
B．P∉AB
C．点P可能在直线AB上
D．以上都不对
解析：选A 因为m＋n＝1，所以m＝1－n，
所以eq \(OP,\s\up7(―→))＝(1－n)eq \(OA,\s\up7(―→))＋neq \(OB,\s\up7(―→))，
即eq \(OP,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→))＝n(eq \(OB,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→)))，
即eq \(AP,\s\up7(―→))＝neq \(AB,\s\up7(―→))，所以eq \(AP,\s\up7(―→))与eq \(AB,\s\up7(―→))共线．
又eq \(AP,\s\up7(―→))，eq \(AB,\s\up7(―→))有公共起点A，
所以P，A，B三点在同一直线上，
即P∈AB.
12．已知空间四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up7(―→))＝b，eq \(AC,\s\up7(―→))＝c，eq \(AD,\s\up7(―→))＝d，若eq \(MD,\s\up7(―→))＝2eq \(CM,\s\up7(―→))，且eq \(BM,\s\up7(―→))＝xb＋yc＋zd(x，y，z∈R)，则y＝________．
解析：
如图所示，
eq \(BM,\s\up7(―→))＝eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))＋eq \(CM,\s\up7(―→))
＝eq \(AC,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→))＋ eq \f(1,3) eq \(CD,\s\up7(―→))
＝eq \(AC,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→))＋ eq \f(1,3) (eq \(AD,\s\up7(―→))－eq \(AC,\s\up7(―→)))
＝－eq \(AB,\s\up7(―→))＋ eq \f(2,3) eq \(AC,\s\up7(―→))＋ eq \f(1,3) eq \(AD,\s\up7(―→))
＝－b＋ eq \f(2,3) c＋ eq \f(1,3) d.
∵eq \(BM,\s\up7(―→))＝xb＋yc＋zd，∴y＝ eq \f(2,3) .
答案： eq \f(2,3)