人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.2 空间向量基本定理课堂检测

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.2 空间向量基本定理课堂检测，共6页。

[A级 基础巩固]
1．已知两向量分别为a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝－ eq \f(1,2) ，则两向量的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：选C 设向量a，b的夹角为θ，则cs θ＝ eq \f(a·b,|a||b|) ＝－ eq \f(1,2) ，所以θ＝120°.
2．已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A ∵p⊥q且|p|＝|q|＝1，
∴a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝3＋0－2＝1.
3．(多选)若a，b，c是空间任意三个向量，λ∈R，下列关系中，不恒成立的是( )
A．|a＋b|＝|b－a| B．(a＋b)·c＝a·(b＋c)
C．λ(a＋b)＝λa＋λb D．b＝λa
解析：选ABD 由向量加法的平行四边形法则，只有a⊥b，即a·b＝0时，才有|a＋b|＝|b－a|，A不恒成立；由数量积的运算律有(a＋b)·c＝a·c＋b·c，a·(b＋c)＝a·b＋a·c，a·b与b·c不一定相等，B不恒成立；向量数乘法则，C一定恒成立；只有a，b共线且a≠0时，才存在λ，使得b＝λa，D不恒成立．故选A、B、D.
4．(多选)如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，对角线AC1和BD1相交于点O，则有( )
A．eq \(A1B,\s\up7(―→))·eq \(B1C,\s\up7(―→))＝a2
B．eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(AC1,\s\up7(―→))＝ eq \r(2) a2
C．eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(AO,\s\up7(―→))＝ eq \f(1,2) a2
D．eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))·eq \(DA1,\s\up7(―→))＝a2
解析：选AC 连接A1D(图略)，则eq \(A1B,\s\up7(―→))·eq \(B1C,\s\up7(―→))＝eq \(A1B,\s\up7(―→))·eq \(A1D,\s\up7(―→))＝|eq \(A1B,\s\up7(―→))||eq \(A1D,\s\up7(―→))|cs 〈eq \(A1B,\s\up7(―→))，eq \(A1D,\s\up7(―→))〉＝ eq \r(2) a× eq \r(2) a×cs 60°＝a2.A正确．eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(AC1,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))·(eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))＋eq \(CC1,\s\up7(―→)))＝eq \(AB,\s\up7(―→))2＋eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))＋eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(CC1,\s\up7(―→))＝a2，故B错误．eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(AO,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))· eq \f(1,2) eq \(AC1,\s\up7(―→))＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up7(―→))·(eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \(AA1,\s\up7(―→)))＝ eq \f(1,2) (eq \(AB,\s\up7(―→))2＋eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(AA1,\s\up7(―→)))＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up7(―→))2＝ eq \f(1,2) |eq \(AB,\s\up7(―→))|2＝ eq \f(1,2) a2.C正确．eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))·eq \(DA1,\s\up7(―→))＝eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))·(eq \(AA1,\s\up7(―→))－eq \(AD,\s\up7(―→)))＝eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))·eq \(AA1,\s\up7(―→))－eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))·eq \(AD,\s\up7(―→))＝－a2.D错误．
5．在四面体OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝ eq \f(π,3) ，则cs 〈eq \(OA,\s\up7(―→))，eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))〉＝( )
A． eq \f(1,2) B． eq \f(\r(2),2)
C．－ eq \f(1,2) D．0
解析：选D eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))＝eq \(OA,\s\up7(―→))·(eq \(OC,\s\up7(―→))－eq \(OB,\s\up7(―→)))＝eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OC,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))＝|eq \(OA,\s\up7(―→))||eq \(OC,\s\up7(―→))|cs 〈eq \(OA,\s\up7(―→))，eq \(OC,\s\up7(―→))〉－|eq \(OA,\s\up7(―→))||eq \(OB,\s\up7(―→))|·cs 〈eq \(OA,\s\up7(―→))，eq \(OB,\s\up7(―→))〉，因为〈eq \(OA,\s\up7(―→))，eq \(OC,\s\up7(―→))〉＝〈eq \(OA,\s\up7(―→))，eq \(OB,\s\up7(―→))〉＝ eq \f(π,3) ，|eq \(OB,\s\up7(―→))|＝|eq \(OC,\s\up7(―→))|，所以eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))＝0，所以eq \(OA,\s\up7(―→))⊥eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))，所以cs 〈eq \(OA,\s\up7(―→))，eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))〉＝0.
6．如图，两个棱长为1的正方体排成一个四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i＝1，2，…，10)是正方体其余的10个顶点，则eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(APi,\s\up7(―→))(i＝1，2，…，10)的不同值的个数为________个．
解析：当i＝1，2，3，4，5时，eq \(AB,\s\up7(―→))⊥eq \(APi,\s\up7(―→))，故eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(APi,\s\up7(―→))＝0，
当i＝6，7，8，9，10时，eq \(APi,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BPi,\s\up7(―→))，
∴eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(APi,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))·(eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BPi,\s\up7(―→)))＝eq \(AB,\s\up7(―→))2＋eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(BPi,\s\up7(―→))，
∵eq \(AB,\s\up7(―→))⊥eq \(BPi,\s\up7(―→))，∴eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(BPi,\s\up7(―→))＝0，∴eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(APi,\s\up7(―→))＝1，
∴eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(APi,\s\up7(―→)) (i＝1，2，…，10)的不同值的个数为2个．
答案：2
7．已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝ eq \r(7) ，则cs 〈a，b〉＝________．
解析：将|a－b|＝ eq \r(7) 两边平方，得(a－b)2＝7.
因为|a|＝2，|b|＝2，所以a·b＝ eq \f(1,2) .
又a·b＝|a||b|cs 〈a，b〉，故cs 〈a，b〉＝ eq \f(1,8) .
答案： eq \f(1,8)
8.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则eq \(B1C,\s\up7(―→))与eq \(A1P,\s\up7(―→))所成角的大小为________；eq \(B1C,\s\up7(―→))·eq \(A1P,\s\up7(―→))＝________．
解析：法一：如图，连接A1D，
则∠PA1D就是eq \(B1C,\s\up7(―→))与eq \(A1P,\s\up7(―→))所成角．连接PD，在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝ eq \r(2) ，即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°，即eq \(B1C,\s\up7(―→))与eq \(A1P,\s\up7(―→))所成角的大小为60°.因此eq \(B1C,\s\up7(―→))·eq \(A1P,\s\up7(―→))＝ eq \r(2) × eq \r(2) ×cs 60°＝1.
法二：根据向量的线性运算可得eq \(B1C,\s\up7(―→))·eq \(A1P,\s\up7(―→))＝(eq \(A1A,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→)))· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \(AD,\s\up7(―→))＋\f(1,2) eq \(AB,\s\up7(―→)))) ＝eq \(AD,\s\up7(―→))2＝1.
由题意可得PA1＝B1C＝ eq \r(2) ，则 eq \r(2) × eq \r(2) ×cs 〈eq \(B1C,\s\up7(―→))，eq \(A1P,\s\up7(―→))〉＝1，从而〈eq \(B1C,\s\up7(―→))，eq \(A1P,\s\up7(―→))〉＝60°.
答案：60° 1
9.如图，在空间四边形OABC中，2eq \(BD,\s\up7(―→))＝eq \(DC,\s\up7(―→))，点E为AD的中点，设eq \(OA,\s\up7(―→))＝a，eq \(OB,\s\up7(―→))＝b，eq \(OC,\s\up7(―→))＝c.
(1)试用向量a，b，c表示向量eq \(OE,\s\up7(―→))；
(2)若OA＝OC＝3，OB＝2，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°，求eq \(OE,\s\up7(―→))·eq \(AC,\s\up7(―→))的值．
解：(1)∵2eq \(BD,\s\up7(―→))＝eq \(DC,\s\up7(―→))，
∴eq \(BD,\s\up7(―→))＝ eq \f(1,3) eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))＝ eq \f(1,3) (eq \(OC,\s\up7(―→))－eq \(OB,\s\up7(―→)))＝ eq \f(1,3) (c－b)，
故eq \(OD,\s\up7(―→))＝eq \(OB,\s\up7(―→))＋eq \(BD,\s\up7(―→))＝b＋ eq \f(1,3) (c－b)＝ eq \f(2,3) b＋ eq \f(1,3) c，
∵点E为AD的中点，
故eq \(OE,\s\up7(―→))＝ eq \f(1,2) (eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OD,\s\up7(―→)))＝ eq \f(1,2) a＋ eq \f(1,3) b＋ eq \f(1,6) c.
(2)由题意得a·c＝ eq \f(9,2) ，a·b＝3，c·b＝3，
eq \(AC,\s\up7(―→))＝c－a，
故eq \(OE,\s\up7(―→))·eq \(AC,\s\up7(―→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a＋\f(1,3)b＋\f(1,6)c)) ·(c－a)
＝－ eq \f(1,2) a2＋ eq \f(1,6) c2＋ eq \f(1,3) a·c＋ eq \f(1,3) b·c－ eq \f(1,3) b·a
＝－ eq \f(1,2) ×9＋ eq \f(1,6) ×9＋ eq \f(1,3) × eq \f(9,2) ＋ eq \f(1,3) ×3－ eq \f(1,3) ×3＝－ eq \f(3,2) .
10.如图，正三棱柱ABC­A1B1C1中，底面边长为 eq \r(2) .
(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；
(2)设AB1与BC1的夹角为 eq \f(π,3) ，求侧棱的长．
解：(1)证明：eq \(AB1,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BB1,\s\up7(―→))，eq \(BC1,\s\up7(―→))＝eq \(BB1,\s\up7(―→))＋eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))．
∵BB1⊥平面ABC，∴eq \(BB1,\s\up7(―→))·eq \(AB,\s\up7(―→))＝0，eq \(BB1,\s\up7(―→))·eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))＝0.
又△ABC为正三角形，
∴〈eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))〉＝π－〈eq \(BA,\s\up7(―→))，eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))〉＝π－ eq \f(π,3) ＝ eq \f(2π,3) .
∵eq \(AB1,\s\up7(―→))·eq \(BC1,\s\up7(―→))＝(eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BB1,\s\up7(―→)))·(eq \(BB1,\s\up7(―→))＋eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→)))
＝eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(BB1,\s\up7(―→))＋eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))＋eq \(BB1,\s\up7(―→))2＋eq \(BB1,\s\up7(―→))·eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))＝|eq \(AB,\s\up7(―→))||eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))|cs 〈eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))〉＋eq \(BB1,\s\up7(―→))2
＝－1＋1＝0，∴AB1⊥BC1.
(2)由(1)知eq \(AB1,\s\up7(―→))·eq \(BC1,\s\up7(―→))＝|eq \(AB,\s\up7(―→))||eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))|cs 〈eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))〉＋eq \(BB1,\s\up7(―→))2＝eq \(BB1,\s\up7(―→))2－1.
又|eq \(AB1,\s\up7(―→))|＝ eq \r(eq \(AB,\s\up7(―→))2＋eq \(BB1,\s\up7(―→))2) ＝ eq \r(2＋eq \(BB1,\s\up7(―→))2) ＝|eq \(BC1,\s\up7(―→))|，
∴cs 〈eq \(AB1,\s\up7(―→))，eq \(BC1,\s\up7(―→))〉＝ eq \f(eq \(BB1,\s\up7(―→))2－1,2＋eq \(BB1,\s\up7(―→))2) ＝ eq \f(1,2) ，
∴|eq \(BB1,\s\up7(―→))|＝2，即侧棱长为2.
[B级 综合运用]
11．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(AC,\s\up7(―→))＝0，eq \(AC,\s\up7(―→))·eq \(AD,\s\up7(―→))＝0，eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(AD,\s\up7(―→))＝0，则△BCD是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
解析：选B ∵eq \(BD,\s\up7(―→))＝eq \(AD,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))＝eq \(AC,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→))，
∴eq \(BD,\s\up7(―→))·eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))＝(eq \(AD,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→)))·(eq \(AC,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→)))
＝eq \(AD,\s\up7(―→))·eq \(AC,\s\up7(―→))－eq \(AD,\s\up7(―→))·eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(AC,\s\up7(―→))＋|eq \(AB,\s\up7(―→))|2＝|eq \(AB,\s\up7(―→))|2>0，
∴cs ∠CBD＝cs 〈eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))，eq \(BD,\s\up7(―→))〉＝ eq \f(eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))·eq \(BD,\s\up7(―→)),|eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))||eq \(BD,\s\up7(―→))|) >0，
∴∠CBD为锐角，同理，∠BCD与∠BDC均为锐角，
∴△BCD为锐角三角形．
12．(多选)设a，b，c是任意的非零空间向量，且两两不共线，则下列结论中正确的有( )
A．(a·b)c－(c·a)b＝0
B．|a|－|b|<|a－b|
C．(b·a)c－(c·a)b不与c垂直
D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
解析：选BD 根据空间向量数量积的定义及性质，可知a·b和c·a是实数，而c与b不共线，故(a·b)c与(c·a)b一定不相等，故A错误；因为[(b·a)c－(c·a)b]·c＝(b·a)c2－(c·a)(b·c)，当a⊥b，且a⊥c或b⊥c时，[(b·a)c－(c·a)b]·c＝0，即(b·a)c－(c·a)b与c垂直，故C错误；由向量两两不共线，可得B正确；由运算律可得D正确，故选B、D.