2021学年1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系课时练习

这是一份2021学年1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系课时练习，共5页。

[A级 基础巩固]
1．已知a＝(1，－2，1)，a－b＝(－1，2，－1)，则b＝( )
A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2)
C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3)
解析：选A b＝a－(a－b)＝(1，－2，1)－(－1，2，－1)＝(2，－4，2).
2．已知a＝(0，－1，1)，b＝(4，1，0)，|λa＋b|＝ eq \r(29) ，且λ>0，则λ＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选B 由题意，得λa＋b＝(4，1－λ，λ).因为|λa＋b|＝ eq \r(29) ，所以42＋(1－λ)2＋λ2＝29，整理得λ2－λ－6＝0.又λ>0，所以λ＝3.
3．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，且a与b的夹角的余弦值为 eq \f(8,9) ，则λ＝( )
A．2 B．－2
C．－2或 eq \f(2,55) D．2或－ eq \f(2,55)
解析：选C 由cs 〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a||b|) ＝ eq \f(2－λ＋4,\r(5＋λ2)·\r(9)) ＝ eq \f(8,9) ，
解得λ＝－2或λ＝ eq \f(2,55) .
4．已知点A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)，则|eq \(AB,\s\up7(―→))|的最小值为( )
A．3 eq \r(3) B．3 eq \r(6)
C．2 eq \r(3) D．2 eq \r(6)
解析：选B |eq \(AB,\s\up7(―→))|＝ eq \r(（2a－1）2＋（－7－a）2＋（－2＋5）2)
＝ eq \r(5a2＋10a＋59)
＝ eq \r(5（a＋1）2＋54) ，
当a＝－1时，|eq \(AB,\s\up7(―→))|min＝ eq \r(54) ＝3 eq \r(6) .
5．(多选)对于任意非零向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，以下说法错误的有( )
A．若a⊥b，则x1x2＋y1y2＋z1z2＝0
B．若a∥b，则 eq \f(x1,x2) ＝ eq \f(y1,y2) ＝ eq \f(z1,z2)
C．cs 〈a，b〉＝ eq \f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋z eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) )·\r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋z eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ))
D．若x1＝y1＝z1＝1，则a为单位向量
解析：选BD 对于A选项，因为a⊥b，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2＝0，A选项正确；对于B选项，若x2＝0，且y2≠0，z2≠0，若a∥b，但分式 eq \f(x1,x2) 无意义，B选项错误；对于C选项，由空间向量数量积的坐标运算可知cs 〈a，b〉＝ eq \f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋z eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) )·\r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋z eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) )) ，C选项正确；对于D选项，若x1＝y1＝z1＝1，则|a|＝ eq \r(12＋12＋12) ＝ eq \r(3) ，此时，a不是单位向量，D选项错误．
6．已知A(3，5，－7)，B(－2，4，3)，则线段AB在yOz平面上的射影长为________．
解析：点A(3，5，－7)，B(－2，4，3)在yOz平面上的射影分别为A′(0，5，－7)，B′(0，4，3)，∴线段AB在yOz平面上的射影长|A′B′|＝ eq \r(（0－0）2＋（4－5）2＋（3＋7）2) ＝ eq \r(101) .
答案： eq \r(101)
7．已知M1(2，5，－3)，M2(3，－2，－5)，设在线段M1M2上的一点M满足eq \(M1M2,\s\up7(――→))＝4eq \(MM2,\s\up7(―→))，则向量eq \(OM,\s\up7(―→))的坐标为________．
解析：设M(x，y，z)，则eq \(M1M2,\s\up7(――→))＝(1，－7，－2)，
eq \(MM2,\s\up7(―→))＝(3－x，－2－y，－5－z).
又∵eq \(M1M2,\s\up7(――→))＝4eq \(MM2,\s\up7(―→))，∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＝4（3－x），,－7＝4（－2－y），,－2＝4（－5－z），)) ∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(11,4)，,y＝－\f(1,4)，,z＝－\f(9,2)．))
答案： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,4)，－\f(1,4)，－\f(9,2)))
8．在空间直角坐标系中，以O(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，2)为三棱锥的顶点，则此三棱锥的表面积为________．
解析：由题意作出图形如图，S△AOC＝S△BOC＝S△AOB＝ eq \f(1,2) ×2×2＝2，
S△ABC＝ eq \f(\r(3),4) ×|eq \(AB,\s\up7(―→))|2＝ eq \f(\r(3),4) ×8＝2 eq \r(3) ，
故三棱锥的表面积S＝6＋2 eq \r(3) .
答案：6＋2 eq \r(3)
9．已知A(3，5，－7)，B(－2，4，3)，求eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(BA,\s\up7(―→))，线段AB的中点坐标及线段AB的长．
解：eq \(AB,\s\up7(―→))＝(－5，－1，10)，eq \(BA,\s\up7(―→))＝(5，1，－10)，AB的中点坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(9,2)，－2)) ，|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝ eq \r(（－5）2＋（－1）2＋102) ＝3 eq \r(14) .
10．(1)已知A(1，5，－2)，B(2，4，4)，C(a，3，b＋2)，如果A，B，C三点共线，求a＋b的值；
(2)已知向量a＝(3，4，2)，b＝(2，－1，0)，当λ1a＋λ2b与a垂直时，求λ1，λ2满足的关系式．
解：(1)∵A，B，C三点共线，∴eq \(AB,\s\up7(―→))∥eq \(AC,\s\up7(―→))，
易求得eq \(AB,\s\up7(―→))＝(1，－1，6)，eq \(AC,\s\up7(―→))＝(a－1，－2，b＋4)，
则 eq \f(1,a－1) ＝ eq \f(－1,－2) ＝ eq \f(6,b＋4) ，
解得a＝3，b＝8，故a＋b＝11.
(2)λ1a＋λ2b＝(3λ1＋2λ2，4λ1－λ2，2λ1)，
若λ1a＋λ2b与a垂直，
则(3λ1＋2λ2，4λ1－λ2，2λ1)·(3，4，2)＝29λ1＋2λ2＝0.
∴所求的关系式是29λ1＋2λ2＝0.
[B级 综合运用]
11．(多选)已知空间三点A(－1，0，1)，B(－1，2，2)，C(－3，0，4)，则下列说法正确的是( )
A．eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(AC,\s\up7(―→))＝3 B．eq \(AB,\s\up7(―→))∥eq \(AC,\s\up7(―→))
C．|eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))|＝2 eq \r(3) D．cs 〈eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(AC,\s\up7(―→))〉＝ eq \f(3,65)
解析：选AC ∵A(－1，0，1)，B(－1，2，2)，C(－3，0，4)，
∴eq \(AB,\s\up7(―→))＝(0，2，1)，eq \(AC,\s\up7(―→))＝(－2，0，3)，eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))＝(－2，－2，2)，
∵eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(AC,\s\up7(―→))＝0×(－2)＋2×0＋1×3＝3，故A正确；∵不存在实数λ，使得eq \(AB,\s\up7(―→))＝λeq \(AC,\s\up7(―→))，故eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(AC,\s\up7(―→))不共线，故B错误；∵|eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))|＝ eq \r(（－2）2＋（－2）2＋22) ＝2 eq \r(3) ，故C正确；∵cs 〈eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(AC,\s\up7(―→))〉＝ eq \f(eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(AC,\s\up7(―→)),| eq \(AB,\s\up7(―→))|·|eq \(AC,\s\up7(―→))|) ＝ eq \f(3,\r(5)×\r(13)) ＝ eq \f(3\r(65),65) ，故D错误．
12．若a＝(x，2，2)，b＝(2，－3，5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是________．
解析：a·b＝2x－2×3＋2×5＝2x＋4，设a，b的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cs θ＝ eq \f(a·b,|a||b|) <0，又|a|>0，|b|>0，所以a·b<0，即2x＋4<0，所以x<－2，又a，b不会反向，所以实数x的取值范围是(－∞，－2).
答案：(－∞，－2)
13．已知点A(1，2，3)，B(2，1，2)，P(1，1，2)，O(0，0，0)，点Q在直线OP上运动，eq \(QA,\s\up7(―→))·eq \(QB,\s\up7(―→))的最小值为________，此时点Q的坐标为________．
解析：设eq \(OQ,\s\up7(―→))＝λeq \(OP,\s\up7(―→))＝(λ，λ，2λ)，
故Q(λ，λ，2λ)，
∴eq \(QA,\s\up7(―→))＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，eq \(QB,\s\up7(―→))＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
∴eq \(QA,\s\up7(―→))·eq \(QB,\s\up7(―→))＝6λ2－16λ＋10＝6 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ－\f(4,3))) eq \s\up12(2) － eq \f(2,3) ，
∴eq \(QA,\s\up7(―→))·eq \(QB,\s\up7(―→))的最小值为－ eq \f(2,3) ，此时λ＝ eq \f(4,3) ，Q点的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(8,3))) .
答案：－ eq \f(2,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(8,3)))
14．已知空间三点A(1，2，3)，B(2，－1，5)，C(3，2，－5).求：
(1)△ABC的面积；
(2)△ABC中AB边上的高．
解：(1)由已知，得eq \(AB,\s\up7(―→))＝(1，－3，2)，eq \(AC,\s\up7(―→))＝(2，0，－8)，
∴|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝ eq \r(1＋9＋4) ＝ eq \r(14) ，
|eq \(AC,\s\up7(―→))|＝ eq \r(4＋0＋64) ＝2 eq \r(17) ，
eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(AC,\s\up7(―→))＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，
∴cs 〈eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(AC,\s\up7(―→))〉＝ eq \f(eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(AC,\s\up7(―→)),|eq \(AB,\s\up7(―→))||eq \(AC,\s\up7(―→))|) ＝ eq \f(－14,\r(14)×2\r(17)) ＝ eq \f(－\r(14),2\r(17)) ，
∴sin 〈eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(AC,\s\up7(―→))〉＝ eq \r(1－\f(14,68)) ＝ eq \r(\f(27,34)) .
∴S△ABC＝ eq \f(1,2) |eq \(AB,\s\up7(―→))|·|eq \(AC,\s\up7(―→))|·sin 〈eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(AC,\s\up7(―→))〉
＝ eq \f(1,2) × eq \r(14) ×2 eq \r(17) × eq \r(\f(27,34)) ＝3 eq \r(21) .
(2)设AB边上的高为CD，则|eq \(CD,\s\up7(―→))|＝ eq \f(2S△ABC,|eq \(AB,\s\up7(―→))|) ＝3 eq \r(6) ，
即△ABC中AB边上的高为3 eq \r(6) .
[C级 拓展探究]
15．已知空间三点O(0，0，0)，A(－1，1，0)，B(0，1，1)，若直线OA上的一点H满足BH⊥OA，求点H的坐标．
解：设H(x，y，z)，则eq \(OH,\s\up7(―→))＝(x，y，z)，eq \(BH,\s\up7(―→))＝(x，y－1，z－1)，eq \(OA,\s\up7(―→))＝(－1，1，0).因为BH⊥OA，所以eq \(BH,\s\up7(―→))·eq \(OA,\s\up7(―→))＝0，
即－x＋y－1＝0①，又点H在直线OA上，
所以eq \(OA,\s\up7(―→))＝λeq \(OH,\s\up7(―→))，即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1＝λx，,1＝λy，,0＝λz)) ②，
联立①②解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(1,2)，,y＝\f(1,2)，,z＝0.))
所以点H的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)，0)) .