2021南昌十中高一下学期第二次月考数学试题含答案
展开南昌十中2020-2021学年度下学期期中考试
高一数学试卷
一、选择题（每小题5分，共12小题60分）
1. 设等差数列的前项和，若，则（ ）
A. 13 B.14 C. 26 D. 52
2. 设,则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
3.某学校高二年级选择“史政地”,“史政生”和“史地生”组合的同学人数分别为210,90和60.现采用分层抽样的方法选出12位同学进行调查研究,则“史政生”组合中选出的同学人数为
A. B. C. D.
4.如图①、②分别是甲、乙两户居民家庭全年
各项支出的统计图.根据统计图,下列对两户教
育支出占全年总支出的百分比作出的判断中,
正确的是( )
A.甲户比乙户大 B.乙户比甲户大 C.甲、乙两户一般大 D.无法确定哪一户大
5.已知正实数、满足，则的最小值为（ ）
A. 14 B. 16 C. 18 D. 20
6.在中，，则一定是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D. 等边三角形
7.在各项均为正数的等比数列中,若,则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知不等式的解集为,则不等式的解集为( )
A．或B．C.D.或
9．一船向正北方向航行,看见正西方向有两个相距10海里的灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后, 看见一灯塔在船的南偏西60°方向上,另一灯塔在船的南偏西75°方向上,则这艘船的速度是 ( )
A．5海里/时 B．海里/时 C．10海里/时 D．海里/时
10.若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（ ）
11.已知正项数列的前n项和为,且,,设数列的前n项和为,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
12.在锐角中，A、B、C分别为三边所对的角．若，且满足关系式，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题5分，共4小题20分）
13. 不等式的解集为__________.
14.若三角形中有一个角为，夹这个角的两边的边长分别是8和5，则它的外接圆半径等于 。
15.在等差数列中，为它的前n项和，若，则当
时，最大．
16.在中，内角，，所对的边分别为，，，给出下列四个结论：①若，则；②在中，，则的范围是；③若，则；④的最小值是2；
⑤函数的最小值为.
以上结论正确的选项有_____.
三、解答题（第17题10分，第18- 22题12分，共6小题70分）
17.某校从参加某次知识竞赛测试的学生中随机抽出60名学生，将其成绩（百分制）（均为整数）分成六段，…后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）根据频率分布直方图，从图中估计总体的众数是多少分？中位数是多少分？
（3）统计中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分.
18.解关于的不等式．
19.某山村为响应习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，积极进行生态文明建设，投资64万元新建一处农业生态园．建成投入运营后，第一年需支出各项费用11万元，以后每年支出费用增加2万元．从第一年起，每年收入都为36万元．设表示前年的纯利润总和（前年的总收入-前年的总支出费用-投资额）
（1）求的表达式，计算前多少年的纯利润总和最大，并求出最大值；
（2）计算前多少年的年平均纯利润最大，并求出最大值．
20.已知首项为的等比数列是递减数列，其前项和为，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和为.
21．在中，内角的对边长分别为，且为.
（1）求角的大小；
（2）若，求面积的最大值.
22.数列首项，前n项和与之间满足.
（1）求证：数列是等差数列；并求数列的通项公式；
（2）设存在正数，使对任意都成立，求的最大值.
高一下学期中考试数学试卷
参考答案
一、选择题
- C 2. A 3.C 4.B 5.B 6.D 7.D 8.A 9.C 10.C 11. D 12.D
二、填空题
- 14. 15. 8 16.①
三、简答题
- 解：（1）设分数在，内的频率为，根据频率分布直方图，
则有：，解得，
分数在，内的频率为0.3． `···········2分
频率分布直方图如图所示：
········3分
（2）分数在，内的小矩形最高，众数是最高小矩形中点的横坐标，
众数为75 ················5分
分数在，内的频率为：，中位数在，内，
中位数要平分直方图的面积，∴中位数为 ．····7分
（3）利用组中值估算抽样学生的平均分为：
，
估计这次考试的平均分是71分． ···············10分
- 解：根据题意，
因为，则，
则方程有两个根，为，，·····3分
分3种情况讨论：
，，即时，不等式的解集为或；·····6分
，，即时，不等式的解集为；·········9分
，，即时，不等式的解集为或；···12分
综合可得：当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或
- 解：(1)由题意,每年的支出费用组成首项为11,公差为2的等差数列,
故前n年的总支出费用为11n+2=+10n,
f(n)=36n-(+10n)-64=-+26n-64,n. ··········4分
f(n)=-+105,
n=13时,f(n)取得最大值105,
即前13年的纯利润总和最大, 且最大值为105万元.·······6分
(2) 由(1) 知, 前n年的年平均纯利润为
==-(n+)+26,
n+2=16,当且仅当n=,即n=8时等号成立,
-16+26=10,
即前8年的年平均纯利润最大,且最大值为10万元.········12分
20.（1）；（2）.
（1）由题意得，∴，解得或，
又由为递减数列，于是，∴；·····4分
（2），
，
，
两式相减得：，
，
∴.·································12分
21.【详解】（1）由及正弦定理可得： ，即：
，解得：········6分
（2）由余弦定理得：
（当且仅当时取等号）
，即面积的最大值为········12分
22.解：（1）因为时，
∴得:,
由题意,∴,
又因为,∴是以为首项，2为公差的等差数列.
故有,
∴,∴时，
又，∴········6分
（2）设
则
,
∴在上递增，故使恒成立，只需.
又，又，∴，所以的最大值是.·····12分
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